Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Поэтому легко получаем1-1ЕоаоАС=-ооооооо000-0,5 1 о -0,5 о о о0,5 о о 0,5 1 о оо0,5 о о о о о оо-1 -0,5 о -1 0,5 о о о1 о о 1 о о о 0,5оДалее нахоп.имАСАТ=;11А. Р. Ржаницывоооо1 -1о3 -1 -0,5 о-1о20,5 оо -10,5 0,5 -0,5 оо -0,5-0,5 3 -2ооо2,-2оооо32111обращаем 'i1Г'J матрицу .!(ЛЯ получения матричного равенства1,846 0,8460,846 0,8460,1540,1541,0771,0770,3850,385(15.1):0,3080,308(АСАт)- 1 = а3 0,154 0,1540,846 -1,077 -0,385 -0,3081,077 1,077 -1,077 6,464 2,3081,8470,385 0,385 -0,385 2,3081,538 1,2310,308 0,308 -0,3081,8471,2311,385ЕТак, например, вертикальное перемещение yЗJiaсилы Q1 , приложенной в том же yЗJie, буJJ.ет1 от.!(еi!ствия вертикальнойv1 =6,464a3QJE.Прямоуrольвые конечные ЭJiемевты для ПJJоской задачи§ 3.теории упруrоствВ прямоугольном конечном элементе (рис.330)функциями распределения перемещений можно задаваться в виде1ааJи=а1х+Р1У+У1+б1ху;v = а2х+ Р2У+У2+ б2ху.контуре элемента х ± а и у{<""'хНа= +Ьэти формулы создают линейное распределение перемещений, поэтому одинаковые перемещения·1!1Рис.товввершинахводятJJOвсейкдвух соседних элемен·прямоугольниководинаковымлинииприперемещениямпосоприкосновения смежныхконечных элементов.Для определения коэффициентов а 1 , Р 1 , у 1 , б 1 , а 2 , Р 2 , у 2 и б 2составимуравнения:и1 = а1а+ Р1Ь + 1'1 + б1аЬ; v1 = а2а+ Р2Ь +Уз+ б2аЬ;и2 = -а1а+ Р1Ь+У1- б1аЬ;V2= -а2а+ Р2Ь+Уз~- б2аЬ;1'1 + б1аЬ: Vз = - а2а- Р2Ь + 1'2 + бzаЬ;и4 = а1а- Р1Ь + 1'1- б1аЬ; v." = а2а- Р2Ь + 1'2- б2аЬ.и 3 = - а1а- Р1Ь +Легко проверить, что решениями этих уравнений будут:у 1 =(1/4)(и1+из+из+и4); 'Y2=(l/4)(v1+v2+vз+v4);б 1 =[l/(4аЬ)](и 1 - и 2 +и 3 - и."); б2=[l/(4ab)](v1-v2+vз-v4);Р 1 =[l/(4Ь)](и 1+ и2- и 3 - и4); P2=[l/(4b)] (v1 +vз- V 8 - V4);1(l 5.B)а 1 =[l/(4а)](и1- и2- из+ и4); ctз=[l/(4a)](v1- V2- vз+v4)·Далее определим д~формации:Вх = ди;дх = а1+ б1у;е у= дv;ду = Р2+ б2х;Уху= диjду + дvjдх = Р1 + а2 + б1х + бзУ.322(15.9)Заметим теперь, что(15.10)где е~, eZ и '\'~и- деформации растяжения и сдвига в центре конечного элемента.
Поэтому коэффициенты а 1 , ~~~и сумма ~ 1а 2 соот=ветственно дают равномерные деформации ехи '\'ху =const.+coпst, еу=constКоэффициенты ~ 1 и б 2 соответствуют деформациям:Вх = б1у; Ву= О; '\'ху = бtХ И 8х =О; Ву= б2х; '\'ху r- б2у.Таким образом, мы имеем пять компонентов вектора деформаций:ez,х = (at, ~~~. а2 + ~1• бt. б2) =(е~.'\'~у. l\1, l\2)·Для того чтобы найти соответствующие этим компонентам обобщенные внутренние силы и установить связь между ними и компонентами деформаций, обратимся к выражению работы внутреннихсил элемента. Эта работа выражается, как известно, формулойЬаА=- ~~ (ехах-ь-аВыразим напряжения ах,+ 8у0у + '\'хуТ:ху) dx dy.(15.11)ау, Т:ху при помощи закона Гука (приплоском напряженном состоянии) через деформации:Ох= 1 -=J.t 2 (ех+ J.18y); ау= 1! 112 (еу+ J.18z); Т:ху= 2 ( 1 ~J.L) '\'xuи подставим их в выражение работы внутренних сил(15.11).(15.12)Полу-чим:ьаА = 2 (~!'112) ~ ~ [ex(ex+J.I.ey)+ey(ey+J.I.ex)+'\'xy 1-; 11 '\'xy]dxdy=-Ь-аь= 2 (~!112 )аS S(е~+ е;+ 2J.1Bx8y +1 -; 11 '\'~у) dx dy.-ь-аТеперь подставим сюда значения деформацийА = 2 (~!'112)Ь(15.9):аS S[a~+2a1бty+бiy2 +2J.ta1 ~ 2 +2J.ta1 l\2x+-ь-а+2J.1~ 2 б 1 х + 2J!бtб2ху + ~; + 2~2б2х + б~х2 ++бw2+ 2~ 1 а2 +2~1б1х + 2~1б2У+ 2а2б1х += 2 <~!'1111) {4аь[ ai + ~~+ 2J.tat~2 ++11*jаЬ 3 ( lli +1 -; 11(~I +а;+ бiх 2 +2a2l\2y + 2l\1б2xy)]dxdy =(~ 1 +а 2) 2 ] +1 -; ~ б~) + ~- а3 Ь (б~+ 1 -; 11 бi )} .1 -; 11323Компоненты вектора внутренних сил получаем дифференцированием -А по соответствующему компоненту вектора деформаций:дАдАдАдА4аЬЕде~= - дlf2дА-4аЬЕде~ = - дiiJ = 1-112 (al + JA.Pz);-1-11~~ (Pz + JCLl);=дАду~У = - д(а2+РJ =- g~= 34аЬ(15.13)2(1 +11) (al+P2);(~~111) [2Ьа + (1 -- ~:, = 3 /~~~) [2а 2 + (1 -JA.)а2] б;JA.) Ь 2 ] б 2 •Легко видеть, что первые три компонента представляют собой ве=личины o~F.
oZF и т:~уF, где F4аЬ- площадь конечного элемента; о~. о~. т:~v -напряжения в его центре. Это вытекает изформул (15.10) с учетом закона Гука (15.11). Компоненты дА/дб 1и дА /дб 2 мы не будем расшифровывать, так как их смысл для расчетанеимеет значения.В целом матрица жесткости для внутренних сил одного элемента, построенная на основании4 4JA.4JA.
4С= аЬЕ(15.13),имеет видоооооо002 ( 1 - JA.)001-112 ООО2Ь2+ (1-!1) а2О111.(15.14)3ооооа матрица А Т, согласно(15.8),Ь -Ь -ЬоАт1= 4аЬаоао-а1 -1оОт матриц С(15.14)ои А'ь ооооО аа-а-а-аЬ-Ь-Ь1 -1ооl -1о(15.5),ооь(15.15)о1 -1составленных для одного конечного элемента, следует затем перейтик таким же матрицам,составленным для совокупности всех конечных элементов системы,что производится с учетом расположенияпоследних и в принципене вызывает затруднений, особенно с применением специальныхметодов сочетания матриц, употребляемых при расчете на ЭВМ.Окончательная матрица внешней податливостti системы имеетвид (2.45):324Индекс «С~ указывает на то, что матрица составлена для всей системыконечныхМатрицаLэлементов.выражает связь между внешними узловыми усилиямi;tи перемещениями узлов по направлениям этих усилий.§ 4.Прямоуrоm.ИЬiе конечные :темевты дт1 расчетапластинок на изrибПри изгибе пластинки в углах прямоугольного конечного элемента можно задаваться прогибами w и углами поворота Wx и Wyв плоскостях zx и zy.
Тогда получается 12 параметров, при помощикоторых следует аппроксимировать поверхность изгиба элемента.Обычно для этой цели применяется неполный подином четвертойстепениw= а1 + а2х + йзУ + а4х2 + аъХУ + CleY2 + а;ХЗ ++ аах2у + аеХу2 + аtоУз+ анХЗУ+ а12х!/.(15.16)Составим выражения прогибов и углов поворота в углах конечного элемента, присвоив углам индексы1, 2, 3, 4:w, = а1 + а2х; + UзУ; + a4Xl + asx,y; + CleYl + а1х1 ++ asXlY; + авх,у~ + atoY1 + анх1у, + а12хш1;w,, х = ~ + 2a4xl + аьУ1 + За1хl + 2йвХtУ; + a9 yl ++ Занх1у + a12yl;w;, у= аз+ аоХ; + 2авУI + аеХ1 + 2a 9 X;Yt + 3atoY7 +(15.17)+ анх1 + За12х;у1.(i=1, 2, 3, 4)Возьмем локальную систему координат для одного конечногоэлемента (рис. 331).
Для простоты ограничимсяквадратной сетки конечных элементов. ПоложиврассмотрениемХ1получим= Х4 =О; Х2 = Хз = ~; Yt = У2 =О; Уз= Х4 = l\,из ( 15.17) для всех вершин конечного элемента:+ а2~ + а4~ 2 + а1~ 3 ;Wз =+ а 2 ~ + азL.\ + а4 ~ 2 + аь~ 2 + а6 ~ 2 + а 7 ~ 3 + а8 ~8 ++ ая~з + аiо~з + анL.\4 + al2~&;w4 = al + йз~ + aeL.\ + а1о~ 3 ;Wt. х = а2; w2.
х = а2 + 2а 4 ~ + 3а7 ~ ;х = а2 + 2а.~ + asl\ +За,~+ 2asl\ + а9 ~ 2 + 3а 11 ~ 3 + а12 ~ ;w4. х = а2 + asL.\ + а9 ~ + а 12 ~ ;w у= аз;у= а 3 + a L.\ + agL.\ + ан~ ;у= а3 + as~+ 2а6 ~ + а8 ~ 2 + 2a~l\ 2 + За 1 n~ 2 + а11 ~ 8 + За 12 ~ 3 ;W1=а1; W2=а1llt22w 3.8221.w3 ,W 2.w~. 11 = а35323+ 2ав~ + 3а 10 ~ •2З25Решив эту систему уравнений, будем иметь:a1 =W1;йt=Wt,x; йt=Wt.y;+а4 А 2 = - 3w 1 3w 2- 2wl, хА- w2. хА;а6 А 2 = -w1+w 2-w 3 +w4 -wl.xA+w4.xA -wl,yA+w 2.yA;а6 А 2 = - 3w 1 3w4 - 2w 1 . уА- w4.
уА;а1А 2 = 2w1 - 2w2 Wt, JtA w2. JtA;а8 А 8 = 3w1 - 3w2 3w8 - Зw42wt. хА+++++++ w JtA- w JtA- 2w4. JtA;йеА = Зw1- 3w2+ 3wЗw4 + 2wt. уА- 2w2. уА- Wa. уА+ w4. уА;а10 А = 2w1 - 2w + w1, уА+ w4, уА;а11 А = - 2w1+ 2w 2- 2w + 2w4- W1. хА2,3,8r (15.18)3-8443- w2. хА+ Wa, хА+ w4, JtA;а 12 А 4 = - 2wl + 2w2- 2wз + 2w4- w1. уА++ w2. уА+ w8 , уА- w4. уА.Из выраженияпрогибов:(15.16)найдем теперь вторые производные отwJtJt = 2а4 + 6а1х + 2йsУ + банХУWuy = 2as + 2aex+6aloY+ 6а12ху;wху = аъ + 2asx + 2agy + Занх2 + За12У2и их значения для всех четырех вершин конечного элемента:Wt.
уу= 2ае:wl. хх= 2а4;W2, уу = 2ае + 2а9 А;w2. хх= 2а4 + 6а1А;2Wз. xJt = 2а4 + бll?A + 2а8 А + ба 11 А ; Wз. уу=2ае+2а9 А+ба 10 А+ба12 А 2 :W4, Jtx = 2а4 + 2йsА;w4. УУ = 2as + ба1оА:Wl,xy=ar;;W2. ху = ar; + 2asA + ЗанА 2 ;Ws. Jty = ar; + 2asA + 2аеА + ЗанА 2 + За 12 А2 1w,, Jty = аъ + 2а9 А + За1sА 2 •Подставив в эти выражения значения параметров а 1 изполучим соотношения:61W1. Jtx= Кl(w2- wi)- -х· (4wt. х+ ?w2. х):w1. УУ =61\ 2 (w4-1W2. JtX = ~2 {Wl- W2) +W2.yy3266•w1) --к (4wl. у+ 2w4.
у)•= 1\2 (w 3 -w2)-i (4W2. х+ 2wl. х):1Li.(4w2,y+2wз,y)•(15.18),6Wa. хх =,111(W,a- Ws) + -~ (4Ws. х+ 2W,a, x)l61Wз. уу :z:o 111 (wa- Wз) +"К (4wa. у+ 2ws . .~~);W,a.xx= :. (wa-W4)F6 (w1 -w 4. Y.ll =-l (4w .x+2wa.x);4)1(•w 4 +"К 4w4 • .~~- 2w1. .~~).11w1. ху=~ (-Wt +ws-Wз+w4)+ -z;(-Wt.x+w4 . x-Wt. y+w2. у):11W 2 .xy=~ (-Wt +wa-wa+w,)+ -z;(-Ws,x+wa.x-Wl,y+Wa,y);1111W3 , xy="Xi(-Wt +wz-wa+w4)+ -z; (ws.
x-Wz,x+wa.y-W4. у);W4, ху= "Xi (-W1 +ws- Ws+w,)+ f! (-Wt, x+w,, х- Wa, х- w,, у),которые можно выразить в матричной форме:х=Атw,- -где через х и w обозначены векторы:Х = (Wt, хх; Wa, хх; Ws. хх: W,a, хх; Wt, уу; Wa, уу; Ws. уу; W4 • уу;Wt, xg; Wa, ху; Wa,xy; Wo~..xy);Wz, w3 , W4 , Wl,X' Wz,x' Wa,x, W&,x •(w1W=L\i;,11 •,11',11'wl.y. w•• y.-.1-· ---г·.1. . ..1.1Wв,у..1(15.19)•w,.g)~· -.1-'а через А т- матрица:66-6-6ооо-4-24о2-6 66-6оооо6-6о -66 о6-6 оо6 о о -6оАт=о-1li- 111=~1 -11 -11 -11 -1ооооооооооооооо42-4-2ооооооооооооо-4оо-2ооооооооо-22оо-44оооо1 -1оо-1-11 о1 -1ооо21 -1о -1ооо4.оol1оо1 -11 -1ооо1оо327Поскольку система состоит из многих конечных элементов, тоследует составить расширенную матрицу, включающую в себя комwпоненты векторов х ивсех конечных элементов.
Число этих компонентов для векторов х будет равно 12n, где n- число конечныхэлементов. Число же компонентов векторовбудет меньше, таккак одни и те же величины w1, w1.x и w;,y входят в четыре смежныхwконечных элемента (за исключением краевых точек, где число смежных элементов равно двум или одному). Таким образом, расширеннаяматрица,которуюнетру днопостроитьвкаждомконкретномслучае, будет прямоугольной.l(ля всей пластинки будем иметь равенствотХ0= AnW 0 •Здесь индекс «П» означает, что соответствующий вектор и матрицаотносятся к полной системе всех конечных элементов.Матрица внутренней жесткости для одного конечного элементаздесьвыражает обычные соотношенияупругостимеждукривизнами Wxx.
Wyy и Wxy в узловых точках и внутренними моментами Мх,Ми и Мху в тех же точках. Она имеет вид:1JlоJl1ооо1-jl1JlоJl1ооо1-JlC=D1JlоJl1ооо1-JlоJlJl1оо1-jl1где~-оD -цилиндрическая жесткость пластинки Eh 8 / [12 (1 - ~ 2 });коэффициент Пуассона.Вектором внешних сил, сопряженных с перемещениями(15.19),б у дет векторР=(Р 1 ; Р 2 ; Р 8 ; Р 4 ;m1.x;m2.x: m8.x: m4.x: m1.y:m2,y;m3.y: m4.y).Здесь Р 1 - вертикальные сv.лы; m;,x и m1,y- внешние сосредоточенные моменты в узлах (i1, 2, 3, 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
