Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. - Тепло- и массообмен в пограничных слоях (1062125), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Разница между результатамн этого и других приблпженп((! всегда невелика и уменьшается с укорочением интервала ьь Рассмотрим случаи плоского н осесимметрпчного течения волпзн анкин симметрии. В случае плоского движения веси!чина с должна быть постоянной во всей рассматриваемой области. Тогда интегрирование уравнения (2,5-27) дает: (Ф вЂ” (1>,) ос (ьт — кп)а. (2,5>-28) Отсюда легко вывести соотношение Ра = (445 — 4,))3. Очевидно, соотношение для скорости и будет аналогичным: иа = (4п,— иа) (3. Для этих условий имеет место связь ( —,) (У вЂ” !У,) (2.5-29) (2.5-30) (2.5-3 !) (2.5-32) Следовательно, ра — ут, ' Читатель мо'кет получить это соопюшсппе, во-нерваль пз обитого урависппя (ал.а) для скорости смежного переноса т"а и. во-вторых. им требований независимости втоя последней величавы от п,а совместно с гипогсзои о п> тп смешения. аь о! Величина скольжения у может быть получена пз этого уравлмпш полста!'о!ь кой и —.=1.
Таюж| обчазовт, Для осеспмметричного течения радиус г аналогичен расстоянию у и поэтому ( —,) (У вЂ” У,)': (2.5-33) (2.5-34) С ос (р — сй)'-', Подстановкой в уравнение (2.5-27) н интегрированием находи!к (2.5-35) (с)! — г1>,) сс (о! — о!,) Таким образом, профиль Ф-ю линейный и Ф-величпна скольжения, равная своему действительному значению, т.
е. (2 5-36) (2.5-37) Фг .=- Ф!'! гга =- и !. Величина скольжения для у подсчитывается по формуле ! гу,,== —; — у -(- 7 !у . ! '! .! 3.о (2.5.38) 2-6, ФОРМУЛИРОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 2.6-1. Полный поток через стенку известен Заданный полный поток /„он через стенку можно связать с диффузионным потоком следующим соотношением: з'„„я =. з'а+ ггг'",Ф, (2.6-!) илп в безразмерной записи (2.6-2) Применение уравнения (26-2) к т.очке 2,5 с последующих! псклю!еннем Ф! прн помощи уравнения (2.5-7) приводит к результату '.
! З( !+УМ ), поел~ о(!+УМ) (2.6-3) ' Замечания, аналогичные выснаааниьм в отношении уравнения (2лв!2), сохраняют силу и для уравнения (2.6-3). Для й соответствующее уравнение имеет вил: / ! — У!ли!'! / У„ й!!.=~а(!+У М ! - !аочн( Го(! ! г! М ) ) ~" = (! + !) (л„+ м) (2.6-3а) (2 6-га) ! '2 Ма= — М+(! — Юхя " ' Ъ (2!.6-46) Во Разностныс уравнения из 6 2.4 совместно с соошюшениямп для величин скольжения, приведенными в 6 2.5, образуют разрешимую систему алгебраических уравнений, если известны из граничных условий действительные значения Ф иа границах.
Однако иногда вместо значения Ф на границе задается градиент Ф пли обусловленный пм поток. В этом случае возникает необходимость в получении соотношений для величин скольжения путем искл!пианин неизвестных теперь величии Ф на гранипе с помощью заданных градиентных условий. Нами будут рассмотрены два таких случая. где (2.6-4) Опираясь на гипотезу о пути смешения и уравнение (2,5.!6), придем к формуле А") (( + В (2.6-5) Здесь мь[ выведем соотношения для обобщенной зависимой переменной Ф, включающей в сеоя п скорость и.
Ввиду различия случаев плоского и осеспмметричного течений они снова будут рассмотрены отдельно. Плоское течение. Решением уравнения (2.5-27) д;и плоского течения будет: ко — ки и ! Ф[о — Ф[и [ д~, х ка ки (2.6-8) Здесь в членах с подстрочными индексами Ь' либо .О используются величины, относящиеся к области, расположенной вверх по течению. Теперь необходимо исключить Ф[п из уравнений (2.6-8) и (2.5-29). В результате приходим к следующему выражению: (2.6-9) р,п,а,[, (к.,— ш][ [кэ,р Опеспл[л[етрачное течение. Весьма сходным будет вывод нужного соотношения в случае осесимметричного потока.
Исходным уравнением служит: Ф вЂ” Ф вЂ” — ' — [! (2.6-!3) Подстановка ([![Т[[[[(х — [([) из уравнения (2.6-7) с последующим исключением Фш с помощью уравнения (2.5-36) приводит к формуле (2.6-! 4) где величины [[ определяются, как и прежде. 53 2.6-2. Граница расположена на линии симметрии Воспользуемся конечно-разностной записью и удовлетвор[ш уравнение (2.6-6) в точке 2,5. так что / '-' — [[А ~ 4('.адз о — .о(в+заду' в.+зл,л, Ф 2 ( ! [и т [и)' (2.6-10) (2.6-1 1) (2.6-12) З-т. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ где А 1 А'з = — А,; (2.7-3) ) После вычистений А' и В' для )'=2, 3,...,Л)+2 получить значения Фь Фыс последовательной подстановког, начиная с Фу ь пспольз> я уравнение (2.7-2), становится простым )слом.
Очевидно, что расчетное время, нсоб:содимое для этих вы )и«лений, прямо пропорционально опредсляемому чн«лу величин Ф; расчетное время, требующееся при пользовании стандартныч методом матричного обращения, пропорциональ- ~'2 )4)ц Ач 2.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 2.8-1. Формулы расчетной сетки Общие соображения относительно нахождения скоростей увлечения через свободную границу, контролирующих физическусо ширин> сетки, уже обсуждались нами в ~ 2.3. Согласование вычисленных из формул значений и)") и пс"в с дсйствительнымп величинами зависит от вида в4 Давайте поэтапно проследим все проделанное нами со свх пор. т)ы состав ьти дифференциальные уравнения в частных производных вудобной системе координат. Онп записаны нами в форме конечных разно«тей (в Ь 2.4), которая удовлетворяет интегральное уравнение для конгрольного объема, распространяющегося более чеч иа половину са интервала на кажду)о сторону от линии сетки; такич образом, чы получили одно разно«тиос уравнение для каждой линии сетки, за исключ«нисм тех, которые совпада)от с граничными.
В рззностных уравнениях,чля лигОп". сетки 3 и У.ь! пспользусотся величины скольжения Ф и Фл.,а, а пе истинное значеяие ср~ и Фхы, так как только тогда дону)пение о линейности профиля ичсст смысл. Отношения для величин скольжения были получены в линейном виде в Ь 2.5, а в ф 2.6 онп представлены нсзпвисимымп от граничных значений, в тех сл>чаях, когда последние нс* были зада)|ы. Таким образоч, сейчас > иас имелся система линейных алгебраических уравнений, которая всегда может быть решена: более того, эта система пмсст специфпческ>к) особепност)м только три неизвестные вслпчяпы появлясотся в особом порядке в каждом уравнении.
Это позволяет нам решать эти уравнения с помощью простой формулы последовательных подстаиовок, что предпочтительнее стандартного обращения чатрпн. Способ решения состоит в следующем. Используя схему подстрочных обозначений, привсдепн>но в равд. 1 3-1, мы чожес) записать алгебраическое уравнение как (2,7-!) где 1 -=2,3,4,5,,Л'+2 Когда величины Ф, и ф, неизвестны, их коэффщиенты равны нулю. Уравнение (2.7-!) может быть преобразовано в более поостую форму (2,7-2) используемой гипотезы об эффективной вязкости. Ниже будут разобраны два случая. Свабоднпя граница, подчинтои)аяся гипотезе о пути с.псшения.
Если принять гипотезу о пути смешения справедливой для данного течения, то увлечение через свооодную границу можно гычпсл ~ть без какого-либо произвола. В этом случае уравнение (2.3-3) сходится в пределе к конечной величине. Подстановка зависимости 1!.3-5) в (2.3-3! с использование» допугцения о равенстве нулю градиента скорости на свободной границе (принимая за нее У- пли Е-линии) приводит к соотношениям: т";== 2о,1,' ) дои/ду-'),; т" .=-.— 2р 1„. ~ дои/ду' ~ ..
(2.8-1) (2.8-2) Использование параболического профиля скорости в промежутке между 7-линней п точкой 2,5 позволяет на» подсчитать величину ")д"-п1дуо!. Конечным результатом выкладок оудст формула для п1"т.' "==8 1'1. "+ ш"т==8р о г ~(у,)п, (2.8-3) либо для тпе: ) я ~+п1,— "пт,! т" =.-.— — 8р,)е — ' — ' (рмо~+ ря., -' -уя з) (2.8-4) ипэ пв "я ха — хп (2.
8-о) Здесь ив — значение и, достигаемо при о=а, х= —.т, ь!лены ди/ды и (д/ды) 1т-"рир,,ф (ди/д~в'/(Π— ут)] могут быть рассчитаны по формулам, аналогичным (2.4-7) и (2.4-8). При этом неооходи»о использовать значение и из предыдугиего сечения, поскольку величины скорости вниз по потоку неизвестны.
2.8-2. Вычисление нормального расстояния Метод конечных разностей позволяет получить гр — ы профили. Соответствующие интервалам изменения переменной ы физические расстояния, однако, изменяются в процессе последовательного интегрирования. Поэтому необходимо вычислить расстояние у для каждой точки сетки после очередного шага интегрирования. Для этого необходимо знать разность (йе — 4 т); ее можно получить пз равенств (2.1-2) и (2.1-3), представленных в конечно-разностной форме ( е '6)О = (те тчт)О+(Ппт т е т т)с(геа и). (2.8-6) Далее согласно определению я == 1бспи Ыу -= (ь — ь, ) (рп) -' Ь~.
(2.8-7) ~ — П + у сов а. (2.8-8) 55 Свободная граница с неисчезающей эффективной вязкостью. Рассмотри» в общих чертах преобразование различных членов уравнения (2.3-4) к конечно-разностпой форме. Для играюцтего важную роль члена див)дх справедлива следукь шая заппсгс После интегрирования (2.8-7) получаем: з/ (2.8 ой) (г + (г-+З/сова)' ) где ! //,, -- //:- = —,, (ф — Ф,) ((р/е,и/„,) '-)-(р/и ) ') (и/„, — (и/). (2.8-11) Формула (2.8-!1) все же пе обеспечивает хорошей аппроксимации у границ. Может показаться удовлетворительной возможность использования величин скольжения вместо истинных значений на границе.
Однако величины скольжения были нами введены для получения правильных значений ординаты и наклона в точке посередине коайнего интервала, по нс для точного вычисления интегралов в этом промежутке. Поэтому для полуинтсрвалов, примыкающих к границам, будут использованы «точные» выражения для интеграла /, согласованвью с принятыми выше профилями. '!акис выражении для /-границы даны ниже; выражения для Е-граннцы могут быть по,тучсны сходным ооразом. Для твердой границы, совпадарощсй со стенкой, имеем: / ((а Ф/) (1+)) ( ~ ьч) р(и, + и,) (2 8 12) Для свободной границы 3 (Ф вЂ” Ф,1 (ич — ип) р(и, -)-и,+ Фи,) (2.8-1 3) Для границы, располояГенной на линии симметрии, (Фа Ф~) (~з — ~ ) 2 5 р,и, (2.8-1 4). 1хак видно из уравнений (2.8-12), для вычисления у д требуется знание величины р; напомним, что параметр (1 получается из выражения ьтп //хм котоРое в свою очеРедь содеРжит У~д.
Однако, посколькУ величина 8 обычно изменяется медленно, итераций можно избежать подстановкой предыдуще.о значения (з в равенство (2.8-12). 2.8-3. Характерная толщина слоя Умснпс вычислять нормальные расстояния у позволяет опредетпть физическую толщину слоя между границами / и Е. Эта толщина о~ раничивает эффективность наших расчетов. До тех пор, пока требование эффективности счета серьезно не нарушается, изменения в этой номинальной толщине, обусловленные незначительными различиями в определениях скорости увлечения плп выбранноп просзранствевной сетки, будут вполне приемлемы.
Напомним теперь, что за исключением пристено и/ой области величина пути псремешнванпя пропорциональна характерной толгцинс слоя 1/ь 1,онечно, такую произвольную номинальную толщину нежелательно использовать в качестве характерной толщины слоя. Поэтому нужно определить характерную толщину, которую можно использовать для расчета пути смешения. Характерная толщина слоя р определяется как 56 l= (Фа — Ф/) ~ (ри) 'байи. о Интеграл / можно вычислить по правилу трапеций. Б общепринятых обозначениях расстояние между двумя, определенным образом выбранными, характерными точками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
