Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В первом случае оболочка вращения б у дет· положительнойгауссовой кривизны (рис. 350, а), а во втором - отрицательной(рис. 350, 6).~§ 6.Решение уравнений равновесия безмоментной обопочкивращения в тригонометрических рядахПоскольку в дифференциальное уравнениечетные производвые по'IJ,(16.21)входят толькото его можно решать методом разложенияв тригонометрические ряды по 'Ф· Для этого представим нагрузкув видерядов:000000Z = ~ Z,. cos n-ф; R = ~ R,. cos n1jJ: V = ~ V,.
sin n'ljJ,n~гдеZ,., RпТогдаиn~V,. -W можнозаданные функцииn~z.искать в виде ряда00W = ~ Wn COS n~.a~u(16.22)Подставив п-й член ряданияcos n'ljJна(16.22)в(16.21),W~+(rw{r)(n 2 -1)Wn=XnгдеXn-коэффициентп-гочленаполучим после сокраще(n=O, 1, 2, ... ),разложения(16.23)функцииХ=00=~ Xn cos n'ljJ. Согласно (16.19),n=o=Хп[nV п- п 2 Rп + r' (n 2 - 3) Zп]- r' (Zп!siп s)'.уравнение (16.18) сводится к обыкновенным(r/siп ~)Аналогично,дифференциальным уравнениям:rY~Приn+ 2r'Y~ + n r"Y n = Xn2(n =О, 1, 2, ... ).=О, т.
е. при осесимметричной нагрузке, имеемw; -(r"fr) Wo=Xo,илиrY;(16.24)+ 2r'Y~ = Х0 ,(16.25)гдеХ 0 = - (3rr' tsins) Zo- ,в (Z0/sin~)'.Уравнения (16.24) и (16.25) дают лишнее решение, появляющееся при исключении величины S ( 16.17), которая при nОдолжна быть равна нулю. Из первого уравнения (16.16) при S =О=можно получить сразуzУ~=- rlofsinУ о= С-~ (rlofsin6;6) dz,(16.26)огде С- произвольпая постоянная. Нетрудно проверить, что решение (16.26) удовлетворяет уравнению (16.25) и совпадает с решением, полученным выше для осесимметричной нагрузки из условия равновесия части оболочки, лежащей выше плоскости=z= const (§ 2).При n = 1получаем из(16.23)(16.27)Заметим,чтовнутренних'Ф, =величинасилвW1сечении=rY 1пропорциональнаz = const,взятому±л:/2. Действительно, этот момент равен (рис.2nмоментуотносительноМоси351)2nМ=~ У d'ljJ·rcos'ljJ=Y 1r ~ cosZ.Ч,d'ljJ=nY 1r=nW 1 •оТогда л:Wiоможно трактовать какM"=-q+m',гдеq-поперечная нагрузка на ось оболочки; тная моментпаянагрузка на ту(16.28)-распределенже ось.349Из сравнения(16.28} и (16.27)получаемт'- q= (nrtsin s) (Vt- Rt-2r' Zt) + nr2 (Z1 /sin s)', (16.29)чтоnодтверждаетсяпроверкойстатическим nутем (рис.352):2nq =С Rt~osф СОS'ф·Гd-ф-Jо2n._·.
41,SlП 'I'·ГSSIЛd••,'1'=~,t (Rt-Vt};=т=·V1 sin ф~-SIЛ S(16.30)Stn <:.2nС Z1 cos ф • r cos ф · r dфJ=sinsоs'оrcosfl)rsin2nrr' 1 -nr11 ( -Z.1-)' от , =--.-ZSIЛ1 Рис.351SПодставляяв левую частьStn(16.30)(16.29},S(16.31)(16.31)иприходимк тождеству оТаким образом, при расчетеоболочкику,вращенияна нагруз·соответствующуюпервомучлену разложения в тригонометрический ряд по1\J,величинуwlможно определить как дменныйнаnизгибающийстержне,сечения, равныелочкинагрузки,свосьювращения оболочки и имеющемPuc.35Zотмоментсовпадающемприложеннойсечениямплоскостямиобо-z = const,выше плоскости рассматриваемого сеzчения= consto Следовательно, изложенное в § 4 подтверждается при условии, что нагрузка распределена вдоль параллелей позаконамcos 1jJ§ 7оиsin \J'·Деформации обопочки враm:евu, выраzевRЬiев цВJIИвдрическвх коор.цвватахОбозначим горизонтальное смещение по радиусу точек поверхности оболочки через ~.
вертиt<альное смещение - через 11 и rop~-3.10-Зонтальное смещение по касательной к параллеличерезv;выразим деформации оболочки через эти компоненты перемещений.Puc.15JrPuc.J5iРис.15'1'Проектируя перемещения х и у на касательную к меридиану,получим уравнение для меридионального удлинения 8 (рис. 353):ддzх dzcos~+ ддуzdzsins=8ds= ~~.м~Далее без труда можно получить кольцевые удлинения '11 (рис.дvrдфи, наконец, согласно рис.(16.32)величину сдвига у:355,+ дz dz sindz ; _ v cosr 6 -У·_последнем выражении r/cos s представляет собой расстояние под (х cos ; +уrдфВх+ г='l'),354):~sin ;)касательной к меридиану от точки касания до пересечения с осьюоболочки.Итак, имеем три уравнения:8=1~= cos ssiп s+ ~; sin1 ~;х1 дv'1')=-,+-,а,р:дх cos 6у=---дфrДляпроверкиэтихуравнений равновесия(16.33)+ду sin 6+ дvдфr.
т:cos ;-sш."-v--.дzrуравнений составим матрицу(16.13)(табл.операторов11).351ТаблицатNg~(·rsin~о%az(·rcos~sдrlsin ~дТJГ/sin ~yrjsin~sinrV( · r)+ctg ~дZsin ~ дфer/sin ~rRctg~ дфsin~доDддфд-11sin~~Для пояснения заметим, что в правом столбце таблицы сто11тпроекцииравнодействующейвнешних сил,менту проекции поверхности оболочкиприложеиныхrd'I\Jdz/sinк эле~. и что сопряv,женные с ними обобщенные перемещения равны х, у икоторыеи помещены в крайнем левом столбце. А так как работа внутреннихсил, приходящаяся на элемент поверхности оболочки, равнаdzdz)edz- ( Tr d'Ф -.- t + N -.- t 11' d'Ф + Sr d'Ф'\'~ ,sш..,sш..,sш..,то обобщенные деформации, сопряженные с внутренними силами'.(!,NиS,помещенные в нижней строке таблицы, равныer/sin11r/sin 6 и 1''/sin ~.i,Произведя транспонирование операторов по правилам, указанным в § 4 гл.
V, получим уравнения:1-rsiп ~ ддуz -rcos ~ дд~z +е~=mn.., О;х-sin~дv1-sin6.2J!_дх- б'\J - ctg ~ дфд\jJ + 11rsin.J~ =О,дvrr дZ + v ctg ~ + 1' sin ~ =О,что полностью соответствует уравнениям (16.33).Исключим из уравнений (16.33) переменную v. Длядем из второго уравнения (16.33)дr:Jfд'Ф= -x+r11.Затем продифференцируем третье уравнение (16.33) пожим на sin 6:д2хдфDCOS!:L .6 + д1р1Подставим сюда+ дфду~ cos"2д1х<.:2-SШ ~этого найwи(16.35)умноovqy+ дz дф Г SIП.
6 - дфCOS 6=Г дф.д2v(16.35), получим· r:дх· t +tsш~-az-rsш."xcos."=r-rr' sin 6·11+rcos; ·11·352(16.34)дуа ·tдТJд'IJ-r sш."д'i-Из этого уравнения и первого уравнения системы (16.33) можноисключить у. Для этого представим эти уравнения в виде:д 2у =-ctg..p дф2аах +г~-ctg~·x+-.'дудz~SIЛ ~ дфдф2- r2дrJ -r'г1J+гctge·1J''дziJЗx ct Е+~= _1_ ааедх дlj:2 gдz дф2sin2 ~ дф11ctg ~.или, учитывая, что г' =в виде:д'у' д2хдх'r дr•2 дТJ )w=-Г д1J;2 +raz-Г х+ sin~ дф -Г дz";, iJЗxiJЗy1д2е' дz Uф•~ = slri2 ~ Uфl •(16.36)+Отсюда легко исключить д 2у/дzд1р 2 , продифференцировав первоеуравнение (16.36) пои вычтя его из второго уравнения:ziJЗx,д•х,д3х,дхд1х,д,х+ r az + r дz2- r"х - r az ++ ~ ( 8~~ ~)- ~ (г2 ~)- sl~~~r дz Uф2-r" дфа-r дz д'ф'-w=O.После приведения подобных членов получим(16.37)где8=s~a; ~ + jz (га{;)-~( s~~ ~)·Заметим, что операторы в левых частях уравнений (16.37) исовпадают.Перемещение у можно выразить через х при помощи nервогоуравнениJI (16.36), интегрируя его дважды по 'ф, а nервмещение vпри помощи второго уравнения (16.34), интегрируя по 'Ф один раз.(16.21)§ 8.Свазь между виутреввимв СВJiамв в деформациямив обоJJочке вращенияЕсли материал оболочки изотропный, то осевые усилия Т,Sи деформации е,1J,N,у связаны между собой законом .Гука:e==iв(T-~tN); 1J=iв<N -~tT); у= 2 <~t!1) s.· (16.38)Здесь Е-модуль упругости;~-коэффициент Пуассона;tJ -толщина оболочки.Такая форма зависимости между усилиями и деформациями обуconst и = const наповерхности оболочки взаИмно ортогональны.словлена тем, что координатные линии 'Ф=z353На основании закона ГукаможновыразитьчерезE68=-Iаsт12sln6-Jt[ s~~s(16.38)дф8величинувнутренние ив уравнении+ .!.__ (г2 дN)- 2~(-'-!.§__)sin sдzдzдzд1t:~ + ~ (г2 ~ )-2 ~ (s~s g~ )].Далее можно выразить внутренние силы через функциюТ= Yt(rи на основании(16.17)и(16.39)(16.14)1sin ~)(16.15):дSf(}ф = - дУjдz- rZtsinN = sin ~(16.37)внешние силы:~ (r'Y) + cos 6 ~+ rR = sin 6 ~si(г' У)- cos ~ ~; -- rr' Z + rR = r" s in ~ · У + r' sin ~ ~~ - cos 6 ~~ - rr' Z + rR ===r"sin ~·У -rr'Z+rR.Подставив эти выражения в(16.39),~а1д2 УЕ uu=tsinзi дфl-получимдr дУ+azд [ Г rz(rsшs·Y)+2Sihfдzr :z (rr' Z) + 2 si~: ~ Z + r ~ (г R) J- J! { sin ~ ~ ++ 7fiд [г?..!_(У )+2 ' ~] -~ a~az +дz ~S1ii"'f дzsin2 s дф•+2_i_ (~z)+ -'a~R}·sin2 ssin2 sw •1122дzд'ф2Это выражение дает свободный член в уравнении (16.37) для определения перемещений х.
Ввиду сложности этого выражения решение уравнения (16.37) при наличии внутренних сил в оболочкев аналитическом виде нецелесообразно,и лучше применять дляэтой цели численные методы.§ 9.ВРешение уравиеRИЛ перемещеиий иенагруженнойбезмоментной оболочхи вpaщeiiiUIиенагруженной оболочке отсутствуют внутренние силы и,следовательно, равны нулю деформации е, fJ, i'• а также зависящаяот них величина 8. При этом перемещения х, которые могут возникнуть в оболочке, должны подчиняться однородному дифференциальному уравнению в частныхд2хдz2 -производных:д2хr,w (дфll+ х ) =О.Для п-го члена разложени5{ в тригонометрический рядХ354= 1: Xn COS n-фполучаем обыкновенное дифференциальное уравнениеr"х~+-,Приn(n 2 -1)x=0 (n= 1, 2, ...).(16.41)=О, т. е.
для осесимметричной деформации, это уравнение неприменимо,таккакдает лишние решения,вызванные операцией дифференцирования для исключения перемещенийv,которые при осесимметричной деформации отсутствуют.Приn=1получаемх; =О; х1= C1z + С2:х=(Ctz + С2) cos 'i'·~о решение соответствует наклону оболочки исмещению ее в направлении оси>поступательномуО как жесткого целого.1jJ =При n1 можно получить ряд решений в замкнутом виде дляотдельных очертаний оболочек.
Все эти решения содержат по двепроизвольвые постоянные, которые следует определять из условийзакрепления оболочки на горизонтальных срезах.Поставим задачу: определить необходимые условия закрепления оболочки, обращающие общее решение однородных дифференциальных уравнений(16.40)и(16.41)в нуль.
Очевидно, что еслиэти условия не будут выполнены, то оболочка может иметь ()Тличныеот нуля перемещения при отсутствии деформаций ее срединной поверхности, т. е. при отсутствии внутренних сил и нагрузки. Такиеперемещения, как уже было сказано, называются изгибанием срединной поверхности оболочки и свидетельствуют о геометрическойизменяемости последней как статической системы.Опорные связи в безмоментной оболочке могут быть тольков касательных плоскостях к ее поверхности, так как составляющиеопорных реакций, нормальные к поверхности оболочки, не воспри·нимаются последней.Мы здесь рассмотрим связи, идущие по направлениям касательных к векоторой параллели и по направлениям касательных к меридианам. Первые связи препятствуют перемещениsiмперемещениями,и= хИз первого уравнениядф 2 = д2ид"ф 2д2х= д"ф2Для(16.42),•.1д 2х. ".COS'Ji- Г д"ф 2 SШ,;n-rocos(16.36)д2уи, согласноv,вторыеравным1~+у siп ~.при у ид2х'11·дх(16.42)равных нулю, получаем1r д"ф 2 +г дZ - r х+ Г дzдх •1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
