Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Этот вектор связан с век-=328тором перемещенийw(15.19}матрицей внешней жесткости R:Pn=RnWn= AnCnA~W 0 •Индекс «П» означает матрицы и векторы полной системы конечных элементов.хо12J4..1уРис.332Puc.3JfЗаметим, что в данном расчете поверхность прогиба пластинкиаппроксимируется рядом поверхностей четвертого порядка (15.16)с угламипереломатов (рис.332).по линиям соприкосновенияконечных элемен§ 5. Стержневая аппрохсимац:ия сплоmиоrо тмаРассмотрим плоскую шарнирно стержневую структуру, составленную из двух видов стержней: продольных и поперечных длиной аи жесткостью на растяжение E 1F 1 и диагональных длиной aV2 иE 2F 2 (рис.
333). При большом числе ячеекжесткостью на растяжениеэтой структуры ее можно рассматривать как пластинку, работающую в своей плоскости.Определим упругие постоянные пластинки, заменяющей структуру. Ввиду симметрии последней зависимость между напряжениямии деформациями здесь можно представить в виде:Bx=(l/E)(ax-flOy); By=(1/E)(ay-f.10x); "/ху=Т:ху/G.(15.20)Или в решенном относительно напряжений виде:Ох=1!.!l2 (Вх + flEy); ау=1!!.fl' (ву+ flBx);Т:ху = Gyxg•Всего здесь мы имеем три подлежащих определению упругих константы: Е, 1.1 и G.Дадим горизонтальные смещения правым узлам вертикальногоряда ячеек относительно левых узлов на величину ~.
что эквивалентно удлинению структуры вдоль осАх (рис. 334), равному:Вх= 6/а.При этом в горизонтальных стержнях возникнут усилияN1 =(б/а) E1F1,32:1ав диагональных:N2 =[б/(2а)]E2F2.Сила, уравновешивающая усилие N 1 в горизонтальном и два усилия N2 в диагональных стержнях, равнаРх= N1 + 2N2!V2 =(б/а} (E1F1 + E2F2!V2).Разделив Рх на а, получим напряжение ах. Таким образом, приданной деформации имеемах= Р xfa = (exfa) (E1F1+ E2F 2/V2 ).Поскольку при этом е у·= О, то из уравненийах= [Е/(1Сопоставляя(15.21)и(15.22),f!2}](15.20)(15.21)следует8х.(15.22)находим, чтоEl(l- !!2) = (1/а) (E1F1 + E2F2!V2).(15.23)Разрезав структуру горизонтальным сечением Ь -с (рис.334),найдем в ней внутренние силы, действующие в вертикальном нааааSРис.335правлении.
Отнеся их к единице длины по горизонтали, получимнапряжения1 1бУ2a0 =2N 2 ~-=-E2F"-=r2a·2ааВх Е F,r2 2·ау2Сопоставив это выражение с выражениемf1y=Е1 - !12 !t8x,получимE!!/(1-fl2}=E"F"/(aV2)и, разделив на(15.23),!!-330найдем коэффициент Пуассона:E 2 F 2!Y2_E 1F 1 +E2 Fz!Y2 -Т)У2 +ТJ'(15.24)где(15.25)Далее иэ формулы(15.23)найдем модуль упругости:E~Fi/22 ]E1F1+E1F2/Jf2 =(E1F 1+E2F 2/Jf2)а(E1F1 +E2Fв/Jf2) 2 -EJFj/2E1F1 E1F1 + У2 E 2F 1E 1Fi У2 +2ТJа (E1F 1+ E2 F2 /V2)=-а- E1F1+E1F 2!Y2 =-а- У2 +ТJE=( 1 -f.t2) ElFl+EzFa/V2а= [1 ·(15.26)Чтобы получить величину модуля сдвига, дадим вертикальноеперемещение 6 правому ряду уэлов (рис.
335). При этом воэникнутусилияв диагональныхстержнях,равныеN2 =- + бE2F21(V2 aV2)= бЕ2F2!(2а),которые создадут сдвигающие напряжения2N2t(V2 а)= бE2F2 t(V2 а2).тхи =Величина Ыа эдесь представляет деформацию сдвига Ухи= Ма.Таким образом, получаем модуль сдвига(15.27)=В общем случае произвольнаго отношения '11Е 2 ){E 1 F 1 ) имеемортотропную пластинку, свойства которой меняются при поворотеосей координат х, у. Изотропная пластинка получается приG = Е/[2 (1+ f.t)].Подставив сюда найденные значения Е,изотропииf.tиG,получим условиепластинки:__.!\_У2 + 2Т]1")12 .... У2 +ч 2 [1 +чt(У2 +ч)]=У2 + 2Т)2 У2 +4ТJ ·Отсюда2ч+2V2ч 2 =V2+2ч; ч 2 =0,5; ч=1/V2.Теперь по формулам('15.24), (15.26)и(15.27)определяем упругиеконстанты изотропной структуры:f.t1/У2== _!_; Е=У2 +1/V23G = ElFl _1__I_ = ElFl.аУ2 Y~iE1F1 tr~i + У2- = _4_ E1F1.
]а У2 +1/У23 а '(15.28)2аТакая структура при очень большом числе ячеек будет эквивалентна плоской изотропной пластинке, сделанной из упругого материала с коэффициентом Пуассона f.t = 1/3. (Как иэвестно, примерно такая величина коэффициента Пvассона у строительной стали.)331И наоборот, упругая пластинка с коэффициентом Пуассона 1/3 может быть в расчете на действие усилий в ее плоскости приближеннозамененарассмотреннойстержневойструктуройсотношением1')11V2.
Приведеиные жесткости стержней E 1F 1при этом определить из формул (15.28) и (15.25):и E 2 F 2 можноE 1F 1/a = ЗЕ/4 = 2G; E,F 2 = ElF 2 /V2.(15.29)=§ 6.Расчет ПJioCRoй изотропной стержневой структурыСхема стержневой структуры имеет в расчетном отношении значительные преимущества перед континуальной схемой пластинки.В стержневой структуре легко можно учесть любые условия опирания на контуре и любую нагрузку. Кроме того, в ней можно применить эффективные методы расчета стержневых систем, описанныевыше в гл.
IV.Выбрав размер ячейки и вписав структуру в заданный контур,надо составить матрицу уравнений равновесия. Это проrце всегосделать методом вырезания узлов в виде равенств нулю сумм вертикальных или горизонтальных проекций сил, действующих на узел.В результате получим прямоугольную матрицу А с числом строк,равным удвоенному числу узлов структуры, и с; числом столбцов,равным числу стержней. Отличные от нуля коэффициенты этой матрицы равны 1, -1,11V2 и -11V2.В каждой строке таких коэффициентов может быть не более восьми (по числу стержней, сходящихся в узле), а в каждом столбце -два для горизонтальных ивертикальных стержней и четыре -для диагональных.Используя формулу (2.44)R=(15.30)АСАтдля определения внешней матрицы жесткости R, заметим, что внутренняя матрица жесткости С здесь будет диагональной с коэффи-циентами E 1F 1 /a и E 2F 2 1(V2a)= E 1F 1 /(2a):...ооо1 ...оооо0,5оооо0,5 ....'1оС= E1F1а..."'11Поэтому умножение матрицы Ат на матрицу С сводится лишьк умножению всех коэффициентов матрицы А' на С и строк этойматрицы, соответствующих диагональным стержням, дополнительнона3320,5.Далее, можно каждый диагональный стержень считать за двастержня, разделенных между собой точкой пересечения диагоналей.При этом число элементов структуры увеличится, но зато коэффициентыжесткостиE 2 F2 V21a=дляполудиагональныхстержней будутравныE 1 F 1 /а, т.
е. коэффициентам жесткости прямых стержней, и матрица С станет пропорциональной единичной матрице Е:С= EtFt оо......1 ...ооо1оооо1оо...1аПри этом формула(15.30)о=E1F1 Еа.упростится и получит вид:R = (EtFt!a) ААт.Таким образом, вектор перемещений каждого узла структуры, включая пересечения диагоналей, определится по формулеи= R-1P= (a!EtFt) (А т А)- 1 Рили для сплошной пластинки, полагая, согласно4/(3Е),=(15.29), a/(E1F 1 )[и= 4/(3Е)] (А т A)-lP.=(15.31)Элемент матрицы ААТ, стоящий в i-й строке и в j-м столбце,определяется как сумма произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-й строки той же матрицы,т. е.гдеонn-равенчисло столбцов матрицы А.§ 7.TpeyrOJIЬиa.s сетка стержнейВ ряде случаев целесообразно стержневую аппроксимацию изотропной пластинки производить в виде сетки равносторонних треугольннков (рис.336).Изотропия эдесь обеспечивается наличиемболее чем двух осей симметрии.Для определения параметров такой стержневой структуры будемсчитать ее растянутой в направлении х напряжениями ах, считаяоуО.
Тогда внутренние силы возникнут только в стержнях,параллельных оси х, и будут равны=N1 =аха V3;2.Относительное удлинение вдоль оси х, равное абсолютному удли333337)нению стержня, деленному на длину а, получится равным (рис.е_..= Ufa = Nl!(E1F1) = а_..а V3;(2E1Ft).гдеE 1F 1-жесткость одного стержнянарастяжение.ПеремещениевдольузлаСоси у определимизусловияравенствадлинАС и АС'. С точностью довеличинпервогомалостиполучаемпорядкаас~зооl!,y=-j tg30oи=за·Отсюда найдем модуль упругости структурыЕ= о_.. =-2- E 1F 1е_..УЗ аPиc.JJ5и коэффициент Пуассонаf.! = ty/tx = l/3.Последнийкимже,ратнойАневойРис.JJ7получилсякакидлятаквадизотропной стержструктурыс диагоналями (см.
рис. 333).Матрица внутренней жесткости С здесь, так же каки для квадратной структуры с диагоналями, пропорциональна единичной матрице, ввиду идентичности всех стержней треугольной структурыС= (Nt!и) Е= (ElFt!a) Е= (V3 Е/2) Е.Поэтому для перемещений данной структуры справедлива формула,аналогичная (15.31):§ 8.Расчет ПJiастинок на изгиб методомстержневой аппроксимацииДля расчета на изгиб упругих изотропных пластинок можно применять стержневую аппроксимацию, аналогичную той, которая былаописана выше в§5,где решалась плоская задача теории упругости.При этом вместо стержней, работающих на растяжение и сжатие,вводятся балки, работающие на изгиб из плоскости пластинки и невоспринимающие крутящих моментов.
Рисунок сетки балок может334быть принят такой же, как и для плоской задачи (см. рис. 333).Высоту балок примем равной толщине пластинки h. Условие изотропии расчетной схемы требует, чтобы ширина диагональных балок Ь 2 была вV2 раз меньше ширины Ь 1 балок, идущих внаправлениях х и у (эти балки мы будем называть прямыми). Последнеестановится очевидным, если представить себе пластинку как совокупность слоев,состояния,иработающих в условиях плоского напряженногоприменить к каждому слою стержневую аппроксимаuию. Для каждого бесконечно тонкого слоя пластинки толщинойdh1 справедливы соотношения (15.28):=Е=-~ Е1Ь1 • 11 _ _!_3 а •r-3'где Е 1 - модуль упругости аппроксимирующих стержней; аразмер ячейки сетки балок; ~ - коэффициент Пуассона, которыйздесь равен всегда 1/3, что не вносит существенной погрешности в результаты расчета.Перейдя к пластинке, выразим ее цилиндрическую жесткостьчерез жесткости аппроксимирующих стержней следующим образом:D=Eh312 (1-!12) -43Elblh3Elblh312 (1-1/9) а= ваОтсюда получаем параметры аппроксимирующихбалок:Е 1 Ь 1 = 8D/(ah3); Е 1 Ь 2 = 4 V2 D;(alt 3).Для расчета сетки балок требуется составить уравнение равновесия методом вырезания каждого узла сеrки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
