Адиутори Е.Ф. - Новые методы в теплопередаче (1062108), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(Не часто доводится встретить соотно- шение (4.7), записанное в виде р. ц(дт(Адт, независимо от того, насколько велика функциональная связь между 0 и дТ!) Это еще один недостаток старой теории теплопередачи: в ней как бы предполагается, что У не зависит от и Т, и это заставляет нас мысленно разделить 0 и д Т. Мы утверждаемся в мысли о постоян- стве величины О, т.е. о линейной связи между тепловым потоком и д Т. Поэтому чтобы увеличить тепловой поток, мы увеличиваем д Т и ожидаем, что величина (1 возрастет примерно пропорционально уве- личению дТ. Существенный недостаток такого рассуждения с пози- ций старой теории состоит в том, что при рассмотрении нелинейного процесса теплообмена (а это часто приходится делать) можно очень легко получить неверный ответ! Динамика н уоиойчивооиь Чтобы правильно применить старую теорию для решении этой простой динамической задачи, мы должны использовать соотношение (4.12), из которого следует НД вЂ” =А(0+ дТ вЂ” ) ° а'о' (4.13) альт, альт, Пример 2 Возвращаясь к задаче 3 гл.
2, будем считать, что необходимо найти изменение температуры стенки при возрастании теплового по. тока к ней от начального значения 220 Вт/мэ до конечного значения 224 Вт/мэ. Таким образом, Т (Ч=224) — Т,(4=220) =дТ(Ч=224)— — дТ ( Ч = 220) = ддТ, (4.14) Согласно соотношению (4,4), ддТ ~ — дЧ ° ДдТ ЫЧ (4.16) Поскольку дЧ = 224 — 220 = 4 Вт/мэ, задача сводится к определению йд Т/МЧ. Если применить старую тео- рию теплопередачи, то (4.16) дТ= Ч/Ь, (л Ч )й ° аЧ (4.17) В рассматриваемой задаче при Ч = 220 Вт/мэ а = 4,23 Вт/(м ° град).
Используя эти значения, путем совместного рассмотрения соотноше- Из выражения (4.13) становится ясно, что мы не можем найти величину ЫД/ЫдТ,, поскольку у нас нет информации о функции 0( дТ), и, сле- довательно, мы не можем определить ~Ш'адТ,. Поэтому правильный ответ на вопрос о дополнительной тепловой нагрузке состоит в том, что исходных данных недостаточно для нахождения решения.(Следу- ет отметить, что мы все-таки нашли правильный ответ и с помощью старой теории теплопередачи, но как легко было при этом допустить ошибку.) 76 Глава 4 ний (4.15) и (4.17) получаем ьа Т = (4,23 — 220 — ) 4,23 ~ ' 4. 3о (4.18) С помощью соотношений (4.15) и (4.19) находим паТ = 0,164 ° 4 = 0,66 С.
(4.20) С помощью формул (4.14) и (4.20) получаем следующий ответ: при возрастании теплового потока от 220 до 224 Вт/ме температура стенки увеличивается на 0,66 'С. Заврачеяяое време: 1 мин. ' Вероланооаь ошибка мала. Итак, решение первого примера показывает, что применяя старую теорию теплопередачи, можно очень легко запутаться и логически, и математически. Из рассмотрения второго примера следует, что ре- Нужно еще определить 3Ь/Жу. Для определения 3Ь/ад придется выполнить следующие утомительные и трудоемкие операции. 1. Преобразовать зависимость Ь(с Т ), представленную на фиг.
4.5, к виду Ь(4 ) . 2. Построить полученные точки на графике в координатах (Ь, о) и провести через эти точки кривую. 3. Найти угол наклона кривой в точке д = 220 Вт/ме; это и есть производная ЫЬ/ач в рассматриваемой точке. Выполнив все эти операции, можно теперь подставить полученное значение аЬ/ад в формулу (4.18) и найти величину паТ, которая, со. гласно соотношению (4.14), является также искомым изменением температуры стенки. Если читатель пожелает все это проделать, ему понадобится, по-видимому, не менее получаса, чтобы решить эту простую динамическую зацачу. По мнению автора, с которым читатель, вероятно, согласится, вероятность ошибки при таком решении намного больше, чем при решении той же самой задачи с помощью новой теории теплопередачи. Теперь решим ту же самую простую задачу в рамках новой тео.
рии. Как и прежде, задача состоит в том, чтобы найти величину осад при д = 220 Вт/мэ. Измеряем угол наклона кривой, представленной на фиг. 2.6, в точке 4 = 220 Вт/ме и находим — = + 0,164 град/(Вт/мэ) при д 220 Вт/ме. (4.19) Й~ Динамика и уеаойчквоспь 77 ДИНАМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В СТАРОЙ ТЕОРИИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ Изучая проблемы динамики процессов, происходящих в теплообменных установках, мы часто будем рассматривать вопрос о том, как изменяется тепловой поток при изменении разности температур, т.е. нам часто нужно определить величину производной ад/яьТ.
Предпс ложим, что мы хотим исследовать динамику тепловых процессов в рамках старой теории теплопередачи. Давайте проследим, как мы будем определять эту важную производную. 1. Проводится эксперимент, в ходе которого измеряются д и ьТ, т.е. находится эмпирическая зависимость 4(ьТ). 2.
Экспериментальные данные, полученные в форме 4(ьТ), преобразуются к виду Ь ( ь Т(. 3. Экспериментальные данные обобщаются в форме корреляционной занисимости Ь( ьТ). 4. Эта корреляционная зависимость применяется для определения нд/йьТ с помощью формулы 4 =Ььт, (4.21) из которой следует, что =Ь+ьт— ,Ь) йЬ йьт йьт (4.22) Сразу видно, что соотношение (4.22) имеет довольно абсурдную форму, и поэтому старая теория теплопередачи практически не позволяет провести исследование динамики вообще и устойчивости в частности. В рамках новой теории производная ЬЧ/Ььт определяется значительно проще и более коротким путем.
Обобщение экспериментальных данных производится без их преобразования, т.е. корреляционные зависимости строятся в той же форме д( ьТ), в которой были получены шение простых динамических задач с помощью старой теории во мно. го раз более трудоемко, сложно и менее надежно, чем решение с по. мощью новой теории. Следует отметить (хотя мы этот вопрос специ- ально не рассматривали), что точность решения, полученного с по. мощью старой теории, намного ниже, поскольку приходится выполнять множество операций, которые не нужны при решении задачи с помо. щью новой теории.
Глава 4 Недостатки математического подхода, применяемого в старой теории теплопередачи, можно выявить еще нагляднее, если записать соотношение (4.22) в более подробном виде + ьТ 3(ч/пт) абдт пТ опт (4.24) Эта формула представляет хотя и правильный, но явно неудачный путь определения аЧ/3пТ. (В качестве полезного упражнения читателю ре. комендуется доказать, что равенство (4.24) является тождеством.) Можно еще нагляднее показать трудности расчета по формуле (4.22), если отметить, что ее можно записать в виде соотношения — + х — э (4.25) ь которое также является тождеством, но вряд ли у кого-либо возникнет мысль вычислять Иу/ах таким способом.
Например, если задана функция у= Зхл + 2х+ 4, то,определяя ау/~(х с помощью (4.23), находим ~~у 3 ха+ 2 х ~ 4 3((3 х~ + 2 х+ 4)/х) +х ах х ах (4.26) и после проведения правильных выкладок получаем правильный результат. Следовательно, мы можем правильно вычислить производные функций, пользуясь уравнениями, подобными (4.22) или (4.23). Но такой метод вычисления производных, типичный для старой теории тепло- передачи, на порядок сложнее, чем в новой теории, в которой используется обычный метод вычисления производных, применяемый уже в течение многих десятилетий ау Ы(Зх +2х+4) бх+ 2. (4.27) с(х ах экспериментальные данные. Поэтому, чтобы найти производную Жу/ /ЫаТ, нужно просто продифференцировать корреляционную зависимость Ч( ПТ). Следовательно, в новой теории теплопередачи аналогом соот.
ношения (4.22) является очевидное выражение аЧ а(Ч) (4.23) аьТ аЬТ Динамика и усиойчивосвь Итак, математический подход, применяемый в старой теории теплопередачи, обладает существенными недостатками: он вынуждает нас вычислять важную производную од/ЙьТ непрямым, громоздким путем по формулам (4.22) и (4.25) и, следовательно, является ненадежным фундаментом для создания науки о динамике тепловых процессов. Математический подход, применяемый в новой теории теплопередачи, позноляет вычислять производную йд/яду прямым и математически удобным методом по формулам (4.23) и (4.27) и, следовательно, обеспечивает надежный фундамент для создания науки о динамике тепловых процессов. Само собой разумеется, что непрямой метод старой теории ведет к большим погрешностям и даже при правильном применении позволяет получить менее точные результаты, поскольку приходится проводить лишние расчеты.
ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ Понятие устойчивости проще всего обьяснить с помощью несложного примера. Предположим, что имеется водяная система с большим открытым баком. Вода непрерывно втекает и вытекает из бака (фиг. 4.1). Предположим теперь, что высота уровня воды в баке равна 1,88 м и что при таком уровне Г „= Г „= 0,378 мл,/мкн р Ь = 1,88 м. Ф и г. 4.1. 80 Динамика и усиойчивосвь Следовательно, система является устойчивой.
Теперь предюложим, что мимо этой устойчивой системы проходил рабочий и, заметив открытый бак, вылил в него ведро воды, так что ее уровень поднялся до 1,9 м. Задача об устойчивости формулируется следующим образом: Вернется ли уровень воды на отметку 1,88 м? Или останется на отметке 1,9 м? Или поднимется выше 1,9 м? Другими словами, может ли система противодействовать этому случайному внешнему воздействию и вернуться в невозмущенное состояние, соответствующее значениям Ь = 1,88 м и Г = 0,378 мл/мин? Ес. ли да, то мы делаем вывод, что при Ь = 1,88 м и Г= 0,378 мл/мин система устойчива относительно малых возмущений Ь. Если нет, то при А=1,8 м и Р = 0,378 мл/мин система неустойчива относительно малых возмущений Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
