Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В плитахи невысоких балках случайной следует считать величину h0 , имеющую в ряде случаев значительный разброс по технологическимпричинам.Для того чтобы определить характеристики распределения нелинейной функции случайных аргументов, можно применить точныеметодыпостроенияеераспределения.Однако ввидусложностиэтих методов обычно используется приближенное решение, в котором нелинейпая функция заменяется линейной путем разложенияее в ряд Тэйлора в окрестностях центра распределения случайныхаргументов и отбрасывания неюшейных членов разложения. Отброшенные нелинейные члены в окрестностях центра распределения малы, а при больших отклонениях случайных аргументов отихцентраисчезающемалыплотностивероятностираспределенияфункции.
Таким образом, данный метод оказывается обоснованнымдля случаев, когда значения рассматрнваемоii фунJ<U'''' вмеют относительно небольшоii разброс.Так, функцию М-~~(17.13)•М= М (R 8 , Rпр• 11о) ~М(/(.,дМ+ QR., (R••R""'-·можно nыразJJн. "r"бJIIJжciiJJo о UIIЖ'Rap•filio) (R,.. - Rup)дМо)+ дRдМah~(R., RDP• о) (1< 1+ а11• (R •.-·-R.J t--Rap• ho) ('1., - hn)381ОпределивдМ!дR. =f.ho-R.t:t(ЬRпp); дМ!дRпр = R~f~l(2bR~p); дМ;дhо =R.t.и обозначивf.ho- R.fЩЬRпр) =А; R~f~I(2ЬR~p) =В; R.t.
=С;RJ. [ho- R.f.I(2ЬRпp)] =М о.получимМ~ Мо +А (R. -R.)+B (Rпр -Rпp)+C(ho -lio).Отсюда находим приближенные значения центра и дисперсии ММ~ Мо: М~ A 2 R. + В 2 Rпр+ C2ho.а также изменчивостиАм= V A 2 R.+B 2 Rпp+C 2 ho!Mo.Эту величину можно подставить в формулу (17.10) для определения коэффициента запаса вместо AR· Нагрузка Q должна бытьпри этом выражена через изгибающий момент, вызываемый еюв опасном сечении, например, для однопролетной свободно опертойбалкиQ=q[2j8,q-гдеслучайная по величине равномерно распределенная погонl-ная нагрузка;пролет балки. ТогдаQ=ql 2 f8; Q=ql4 /64; Aq=Vq!q=Aq.Описанныйприближенныйс т а т и с т и ч е с к о й§ 7.метод носитназванием е т о д ал и н е а р и з а ц и и.Повторвые вагружевияПусть некоторая нагрузка прикладывается к сооружению двараза.
Вероятность того, что нагрузка в обоих случаях окажетсяменьше х, равна Р~ (х), где Р q (х) - вероятность для нагрузки бытьменьше х в каждом случае нагружения. Вероятность же превышения х хотя бы один раз будет 1 - Р~ (х).Аналогично, при п-кратно действующей нагрузке вероятностьнепревышения ею величины х ни разу будет Р~ (х). Таким образом,прип-кратномвероятностиPqнагруженииинтегральнаякриваяраспределения(х) переходит в кривую Р~ (х). Что же касаетсякривой распределенияплотностивероятности для п-кратнойнагрузки, то она будетdРqп =ахгде382pq -pnq= n pn-lqpq,ординаты кривой распределения однократной нагрузки.Интегральнаякривая распределения дляnраз повтореннойнагрузки получается путем возведения ординат интегральной кривойраспределения(рис.дляоднократнойнагрузкивп-юстепень382}.Если для однократной нагрузки допускается определенная величинаq1 ,являющаясяквантилем распределения,соответствующимР, t------.-F-~fo~~~~~--------~fJ.-q,оРис..JВJзаданной вероятности Р 1 ее непревышения, то при п-кратном действии той же нагрузки расчетная ее величина qп должна быть увеличена путем переноса точки интегральной кривой распределенияоднократной нагрузки; соответствующей вероятности Р 1 , по горизонтали до пересечения с интегральной кривой распределения дляп-кратной нагрузки.Пр и мер.
Однократная нагрузка подчиняется нормальному закону распределения. Характеристика безопасности для однократной нагрузки у 1 принимаетсяравной трем, что соответствует обеспеченности Pq = 0,99865 и коэффициентуперегрузкиk~ 1 =1+3Aq.При 50-кратном приложении нагрузки для получения той же обеспеченностир~501 =0,99865= 1-0,00135следует положитьР q= 6·~/.,.--1-----=о""",оо=-=-=13=5= 1-o,ool35;5o= 1-о,оооо21 =0,999973.ПолагаяР 9 =0,5+Ф (у 60 ); Ф (у60 )=0,499973,по таблицам интеграла вероятности определяем у 60 = 4,03. Таким образом,коэффициент перегрузки при 50-кратном нагружении следует повысить доk~•o 1= 1+4,03Aq.Это последнее значение коэффициента перегрузки можно подставпять в формулу(17.11) для определения коэффициента запаса.Для многих нагрузок, имеющих несимметричную кривую распределения,матьвможноинтегральнуюкривуюраспределениявиде двойного экспоненциального законапринираспределенияГумбеля:Р9 = ехр [ - ехр (а~ q)J.(17.14)383Такому закону, в частности, с достаточной точностью подчиняетсягодовой максимум снеговой нагрузки.Припереходе к n-Iфатной нагрузке получаем интегральнуюкривую)]Р~ = ехр [ - nexp( a~q = ехр [ - ехр (Inn+ a;q)] ==exp(-exp(a-q;~Iпn ].которая отличается от кривой для однократной нагрузки (17.14)q в ней сдвинуто вправо на велитолько тем, что начало отсчетачину ~ln n(рис.383).Очевидно, что стандартq приэтом не изменяется.
Поэтому при переходе от однократного нагружения к п-кратному для сохранения той же обеспеченности следует увеличить расIn n.четное значение нагрузки на ~Решая уравнение(17.14)относительноq= а-~ ln (-ln Р 9 ) =q,получаемq~1~сч·(17.15)Здесь q- квантиль двойного экспоненциального распределения,соответствующий обеспеченности Р 9 , который можно принять зарасчетную нагрузку при однократном ее действии. Тогда расчетнаянагрузка при п-кратном действии равнаq~~~ч =а-~Пр и мер.In (-ln Р 9 ) + Р In n =а-р ln [(-ln Р 9 )/n].Максимальная за год снеговая нагрузка для Москвы, согласномноголетним статистическим наблЮдениям, подчиняется интегральному законураспределения(17.14)с числовыми коэффициентами:а=931 Нjм2;~=365 Нjм2.(В расчетноli практике принимаются обычно значительно меньшие значения снеговоliнагрузки.)Задаваясь обеспеченностью Pq = 0,99865, соответствующей харак:еристикебезопасности у3 для нормального закона распрЕделения, получим иэ формулы(17.15) для однократного действия снега:для сооружений с годичным сроком службы=q~~сч = 3342 Нjм 2 ;для сооружений со сроком службыnлетq~~)сч=(3342+3651пп) Нjм2.§8.Нагрузки, непрерывно изменяющиес.и во временипо с.пуча.йному законуК нагрузкам, непрерывно изменяющимся во времени, относится,например,ветроваянагрузка,причемневозможнопредсказать ееточное значение в наперед заданный достаточно отдаленный срок.Нагрузки типа ветровой являются случайными функциями времени.Для прошедших моментов времени эти функции принимают вполнеопределенныезначения,посколькуосуществляетсяпекотораяихреализация.
Однако в другой такой же период времени при совершенно таких Же условиях возникает иная реализация случайной384функцииf (t)(рис.384).Все возможные реализации группируютсявблизи линии ожидаемых значений случайной функции, и отклонения от этой линии возникают с тем меньшей частотой и вероятностью, чем больше это отклонение. Случайную функцию аргументаможно определить так же, как случайную величину, распределениекоторой зависит отМы будем обозначать случайную функцию темtt.же надстрочным знаком, что и случайную величину:q =] (t).qв два достаточно близкие друг к другу момента времениЗначенияf{t)~О~•.i,tt2о~--------------------~tPuc.J85Рис.38Ч/1 ии/2не могут считаться независимыми случайными величинами,междунимисуществуеткорреляционнаяной дисперсии...-------...._-f (tt).
f (t2) = f (tl,связьввиде смешанt2)·Эта смешанная дисперсия называетсяк о р р е л я ц и о н н о йф у н к ц и е й, и она тем больше, чем ближе моменты времени t1и/2друг к другу.При= t2t1корреляционная функция превращается в диспер-сию:f(t, t)=f(t).С т а ц и о н а р н о й с л у ч а й н о й ф у н к ц и е й называслучайная величина, распределение которой не зависит отаргумента t, но реализации осуществляются в виде непрерывнойфункции этого аргумента. Иными словами, стационарная случайетсяная функция есть случайная функция, статистические свойства которой не меняются при изменении аргумента. В частности, ожидаемое значение и дисперсия стационарной случайной функции-постоянные величины, а корреляционная функция зависит только отразностиt1-t2моментов времениt1иt2 .В теории надежности большое значение имеют выбросы с.'lучайной функции за некоторое критическое или предельное значение(рис.385).Эти выбросы происходят через случайные промежуткивремени и имеют случайную длительность.
Математическими методамиможноопределитьраспределениеэтихпромежутковидлительностей, однако эти методы довольно сложны и здесь мы не имеемвозможностинанихостанавливаться.Для практических целей можно рекомендовать приближенныйприем расчленения времени на отдельные промежутки!1t,величина385которыхдолжнаудовлетворятьфункция аргументовt1t2 ,иусловию,чтокорреляционнаяразделенных промежутком времени т,большим по абсолютной величине, чемl:!.t,исчезающе мала.
Далееэкспериментально должно быть найдено распределение максимумовнагрузки за время Т, после чего задача сводится к повторнымнагружениям, число которых принимается равным Tll:!.t. Интегральная кривая распределения максимума нагрузки за время Топределяется по фор~улер~Т)> l:!.t= (p~IJ) Т /!J.t'где Pd'- интегральная функция распределения максимума qза время l:!.t. В дальнейшем расчете могут быть использованы формулы предыдущего параграфа с заменой n на Т 1l:!.t.§ 9.Распределение прочноста статически определимойсистемыВ ряде случаев выход из строя одного элемента означает разрушение всей конструкции.
В частности, это относится к статически определимым конструкциям, которые при исключении любогоэлемента превращаются в подвижную систему (механизм). Очевидно,что надежность такой системы будет меньше надежности каждого ееэлемента,посколькувыход изстрояодногоиз многихэлементовболее вероятен, чем выход из строя определенного, наперед заданногоэлемента.Положим, что статически определимая система состоит изn элементов и что вероятность разрушения i-го элемента при заданнойнагрузкеравнаq1-равна Р 1 • Вероятность неразрушения этого элементаР 1 , а вероятность того, что в системе не разрушится ниодин элемент, равнаn(l-PI)(1-P2) ... (1-Pп)= П (1-Pi).1=1Величинаn1 - П (1- Р;) = Р (q)1=1представляет собой вероятность того, что при нагрузке q (или меньшей) разрушится хотя бы один элемент и, следовательно, разрушится вся конструкция.
Поэтому Р (q) описывает интегральнуюкривую распределенияпрочности конструкции.Кривая распределения плотности вероятности прочности конструкции имеет уравнениеР (q) =где р 1386d Р (q)dq= dPJdq-d= - dqnni=l1-=1nп (1 - Р1) = "'~ _'р.1 р· п (1- Р1),1 i=1плотность вероятности прочности i-го элемента.При одинаковых напряжениях во всех элементах системы вероятности разрушенияР (q)их одинаковы и тогда= l - (1 -Р1)"; р (q)= n (l- Р;),._ 1 · р 1 (q),где Р 1 - вероятность разрушения одного элемента; р 1ность(q) -плот-вероятности его разрушения.РГрафически получить кривуюпо заданной кривой Р 1 (q)(q)можно, возведя в степеньnвертикальные отрезки 1 - Р 1 , отложенные от горизонтали Р1по линии Р 1 (q) (рис.
386).=Пр и мер. Пусть прочность одногомемента подчиняетсяконунаяпрочностьP 1 (q)=1-Р1следует= 0,99865plпричемрасчет-егосоответствует характеристике безопасности у= 3, т. е.Если система состоит из 25 эnемеитов, то для попучения той же0,00135.обеспеченностиРис.ЗВ5нормальному зараспределения,снизитьрасчетнуюнагрузку,извлекая из величиныкорень 25-й степени:(q)= 1- 1}/ 0,99865=1-1 +0,00135/25= 0,000054.По таблицам интеграла вероятности определяем новую характеристику безопасности:ф (у)-0,5-0,000054-0,499946;Таким образом,у=3,87.коэффициент однородности надо уменьшит..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
