Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Можно определитьвероятность Рх (а) того, что реализация случайной величины будетменьше а. Эта вероятность равна площади кривой распределения,лежащей левее ординаты а (рис. 376). Кривую Р х (х) (рис. 377) можнопостроить, интегрируя кривую распределения Рх (х):хРх (х) =~ Рх (х) dx.-ооПоэтомукривуюк р и в о йР х (х)будемназыватьр а с п р е д е л е н и яи н т е г р а л ь н о йс л у ч а й н о йв е л и ч ин ы х. Кривую Рх (х) более точно называют к р и в ой р а сп ре д ел е н и яп л о т н о с т ив е р о я т н о с т ивеличиных,посколькуРх (а)= Р; (а)представляет собойпредел вероятности нахождения< < +величины хв интервале ахаdx, деленной на dx.В дальнейшем случайные величины в отличие от их реализацийи от детерминированных величин будем обозначать буквой с волни-стой чертой сверху (тильдой), например х.Кривая распределения плотности вероятности Рх дает полнуюхарактеристику случайной величины х.
Однако во многих случаяхможно довольствоваться основными параметрами случайной величины,главнымиматематическоеизкоторыхожидание,являютсяцентрсовпадающиесораспределения,среднимилизначениемслучайной величины х:00х = ~ хрх (х) dx,-ооидисперсия00х=~ (х- х) 2 Рх (х) dx.-ооКорень квадратный из дисперсииx=Vxназываютс т а н д а р т о м,о т к л о н е н и е милис р е д н е к в а д р а т и ч н ы мслучайной величины от ее центра.Используя геометрические представления, мы можем оnределитьцентр распределения как абсциссу центра тяжести площади кривойраспределения, а дисперсию374-как момент инерции этой площадиотносительно вертикальной центральной оси,или, учитывая, чтоплощадь кривой распределения равна единице, как квадрат радиусаинерции этойплощади.§ 2.Обычно криваяВиды :кривых распределеiПIJIраспределенияимеет колоколообразный вид.Наибольшее количество случаев дает реализации вблизи центрараспределения, а чемотклоненияменьшебольшецентра,вероятностьявления.числеоттемихРхпоПри ограниченномиспытанийможно выделить наибольшую и наименьшую реализации случайнойвеличины.
Однако при увеличении числа испытаний крайние реализации все более удаляются от центра. Теоретичеcки можно представить, чтокривая распределения уходит0 t--~~+--,if--::+---.1-:r---:!:.-~!'!1--+-в бесконечность с одной илиРис.хх378с обеих сторон.Наиболее часто применяется теоретичесю1я кривая распределения,описываемаяуравнениемРх (х)(х-х)'1= 1 r;:-::: еv---2х(17.1)•2nxЭто распределение называется н о р м а л ь н ы м,с о вы м, и имеет вид, показанный на рис. 378.11V2nxили г а у сКоэффициентвводится дл~ т~о, чтобы площадь кривой распределениябыла равна единице.
х и х представляют собой здесь центр и дисперсию нормального распределения. Кривая (17.1) уходит в бесконечность в обе стороны от центра с очень быстро затухающими ординатами.Интегральная кривая нормального распределения выражаетсяформулойр х (х)=х11г.==V(х-Х}'\--2лх_J002:хеdx.Введя новую переменную под знаком интегралаv= (х- x)tx.эту формулу можно преобразовать к виду(х-х)1V2лР х =--=~х-оое-'1''212dy = -+ Ф ( ~)х •37fi1 ~ -~Ф ('у)= у iii.) еdxгдео-интеграл вероятности Гаусса. Для этого интеграла в справочниках имеются подробные таблицы.
Некоторые значения ординаткривыхнормальногораспределенияР х в функцииот у=(х-рx)lx даны в табл.=14.Таблица1,282,323,150,10,010,001,. 3,7714,004,505,003. JO-tl ,2,9. J0-70,00011114Для величин, которые не могут принимать отрицательных значений, применяются различные асимметричные кривые распределения. Однако во многих случаях для этих величин можно использовать и нормальное распределение при условии, что центр распреде-ления отстоит от нуля на несколько стандартов хрис. 378), тогда вероятность отрицательных значений=v; (см.будет ничтожно малой и ею можно пренебречь.Для всякой интегральной кривой распределения Р х (х) можнопостроить обратную функцию зависимости х от Р х· При этом значения х называются§ 3.к в а н т и л я м ив е р о я т н о с т иР х·Распредел:епие двух случайных величинДве величины х и у могут рассматриваться как двумерный вектор или как точка в пространстве координат х, у.
Для каждой такойточкиностьвеличин!Jможновероятностих,у,ту площадиплотностьопределитьплотпоявленияпарыотнесеннуюdF = dxdy.кэлеменОткладываявероятности в виде аппликаты Рхи• получим поверхность,руюназываюткотоповерхностью распре·деления двух случайных величин хн у. Эту поверхность можно изобрао~------~х------~хРис.зитьнами (рис.плосJ<Остих, у горизонталя379).Центры распределения х и у можJ79но получить по фОрмулам:X=~XPxudF; !J=~YPxydF,в которых интегрирование ведется по всей бесконечной плоскостих, у.
По фОрмулам:х = ~ (х- х) 2 Рху dF; У=~ lY~ У) 2 Рху dF; ху= ~ (х- х) (у- у) PxudFопределяются дисперсии х, у376и смешаннаядисперсия ху.Для независимых случайных величин плотность вероятности ихсовместного появления равнапроизведению плотностей вероятности каждой величины:Pxv=PxPv·При этом0000ху= ~ (x-x)pxdx-оотак~ (y-!J)p 11 dy=0,-оокак0000~ (х- х) р.., dx =~ хр.. dx- х ~ Рх dx = х- х · 1 =О;-оо00-оо-оо-ооТаким образом, смешанная дисперсия возникает лишь при наличии корреляционной связи между случайными величинами, выражающейся в том, что вероятность появления определенного значения у зависит от того, какое ранее было реализовано значение х.Рассмотрим теперь линейную функциюz=ax+Ь.iJ+c.-где а, Ь и сдетерминированные коэффициенты.Uентр распределения 2 определяем по формуле~ = ~ ZPxv dF =~(ах+ Ьу+с) Pxv dF =ах+ bg +с,z-а дисперсию( 17 .2)по формулеz = ~ (z- z) 2 Pxv dF.Подставляя сюда значениеz,получаемz=~(ах+ Ьу+с- ах- bg- с)2 Pxv dF ==~[а (х- х) + Ь (у- g)] Pxv dF = а 2 ~ (х- х) 2 Pxv dF ++ Ь2 ~(у- g) Pxv dF + 2аЬ ~ (х- х) (у~ g) Pxv dF = n x+ Ь 2у+ 2аЬху.222В случае независимых случайных величин х и уi=а 2х+Ь 2у.( 17 .3)Отметим здесь также, что если величины х и у подчиняютсянормальнымзаконамРх =распределения,r 1r 2nxpll = .r Ir 2nllехр [- (х- х) 2 /(2х)];ехр [-(у- g)2/(2[J )],377тоz (17.3) будет также подчиняться нормальному законуPz = ,, 1f2:rtzехр [- (z- Z) 2/(2z)].Доказательство этого можно найти в курсах теории вероятностей.§ 4.Надежность в Rоэффвцвент запасаПусть конструкция рассчитывается по формулеt<x.причем необходимо,g, ...)=s,чтобы величинаs(17.4)не превышала некоторогозначения Sпр:(17.5)Будем считать, что величины, входящие в формулу (17.4), случайные.
Тогда ибудет случайной величиной. Положим далее,что кривая распределениякаким-то образnм определена. ТогдаssPsPs1~.!..оQ·5iSу!iPuc.JBIPuc.J60пq интегральной кривой распределения Р s можно найти квантильвероятности N того, что реализациябудет меньше этого квантиля.Это можно сделать, отсекая на кривой Ps ординату PsN(рис. 380). Положив этот квантиль равным предельной величинеs=s,,P,получаем, что N представляет собой вероятность выполнениянеравенства (17.5). Эту вероятность можно назватьн а д е жн о с т ь юк о н с т р у к ц и ипо отношению к требованию(17.5). Очевидно, что надежность N должна быть близкой к единице, иначе конструкция вряд ли будет удовлетворять своему назначению.Возьмем простейшую расчетную формулу,щуюся в расчетах сооружений,широковстречаюR-Q=S.RЗдесьпредставляет собой прочность элемента, являющуюсяслучайной величиной; Q- случайные напряжения, вызываемыев элементе нагрузкой; S - разность между прочностью и напряжением, которую можно назватьр е з е р в о мn р о ч н о с т и.378Необходимым требованием является условие положительности>резерва прочности, т.
е. условие неразрушимости §О.По формулам (17.2) и (17.3), учитывая, что k и Q независимыеслучайные величины,можно найтицентри дисперсию резервапрочности:(17.6)kЕсли распределенияиQ будутнормальными, то иSбудеттакже подчиняться нормальному закону распределения. При этомзаданной ординате интегральной кривой распределения Ps будетотвечать какое-то количество у стандартовот центра распределенияS (рис.S = Vs,отсчитанных381). В данном случае при S = Оордината Ps должна быть равна 1 - N. Это означает, что на отрезке О< S < S должно уложиться у стандартов S, где у - величина, соответствующая заданной надежности N.
Эту величинуназовемх ар а к т ер и с т и к о й без оп а с н о с т и; во многих случаях ее можно принять равной трем, что соответствует надежности N0,9987.=Положив, таким образом, у=S/S,получим из формул (17.6):v=<R-Q>;YR+Q.коэффициент запаса 6. который(17.7)Найдем теперьопределим какотношение центров распределения прочности и напряжений:6= R;Q.(17.8)Разделив в формуле (17. 7) числитель и знаменатель наQивведяобозначенияR!R2 = Ak,; QfQ 2 =А~.получим с учетом(17.8)y=(6-1);VAk6 2 +A~.откуда, решив уравнениеs= [1 + V'\'2(17.9)относительно(17 .9)6.найдем(АЪ+ Ak) -у•АkАЪ ];(1- y2 Ak).(17 .1 О)Величины AR и AQ представляют собой изменчивости прочности и нагрузки, равные отношениям стандарта соответствующейвеличины к ее центру:AR =R.;R; AQ = Q/Q.В Нормах расчета строительных конструкций введены особыевеличины, названные коэффициентами однородности и коэффициентами переrрузки.
К о э ф фи ц и е н т о д н о р о д н о с т и представляет собой отношение расчетного значения прочности к нормативной прочности.К о э ф ф и ц и е н тотношение расчетного значениянагрузкип е р ет р у з к и-эток нормативному ее зна.379чению.
Если принять за нормативные величины центры их распределения (в Нормах это не строго соблюдается), а расчетным значениям приписать одну и ту же обесnеченность (т. е. вероятностьнеnерехода через них), соответствующую характеристике безоnасности у, то коэффициенты однородности k 0 и коэффициенты перегрузки k 0 можно определить формулами:ko = (R- yR)!R = 1 - yAR;kп = (Q + yQ)JQ = 1 + yAQ.Оnределим из этих формулAR = (1 - ko)/y;AQ = (kn- 1)/ун подставим в формулу для коэффициента запасапосле некоторых преобразований:(17.10).По.ТiучимS= [1 + Vl- kokn (2- ko) (2- kп)f[ko (2- ko)].§ 5.(17.11)Сочетания пocтoJIJIIIЬIX наrрузохКогда nолная нагрузкаQ представляетсобой сумму n отдельных случайных нагрузок, центр ее распределенияQ равенсуммецентров распределения каждой отдельной нагрузки:Если отдельные нагрузки корреляционно между собой не связаны, то дисперсия nолной нагрузки равна сумме дисперсий составляющих нагрузок. Эrо вытекает из формулы(17.3),обобщеннойна случай нескольких слагаемых:В более общем случае получаемnnnQ = 1: Q;+21: ~ Q;Qj.i=lгде~Q;Q1 -i=l i=lсмешанная дисперсия нагрузок- Q-1.QiиИзменчивость nолной нагрузки, состоящей из корреляционнонесвязанныхнагрузок,равнаЭту формулу можно представить в видеAQ=VaiA~ 1 +а~А~2 + ...
+а~А~ nгде AQ,(17.12)= YQ;/Q;2 -изменчивость i-й нагрузки; c.t; = Q11Q- доляi·й нагрузки в общ~м нагружении.380,ЗначениеAQ (17.12)можно внести в формулу(17.10)для определения коэффициента запаса.Определим для полной нагрузки общий коэффициент перегрузки,имеющий ту же обеспеченность (или характеристику безопасности у),что и коэффициенты перегрузки для составляющих нагрузок:Таким образом, имеем формулуkn -1= Va~ (kпl -1) 2 +~ (kп2- 1)2 + ..
.+а~ (kпп -1) 2 •§ 6.Сочетания прочиостиых свойств. Методстатистической линеаризацииПрочность часто выражается более сложной формулой, чем простая сумма компонентов. Например, прочность сечения железобетонной балки определяется, согласно Нормам, следующей формулой:М= RJa [ho- RJ8 /(2bRпp)].Здесь МRah0--(17.13)предельный момент, воспринимаемый сечением балки;предел прочности арматуры;fa-площадь сечения арматуры;расстояние от центра тяжести арматуры до верхней кромкибалки; Ь- ширина балки; Rnp- прочность бетона на сжатие(призменная).Из этих величин Ra и Rпр являются случайными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
