Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 56
Текст из файла (страница 56)
".дх •SШ ь- Г Х SШ S = r дz Stns-XCOS'!!.f:f:S·члена разложения перемещений в тригонометрическийряд будем иметьv = v,. sin n'!':и= и,.cos n'Ji,rде355Кроме того, из(16.35)получимtlп=- Xпfn.z=Таким образом, если оболочка закреплена в сечениизями, препятствующими перемещениямvдля решения дифференциального уравнения=О; XnXnгsin scos=О, тоXn (О)(16.41)будут:s- гх~ sin s=О.z=Если сечение оболочкиО свяи и, то начальные условияО не проходит через nолюс,= О;гдех' (О) =О.Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, при таких начальных условиях решениеоднородногодифференциальногоуравнения будет тождественно равно нулю при всехz > О.Следовательно, полное закрепление точек любого горизонтального сечения оболочки, координатукоторогоначалорис.zмыотсчетавсегда можем принять закоординат,приводиткотсутствию перемещений иенагруженной355оболочки, т.
е. делает ее неизменяемой.Это относится, в частности, к оболочкам, срезанным по двум параллелям, и вообще к части поверхности оболочки вращения, опертой по замкнутой параллели (рис.§ 10.356).Уравненив моментной теории осесимметричвойоболоЧRи вращеИИJI в ЦИJIИндричесхих хоордиватахВ осесимметричной оболочке вращения, рассчитываемой по моментной теории, кроме мембранных усилий Т и N возникают меридиональные. изгибающие моменты М и поперечные силы Q.Уравнения равновесия элемента оболочки (рис. 357) здесь будутs(Т г sin s)'(Т гss+ (Qг cos s)' +г Z;sin =О;cos S)'- (Qr sinN /sin + гR;sin s =О;s)'-(Мг)'- Qгfsins=О.J(16.43)UПтрихом здесь обозначено дифференцирование по переменнойотсчитываемой вдоль оси оболочки.(16.43)Первое уравнение вв проинтегрированномТггде Р-может быть представлено такжевиде:sin s+Qгcos s+ P/(2n) =О,вертикальнаяравнодействующаяженной к оболочке выше плоскости- Выражаяnоп~речную силутьего уравненияz,Qвсей нагрузки,(16.44)прилоz = const.через моменты М с nомощью тре(16.43) и подставляя в (16.44), получаемTr sin(Mr)' sin cos ~ + Pt(2n) =О.(16.45)356s+s(16.43)Второе уравнениеN- sin ~ [Tr cosОпределяяизпосле такой же замены получит вид~-(16.45) Tr(Mr)' sin1 ~]'- rR ==О.иподставляявуравнение(16.46)(16.46),получимN- sin ~ [- (Mr)' cos 2 ~- Р cos ~/(2л sin ~)- (Mr)' sin 21 ~]'- rR ==илиN +(М г)'' sin ~- rR + [(Pr')' sin ~]/{2л) =О.Итак, мы имеем два уравнения равновесия(16.45)(16.47)(16.47):иTr+ cos ~ · (Mr)' + P!(2n sin ~)=О;}N + sin ~ · (Mr)w- rR + sin ~ · (Pr')' /(2л) =О.Третье уравнение·- условиесовместностиО,<16 .4 8)деформаций-может быть выведено путем транспонирования матрицы операторовуравнений (16.48) (табл.
12).Правый столбец св'ободных членовздесьстолбцеопущен,апоставленыобобщенныевлевомнекоторыеперемещения а и Ь,геометрическийсмысл/({;которыхраскрывать нет необходимости, посколькуэтиобобщенныеперемещения затем исключаются из уравнений.Внижней строке указаныдеформации,лиямиТ,сопряженныеи М,Nсуси-действующи-Рис.J57ми в пределах элемента оболочкиrd1jJdz/sin~; е -удлинение вдоль меридиана;параллели;х-fJ -удлинение вдольупругое искривление меридиана.Т а б л вц атагьоerjsin ~Nмоcos ~ ( • r)'f]Г/Siл;-xrjsin12sТранспонируя эту таблицу, получаем:ra+ er/sin ~=О; Ь + чr/sin ~=О;- r (а cos ~)'+г (Ь sin ~)"- xrtsin ~=О.Исключив отсюда а и Ь, после сокращения на(вr')'- (чг)"...:.. xtsin ~=О.r,будем иметь(16.49)357Это уравнение совместности дефОрмаций в дополнение к уравнениям равновесия (16.48) и к физическим зависимостям между дефОрмациями и усилиями дает возможность полностью решить задачурасчета осесимметричной моментной оболочки.
Физические уравнения для упругой изотропной достаточно тонкой оболочки получаются согласно закону Гукае= (Т- f.1N)/(Eб);(16.1)(16.3)ив виде1J = (N- f.1Т)/(Еб); х = - M/D,(16.50)где t, -толщина оболочки; Е - модуль упругости материала;коэффициент Пуассоне; D -цилиндрическая жесткость;f.1 -D = Еб 3 /[12 (l - f-1 2)].Введение цилиндрической жесткости впоследнее уравнение (16.50) можно пояснить тем, что элементарная полоска, выделенная из оболочки двумя бесконечно близкими меридиональнымисечениями, испытывает цилиндрический изгиб, т. е. кромки ее неповорачиваются относительно друг друга.
При этом за счет коэффициента Пуассона возникают кольцевые изгибающие моментыL,коrорые можно определить из условия неискривления параллелей:M-f.1L=0,откудаL=f.1M.Кольцевые моменты, оставаясь постоянными вдоль параллелей,взаимно уравновешиваются на элементе оболочки и не входятв условия равновесия (16.48).Если в (16.49) деформации заменить усилиями по формулам(16.50), то получим[(Т-Определив из уравненийcos tТ----" (Mr)'-М!(б 1f.1N) r']'- ((N- f.1Т) r]" + 12 (1- f.11)гРsin s) =О.(16.51)(16.48)(Pr')'N=-sint·(Mr)"+rR-sint, __·2л:rsins'"'2л:"'и подставив полученные значения Т иNв уравнение(16.52)(16.51), придем к одному дифференциальному уравнению четвертого поря~кадлямеридиональныхмоментов:{[ - cosr ~ (Mr)' -2Л:Г Р_SIЛJ }' {[-(Pr')' r' + f.1 sin s~s6+ f.1 sin (Mr)"- f.1ГR +sin s(Mr)' + rR- sin(Pr')' +s"""""21t1.1.~ ]г}'+ 12(1-_I.I.~)M=O+ f.1 cos~(Mr)'+г2nrsm;l\IStn~'илиs+ 12 (l-!-12) мs[- ,c::i (Mr)' + f.1 cos (Mr)•]' + [r sin ~ (Mr)"- р.
cos (Mr)']" +б 1 sm;358~~.(16 53)·где2~ {[ ~ s~~ ~ -!! cos ~ (Pr')' ]'-[г sin s(Pr')' + ~:s]J+!! (rr' R)' +Q=+(г2 R)".Уравнениюучитывая, что(16.53),(cos s) , = ( Jf 1r'+ r'2 )'гдер-=(1радиус кривизны меридиана,r"+ r '2) 3/2 = -рможно[г sin S(М г)'']"+ [ r' ~os s(М г)']'-/! [(М;)']'+nридать вид12 ~2~~iМ =Q.(16.54)§ 11.Краевой эффект в оболочке вращенияВ случае тонких осесимметричных оболочек решение дифференциального уравнения для меридиональных моментов обладает свойством быстрого затухания вдоль меридиана по направлению отместа возмущения безмоментнога состояния оболочки скачкообразным изменением перемещения или сосредоточенной нагрузкой.Зона, в которой изгибающие моменты еще не исчезающе малы,называется з о н о й к р а е в о г о э ф ф е к т а.Сделаем предположение, что ширина зоны краевого эффекта,отсчитываемая вдоль меридиана,г' иsнастолько мала,что величины г,внутри нее можно считать постоянными.
Справедливостьтакого предположения должна быть проверена после основанногона нем приближенного решения. При этом коэффициенты уравнения (16053) считаем постоянными и соответственно его упрощаем:cos2t--0-"'М" +!!г cos sM"' +г2 sin sM 1V - ~tr cos ~М'"+sm~12 (1-"2)оМ =0·26 sшs•,..(16055)2 о t оГ SIП"'MIV-cosls М"+ 12 (1-1.1.2) м= Qsin62 sin 6·sЧтобы получить общее решение упрощенного уравненияQ=АЛ."- ВЛ.2 +С= О,где А= г2ИзприО, найдем корни характеристического уравнения(16.56)sin ~;В=cos 2 ~/sins;С=(16.56)12 (1- 1!')/(б2 sin ,).получаемЛ.2=(В+уВ 2 -4АС)!(2А).(16.57)Заметим, что величина В значительно меньше, чем859содержащая отношение г/б. Поэтому можно впо сравнению сл22VАС=vПренебрежение(16.57)пренебречь Ви принять-·С1А= V--;-1-;:o--2-;--;-(l---,...,...,.2 ) /(гб s in s) овеличинойВпревращаетуравнение(16.55)в·уравнение балки на упругом основании:M'V+ 12 (l-ft2) м=Qr 2 c5 2 sin 2 ~r 2 sin(16 58)~ ··Введем эквивалентную балку на упругом основании с уравнениемEJy 1v +cy=q,где EJ- жесткость поперечного сечения балки на изгиб; скоэффициент упругости основания; у- прогиб балки;речнаяq-попенагрузка.Это уравнение можно выразить также через изгибающие моменты в балкев виде;J M=-q'.M 1V+Сопоставив(16.59)и(16.59)найдем, что в эквивалентной балке(16.58),12 (1-~ 2)сEl =r 1б2 sin ~ ·При помощи эквивалентной балки на упругом основании можнонаходить в зоне краевого эффекта оболочки не только моменты, нои прогибыw,Уравнениеперемеtшуюzнормальные к меридиану.(16.58)можно преобразовать, заменив независимуюs,на независимую переменнуюотсчитываемую вдольдуги меридиана.
В пределах зоны краевого эффекта отношениеdz/ds sin можно считать постоянным, поэтому=6ddzУравнение(16.58)d= dS1·sin ~ ;d'dz'=d'1ds4 sin' ~ •(без правой части) получит видd'Mds4+ 12 (1- ft2) sin 2 ~ =Оr2б 2'а эквивалентная балка будет иметь иную характеристику!сEJ =12 (1- !J.2 )r2i\2о 2 tSШ\:>'Затухающая часть общего решения уравнения балки на упругом основании имеет вид (см. главуу= e-x/t [С1где360t = V4EJ /с.VI)sin (xft) +Са cos (xtt)],(16.60)Для расчета краевой зоны оболочки здесь следует произвестиw,замену у наили унаw,хz, тогдаt = tz = v-=гб-s.,-in"""'"s/y3 ( 1 - !l2 )'хнаs,нав этом случае2 ) VSifi1).t = ts = VГБ /(v--=з....,.,.(1---ll-=-:Для проверки предположения о малости ширины зоны краевогоэффекта(16.60),Приt,оценим величинуна протяжении которой, сог_ласнопроисходит затухание моментов и прогибов в е раз.r/6=100; /l=siп0,16;величина достаточно мала,и,s=0,7получаемследовательно,tz = 6,4б.
Этаиспользование упрощенного уравнения для зоны краевого эффекта в данном случаеправомерно.§ 12.Краевой эффект у шариирио закреплеивоrои у заделаиного краевБудем считать,что нижнее горизонтальное сечение оболочкишарнирно закреплено от горизонтальных и вертикальных смещений(рис. 358, а). Легко рассчитать симметрично нагруженную безмоментную оболочку,- опертую покасательным к меридианамРис.(рис.358,б) по формулам§ 2.;J58Получив значения усилий Т иNв нижнем сечении оболочки, по формуле закона Гука найдем кольцевые удлинения1J = N !(Е б)- !lT !(Е б),апо ним горизонтальныерадиальные смещенияХ0где(16.61)=(16.62)Го1),rрадиус опорного сечения оболочки.0 В действительности горизонтальные смещения должны бытьравны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
