Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Искомые перемещения находятся по заданным внешнимсилам путем обращения матрицы внешней жесткости:(15.1)Выбор векторовu, Р, N иХ может производиться при помощиаппроксимации заданной континуальной системы системой, составленной из отдельных конечных элементов, свойства которых должныбыть заранее изучены.Одним из методов дискретизации является метод конечных элементов, получивший в последнее время большое распространениев расчетах сооружений при помощи ЭВМ. Сущность этого методазаключаетсяв том,что континуальные системы разбиваютсянаотдельные элементы. работа которых приближенно или точно изучена,а затем напряженно деформированные состояния этих элементов сопрягаются между собой так, чтобы удовлетворялись условия совместимости деформаций и условия равновесия.§ 2.Треуrольвые ховечвые элементы для: ПJiосхой задачитеории упругостиРазобьем двумерную область плоско работающего упругого телана ряд треугольников.
Каждый треугольник будем считать конечным элементом, работа которого может быть описана приближенными формулами. Обозначим вершины треугольника индексам11 1,2, 3 (рис. 325) и будем этими индексами отмечать величины, относящиеся к каждой из вершин. В вершинах треугольника могут бытьзаданы перемещения и и v вдоль осей х и у или внешние силы Р и Q,действующие вдоль тех же осей.Приближенно положим, что перемещения точек, находящихсявнутри треугольного элемента, могут быть выражены линейнымифункциями координати= а1х+ Ь1у+с1;v = а2х+Ь2у+с2.Коэффициенты а 1 , Ь 1 , с 1 , а 2 , Ь 2 и с 2 следует подобрать так, чтобыв вершинах треугольника перемещения были равны заданным их314значениям.
Для этого надо решить следующие уравнения;и1 = а1х1 + Ь1У1 + с1; Vt= а2х1 +Ь2у 1 + с2 ;и2 = а1х2 + Ь1У2 + с1; V2 = а2х2 + Ь2У2 + с 2 ;Из= й1Хз + Ь1Уз + Сз; Vз = й2Хз + Ь2Уз + Сз.Огсюда, применив правило Крамера, получим:а1 = (1/~) [и1 (у2- Уз)+ U2 (Уз- YI) +Из (YI- У2)];ЬI=(1/~)[иi(Хз-Х2)+и2(хi-хз)+из(х2 -хi)];а2 = ( 1/~) [vi (у2- Уз)+ V2 (Уз- YI) + Vз (YI- У2)];Ь2= (1/~) (Vt (Хз- Х2) +V2 (XI -Хз)1( 15 . 2 )1+ Vз (Х2 -Xt)),гдеXtYt~ = Х2 У2= Х1У2 + Х2Уз + ХзУ1 - Х1Уз- Х2У1 - ХзУ2Хз Уз-удвоеннаяплощадь треугольника.L{еформации внутри треугольного элемента будут везде одинаковые:е.~= ди/дх = а1; Ву= дvjду = Ь 2 ; Уху= ди;ду+дv;дх = Ь1 +а2.(15.3)Примем за вектор перемещений совокупность величинu= (и1,а за вектор деформацийи 2 , Uз,v1, V2,Vз).-+Х = (ех, Ву, Уху)= (а1, Ь2, а2 bJ)·Вектор внешних сил, соответствующих перемещениямu,Р = (Pt. Р2, Рз.
Qt. Q2. Qз).оог;Jо., хР1~1ut!JР1t1/f1/~1azPzPuc.J25~Uz112Puc.J2б315а вектор внутренних сил, соответствующих деформациямN =(а_.., а11 , т..-11 ),f,поскольку работа внешних сил выражается здесь формулой3V=0,5 ~(P;и;+Q;vt).i= 1а удельная работа внутренних сил -формулой:~А=-0,5 (а..-е..-+ а11 е11 +тх11')'ху)·Из уравнений (15.3) и (15.2) получаем связь между перемещениями и деформациями:е_..= а1= (lfl\) [ui (у2- Уз)+ U2 (Уз- YJ} + Uз (YI- У2)]; )Ву= Ь2 = ( ljl\) (vi (Хз -Х2) + V2 (XI- Хз} + Vз (х2- XI)];Уху= Ь 1 +а2 = (1/L\) [ui (хз- Х2)+ U2 (х1- Хз) +(l 5 4 )·+ и., (х2- Х1) + V1 (У2- Уз)+ V2 (Уз- YI} + Vз (YI- У2)].Таким образом, матрица геометрических уравнений связи деформаций с перемещениямиА т=У2 - Уз Уз - У1 У1 - У2-k [ООООООх3 - Х 2 Х1 - Х8 Х2 - х 1Хз- Х2 Х1- Хз Х2- Х1 У2- Уз Уз- У1]•У1- У2Транспонируя эту матрицу, получаем матрицу уравнений равновесия:У2-УзОх8 -х2-Уз-УtОх 1 -х 3ОХ2 -х1У1_У2оХз-Х2 У2 -узох1-Хз Уз-УIоХ2-xJYz_У1-Следовательно, уравнения равновесия здесь будут:Р1 = (У2- Уз) а_..+ (Хз- Х2) Тху; \Р2 =(уз- У1} а..-+ (xJ- Хз} 'txy;Рз = (YI- У2) а..-+ (х2- Xt) т..-11 :Ql = (Хз- Х2) ау+ (У2- Уз} 'txy; 1Q2 = (xl- Хз) ау+ (Уз- У1) 't..- 11 ;Qз = (х2- Х1) ау+ (yl :- У2) 'txy·(15.5)Эти уравнения можно вывести и непосредственно, без использованияпринципадвойственностиуравнений.
Например,составляяусловиеимеющей вершинулиния на рис.316равновесия1326).статическихпервое уравнениевдольоси(15.5)хигеометрическихможно получить,частитреугольника,и ограниченной ступенчатой линией (жнрнаяМатрица жесткости С для треугольного элемента совnадает с матрицей ко~ициентов уравнений закона Гука:ЕОх= 1 _ 1111 (ех+ JL811),.а11 = 1 _:112 (е11 + J!Bx):ЕЕ1-J..LТху= 2(1 +J..L) Ухи= 1-J..L~-2- Ухи•где Е-модуль уnругости, JL -ского напряженного состояниякоэффициент Пуассона, для nлоилиЕОх= l+J..L- 2112 [(1+JL)ex+J.Leи]:ЕОи= l+J..L_ 2112 [J.Lex+(l +JL)eи]:ЕЕ1-2J..LТхи= 2(l+J..L) Ухи= l+J..L-2J..L'_2_ Ухидля плоской деформации. Таким образом, матрица С здесь будет:(15.6)для nлоского наnряженного состояния иоо·]•-;2J..Lдля nлоской деформации.Имея матрицы А, Ат и С, по фо_рмуле(15.1)найдем искомуюсвязь между вектором nеремещений и конечного элемента и вектором· внешних сил Р.Перейдем теперь к сnлошнойnластинке, разделенной на треугоЛЬные конечные элементы.
Введем нумерацию узлов сетки треугольников от 1 до k и нумерацию конечных элементов от(рис. 327). Тогда вектор перемещений системы1доlи вектор внешних сил, которые будем считать приложеиными в уз·лах сеткитреугольников,Р= (Р1,Ql, Р2, Qz, .•. , Р~<, Q").817Точно так же векторами деформаций и внутренних сил будем считать:Х=N(exl• Byl• '\'xyl•= (oxl•Вх2• 8у2• '\'ху2•• • ·, Bxl• Byl• '\'xyz);}Oyl• 'txyl• Ох2• Оу2• 'txy2• • • •, Oxl• Oyl• 'txyz)•(15.7)Матрица жесткости С для системы получает блочный вид:где С1 С2 , ...
, С,- матрицы жесткости, составленные для каждоготреугольного элемента.Матрицы А и Ат следует строить, учитывая структуру расположения треугольников,поскольку одини тот же узел треугольной сетки является, как правило, вершиной нескольких треуголь-17Рис:Pvc.J27328ных элементов. В основу построения этих матриц должны быть положены формулы (15. 7) с заменой индексов 1, 2, 3 на соответствующие номера вершин каждого из треугольных элементов•.После составления матриц А, Ат и С, перемножения их и обращениясцелью получить зависимостиu(АСАт)-1 Ррасчет в основном можно считать законченным, так как другие величины, которые нас могут интересовать, легко находятся по формулам:Для оценки точности такого расчета заметим, что, задаваясьперемещениями узлов сетки треугольников, мы обеспечиваем непре-•Операцию построения полной матрицы уравнений равновесия для всейсистемы можно алгоритмизировать в ВИ.D.е, У.llобном JlЛЯ ЭВМ, на чем ЗJlесь мыостанавливаться не бу.11ем.318рывность перемещений как в узлах сетки, так и на границах каждого треугольного элемента, поскольку эти перемещения линейноизменяются вдоль любой линии внутри и на границе треугольникаи непрерывность в двух точках границы создает непрерывность вовсех точках последней.Однако деформации и напряжения, постоянные внутри каждоготреугольника,будут различными в различных треугольниках и,следовательно, по линииновениядвухсоприкосконечныхаэлемен-тов б у дут испытывать разрывы.В этом заключается приближенностьотрешения,числакотораяконечныхрассматриваемомзависитэлементовтеле.вt:lПространствеиные эпюры деформаций и напряженийвполучаются(рис.328)которыерезультате5расчетаступенчатогоljвидаPllc.
J29вместо истинных эпюр,должныограничиватьсякриволинейнойповерхностью.Пр и мер. Для уяснения хода расчета рассмотрим пластинку, заданнуюпо линии 4-5 и разделенную на три конечных элемента (рис. 329) •.Зл;есь удвоенная площадь каждого треугольника.1.=а2 •Для получения матрицы Ат воспользуемся формуламиДля треугольника /:х 1 =2а; Х3 =а; х2 =а;y 1 z:O;Индексы 1, 2, 3 в формулах (15.4) заменяются наугольника доЛжно быть по часовой стрелке).(15.4).Уз=а; у 2 =0.1, 3, 2(направление обхода трее~= (1/.1.) [ul (Уз-У2) +из (y2-uJ+и2 (yl-Yз)l === (1ja2) (и 1 а +из· О- и 2 а) = (и 1 - и 2 )jа;е~= (1/~) [и 1 (х2 -хз) +из (x1 -xJ +и 2 (х3 -х 1 )] ==(1ja2) (и 1 • О+иза-и2 а)=(и8 -иJjа;v1u= (1/~) [и 1 (х2 -х3)+из (х1 -хJ+и 2 (x3 -xJ +и 1 (у8 -у2) +из (у2 -у1) ++и 2 (у 1 - Уз)]=(1ja 2)(и 1 ·О+ и 3 а-и 2 а+и 1 а+и3 • О-и 2 а)Для треугольника=(11 3 -и 2 +и 1 -и 2 )jа.//:х 2 =а; Хз=а; х4 =0; у 2 =0; у8 =а; у4 =0.Индексы1, 2, 3заменяются на2, 3, 4:е~ 1 = (1/~) [и2 (Uз-YJ+ Uэ (у, -у2) +и, (У2-Уз)] = (u2-иJja;е~ 1 = (1/~) [и2 (х4 -х3) +из (x2-xJ +и4 (хз-х2 )] = (из-иJjа;у~~= (1/~) [и2 (х4 -х3) +из (x2 -xJ + и 4 (хз-хJ ++и2 (Uз-У4) +ив (У4 -yJ +и, (У2- Уз)]= (из-:-иа+иа-иJjа.•Пример взят из книги[2]с.464,где он решен другим способом.319Ддя треугольника///:Х4=О; Хз=й; Х~=О; У4=0; Уз=й; у~~а.1, 2, 3Индексызаменяются на4, 3, 5:вl 1 1= (1/д) [ис {уз:._ у~)+ из {у~- yJ +и~ (у4- Уз>J =(из- иь)/а;е~ 11= (l/д) [и4 (х~-хз) +из (х4 -xJ +иъ (Хз-хJ) = (u,-uJja;у~~~= (1/д) [ис (хъ-ха> +иа (Х4 -х.)+иъ (x8-xJ++ tlc {уа-Уъ)+иа <иъ-УJ +иъ <ис -уз)= (иъ-и4 +из- u~)fa.Учитывая, что перемещения щ.• и 6 , и4 , t•ь равны нулю, представляем соотношенияwеЖЛ)' вектором Аеформаций•,..1 гv•1 Уху•111 ех111 • ev111 , "'!v")- ( вх•ех11 • гv11 • Уху••~н вектором перемещениАввидеае111 ==v1 -v2•·aev11 =и3 -v1 •,ае"'у--О·•ау~11 - - и1 + 113 + v1 - v1; ау~~-= и.- и1 +v1; ау~~~ -и..Маrрица коэффициентов iТИХ соотношений равна1 -1о оо ооо о оо-1 1 1100ооо о оо-1 1 о010000000ооо-1 1-1 о00-1 1 •1о000001Оrсю,р 11011учаем1-11оаоА-оооо ооо о о оо-1 1 о -1 о о о1оо1 1о ооо10 о оооо·-1 -1 о -11о о о1о оо о о1Матрица внутренней жесткости С составляется без труда по соотиошенивмаакона Гука между составляющими вектора деформацииl=(~o:~.
8111, ..,1111 1,111)8Х11 1 8 1/11 f у"8 %111 t 8V..,.IX.lJ'Жу'tX!fввекторавнутреннихCНJI11'tx.u•иэ С-.1око11 ВИ.Q.а320(15Jj) (J.1.a0111х0111'v '"(111)хумоекого иаnряжениоrо состо.вuwфJ.LоJ.L1ооо1- J.L2J.LЕс= 1-J.L2J.Lо1ооо1-J.L-21J.LJ.L1ооl-J.Lоо-2Далее следует перемножить матрицы А, С и Ат. Слелаем :~то п.ля частногослучая 1..1 = О, кorn.a матрица С будет п.иагональной:100 000 0001о о о о о о оо о оо о 0,5 о о оо о о1ооо о ооо оо 1 оС= Е о о оо о 0,5 о о оо о о1о оо о оо о оо 1 оо о оо о о000 о о о о о 0,5При умножении на диагональную матрицу каждый столбец умножается на,осоответствующий ко3ффициент диагональной матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
