Адиутори Е.Ф. - Новые методы в теплопередаче (1062108), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ Чтобы сделать обсуждение более понятным, ограничимся рассмотрением только уравнений, которые можно назвать "простыми", т.е. забудем на время о дифференциальных и интегральных уравнениях и будем рассматривать только такие уравнения, которые не содержат ни производных, ви интегралов. Простые уравнения, применяемые в инженерных расчетах, обычно подразделяются на два класса: линейные и нелинейные уравнения. Условимся, что нелинейные 7'еалоароеодаосаь, излучеаае а аермачесаое соароаавлеаае 91 уравнения включают в себя все простые уравнения без исключения и ограничения. Приведем некоторые нелинейные уравнения: у 7,2х + 3,6х + вйх + в1вх + 12,6, у в1вх, 3,2х + 14, у 1,567х.
(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) Графики нелинейных уравнений или функций включают в себя все кривые, представленные на фиг. 5.1, и любые другие, какие только можно себе представить. Будем называть линейными уравнениями или функциями все те и только те„ которые можно представить в виде щх+ Ь. (5.5) Мы допускаем, что коэффициенты ю и Ь могут иметь любые значения без каких-либо ограничений, и требуем, чтобы показатели степени при х и у были точно равны единице. Таким образом, графики линейных уравнений имеют вид прямых линий, которые могут пересекать ось у при любом знвчеяии без ограничения. Функции, представленные на фиг.
5.1,6 и в, безусловно, являются линейными. Следует отметить, что при анализе нелинейных уравнений общего вида мы не исключаем из рассмотрения линейные уравнения: линейная форма является частным случаем более общей нелинейной формы. Таким же образом можно подразделить и линейную форму, выделив из нее частный случай — пропорциональную форму. В рамках такого подразделения линейные уравнения имеют общий вид (5.5), У в У а Фиг. 5.1.
92 Глава 5 а к пропорциональным уравнениям относятся все те и только те, ко- торые можно представить в виде (5.6) Мы допускаем, что коэффициент ш может принимать любое значение без ограшичения, и требуем, чтобы показатели при к и у были равны единице. Следовательно, пропорциональными функциями являются линейные функции, проходящие через начало координат. Функция, представленная на фиг.
5.1,в, янляется пропорциональной. Заметим, что пропорциональные уравнении относатся к линейным, как линейные к нелинейным, т.е. как частный случай к более общему случаю. Когда мы анализируем линейные уравнения, мы не исключаем из рассмотрения пропорциональные уравнения, которые являются частной формой линейных уравнений. УРАВНЕНИЯ И КОН((ЕПНИИ Теперь возникает вопрос: "Какое значение имеет проведенный выше анализ простых уравнений?" Ответ заключается в том, что пропорциональные уравнения и концепции пропорциональности вида Р !Н, (5.7) 6 Ев, (5.8» 9 'айТ .(5.9) составляют фундамент прикладной науки двадцатого столетия.
Часто эти соотношения причисляют к "линейным" уравнениям и концепциям линейности, даже если они не более "линейны", чем "нелинейны", — на самом деле это пропорциональные соотношения, описывающие концепции пропорциональности; их можно считать "линейными" или "нелинейными" в том смысле, что они не исключаются из рассмотрения при анализе общих линейных или нелинейных уравнений. Они являются частными случаями линейных и нелинейных уравнений, но это не означает, что их можно называть "нелинейными уравнениями".
Они являются пропорциональными уравнениями и выражают концепции пропорциональности; называть их кж-то иначе — значит впадать в заблуждение. Теперь возникает следующий вопрос: к каким последствиям приводит признание факта, что уравнения (5.7) †(5.9) выражают не концепцию линейности, а концепцию пропорциональности? Ответ заклю- Теплспровсдксснь, кэлучвкне н иермнческсе сспрсиквлекке 03 чается в том, что концепции пропорциональности являются очень неэффективными, они не позволяют эффективно рассчитывать ни характеристики линейных, ни характеристики нелинейных процессов.
Таким образом, мы приходим к выводу, что инженерная наука ХХв. основана на концепциях, которые эффективны только при анализе наиболее тривиальных пропорциональных процессов и совершенно неэффективны при анализе линейных или нелинейных процессов, с которыми мы часто сталкиваемся. Если мы согласились с тем, что концепции пропорциональности, составляющие фундамент инженерной науки двадцатого века, неэффективны, легко сделать следующий шаг: отказаться от "старых" концепций и заменить их новыми, которые позволяют эффективно анализировать не только пропорциональные, но и линейные, а также нелинейные процессы.
Именно к этому призывает новак веорпл меплспередачн, т.е. к введению концепций, которые позволяли бы эффективно анцлизировать нелинейные процессы, и демонстрирует, как подобная концепция применяется в науке о теплообмене. Но это могла быть также новак аесркк сопрсиквлепкл маверналов, или ковал элекнрсаехнпка, или ковал ькдрсмехвннка. Можно с уверенностью предположить, что в течение будущих нескольких десятилетий закон Ома будет отвергнут и заменен соотношением (5.10) Р=/(!), закон Гука — соотношением с 1(с) (5.11) а "закон Ньютона" — соотношением (5.! 2) а =(1, параметры системы ° ( (ТЛС) и что многие другие концепции пропорциональности, составляющие фундамент инженерной науки ХХ в., также будут отвергнуты и заменены новыми концепциями, которые, подобно соотношениям (5.10)-(5.12), позволят эффективно анализировать все без ограничения процессы.
И именно эти новые концепции составит фундамент инженерной науки двадцать первого века. 94 Глава 5 ыетоды При дальнейшем изложении мы будем различать три типа уравнений: пропорциональные, линейные и нелинейные, — и будем применять данные выше определения. Согласно этим определениям, пропорциональное уравнение представляется графически прямой, проходящей через начало координат; линейное уравнение - прямой без ограничения, что она должна проходить через начало координат; нелинейное уравнение - любой кривой без каких-либо ограничений. Теперь объясним сущность понятий "пропорционализация", "линеаризация" и "нелинеаризация".
Пропорционализация — это аппроксимация функции у ! х! пропорциональной функцией вида у шх (у/х )х, 1 1 (5.13) где (уы х1)- координаты точки, через которую проходит функция у ! х ), Например, если нам задано, что функция у ! х ) проходит через точку (у = 7, х 3), мы можем аппроксимировать у (х! пропорциональной функцией у (7/3) х - 2,333х. (5.И) Для этого приближения находим у 2,333, (5.15) у О. (5:16) Следовательно, если мы аппроксимируем функцию у ! х) с помощью метода пропорционализации, то достаточно знать координаты одной только точки этой функции, чтобы полностью описать аппроксимирующую функцию и все ее производные.
Разумеется, аппроксимирующая функция и ее производные могут совершенно отличаться от функции у ! х) и ее производных, но это и есть цена, которую приходится платить за такое "упрощение". Линеаризация — это аппроксимация функции у ! х ! линейной функцией вида (5.17) у у х+(у — у х ), 1 1 11 где (у„ х,) — координаты точки, через которую проходит функция у (х), а у, — производная функции у !х) а этой точке. Следовательно, чтобы использовать метод линеаризации, необходимо знать Тенлонроводносаь, излучение н вермнчесное сонроанвленне 95 координаты одной точки функции и первую производную функции в этой точке.
Например, если задано, что в точке (у 7, х 3) производная у -1,3 то мы аппроксимируем фукцию у( х) линейной функ- цией у -1,3х + (7 + 1,3(3)) -1,3х + 10,9 (5.18) и из уравнения (5.18) следует у -1,3, у О. (5.19) (5.20) КОНЦЕПЦИИ Следует указать, что пропорционализация — настолько слабый математический метод, что он редко применяется в математике, хотя часто используется в инженерных расчетах ХХ в.
Если он применяется при анализе пропорциональных функций, то вреда это не приносит. Например, концепция пропорциональности статического электрического сопротивления (й ру!) эффективна при применении омических резисторов. С другой стороны, эта концепция несостоятельна применительно к ваккумным трубкам или транзисторам, поскольку их характеристики нельзя представить пропорциональны- Нетрудно видеть, что линеаризация позволяет аппроксимировать функцию у (х) линейной функцией, имеющей с этой функцией общую точку (у,, х ) и, крохе вовс, общую производную. Именно благодаря совпадению первых производных линеаризация значительно эффективнее пропорционализации.
В то время как пропорционализация неэффективна при анализе линейных и нелинейных функций, линеаризация является эффективным методом анализа всех линейных функций и нелинейных функций в окрестности точки (у,, х,). Нелинеаризация — это нечто противоположное линеаризации. Поэтому условимся, что нелинеаризация — это аппроксимация линейной функции некоторой нелинейной функцией. Конечно, это выглядит парадоксальным — казалось бы, вряд ли можно извлечь какую-либо пользу, применяя такой метод.
Хотя термин "нелинеаризациян используется редко, процесс нелинеаризации может совершенно естественно следовать (и следует) из метода размерностей и применения способа построения графиков в логарифмических координатах в старой теории тецлопередачи. Этот вопрос мы рассмотрим подробнее в гл. 7. Глава 5 96 ми функциями. В этом случае требуется знать не только статическое электРическое сопротивяение, но и "динамическое электрическое сопротивление", определяемое формулой (5.21) Концепция динамического сопротивления является, конечно, кон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
