Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Приравниваютсянулю суммы проекций на плоскостиxzиyzизгибающих моментов,которые передаются на узел с балок; кроме того, сумма поперечныхсил в балках,примыкающих к узлу, приравнивается нагрузке,которая действует на площади, показаиной на рис. 338 штрихов­кой, иравна а 2 /2. При этом поперечные силы следует выражатьв виде разности концевых моментов балки, деленной на длинупоследней.Для получения матрицы :шутренней податливости используемметод, аналогичный тому, кото_tJый применялея в§четаплоских5гл.IV дляВыразим потенциальную энергию внутренних силпотенциальных энергий изгиба каждой балки:как суммуА=~!~~~ (М~+ М1М/ +М?).Здесь 11-рас­рам.(15.32)длина балки, равная а для прямых балок иV2a -для диагональных; J 1 - момент инерции, равный bh8 /12 -для прямых 11 V2Ьh 3 /12- для диагональных балок; Mj и м;- изгибаю­щие моменты на концах i-й балки.

Матрнца внутренней податли­вости В совпадает с матриц~й квадратичной формы(15.32).335Матрица внешней податливости, определяемая по формулеL=(2.45),(АВ- 1 Ат)- 1выражает зависимость между вектором внешних сил Р, составля­ющими которого являются нагрузки на каждый узел, и векторомпрогибов пластинки в узлах сетки балокw= (АВ- Ат)- Р.1w:1Изгибающие моменты в узлах сетки балок находятся по формуле~j = B- 1 AтLJS.Переход от изгибающих моментов в стержнях к изгибающим момен1ам в пластинке выполняется по формулам:M nn __1__M Уnn -___1__.х-а5 ).)(мет+M~~+Mi~хУ2'(мет+ М~~ +М~~5 )Здесь м;т, м~т, м~~ и Mi~D.rr2У\а-(}'.изгибающие моменты в стержнях,проходящих через узел под углами О,изгибающие моменты в(15.33)90, 45и135°;пластинке, отнесенныем~п и м~п­к единице длины(}'Рис.Puc.JJ9;538сечения.

Все величиffы относятся к точке, совпадающей с даннымузлом. Формулы (15.33) легко получаются методом проекции мо­ментов в стержняхАналогичноПJ\}(наплоскостиполучаемСТм.3 = aV2 м,3+xzиyz.для осей, наклоненных под угломм ст+мст)ХУ ,У2,ПJ\Мlз5Ji(СТ= aV2 ,Мш+lист+мстХУ245°:\у ).Крутящие моменты получим из круга Мора для внутренних мо­ментов в плачинке (рис. 339).

Из равенства треугольников ОАВ иOCD следует, чтоМ~~= мz; =АВ= DO = (Ml~~- мz:J/2 =(м~:- Mi:в)/(2V2 ·а).336ГЛАВАXVIОБОЛОЧКИ§ 1.О б о л о ч к о йОсновные опредмеви.вназываетсятело,одно измерение которого,а именно толщина, мало по сравнению с двумя другими измерениями.Таким образом, оболочка представляет собой двумерный континуум.Вдоль толщины оболочки напряжения и деформации или считаютсяпостоянными, тогда говорят о безмоментной оболочке, или изменя­ющимися по линейному закону, тогда в оболочке учитываются из­гибающие и крутящие моменты и она называетсям о м е н т н о й.В оболочке различается с р е д и н н а я п о в е р х н о о т ь,проведеиная через середины толщин оболочки. К срединной по­верхности относятся обычно все уравнения оболочки.В безмоментной теории оболочек предполагается, что равнодей­ствующие напряжений действуют в срединной поверхности.

Приэтом оболочка не оказывает сопротивления изгибу и кручению.Внутренние силы, действующие в плоскостях, касательных к сре­динной поверхности, называютсям е м б р а н н ы м иу с и л и я м и. В каждой точке срединной поверхности они образуютсимметричный двумерный тензор с составляющимиN 1 = ба1; N 2 = ба 2 ; 812 = 821 = &ta,где ~ -толщина оболочки; а 1 , а2 , т 12 = т21 -составляющие тен­зора напряжений, действующих в плоскости, касательной к сре­динной поверхности и отнесенных к координ~там 1, 2 на этой по­верхности.Для трех составляющих внутренних сил безмоментнаго напря­женного состояния N1 , N 2 и 8 12 можно составить два уравненияравновесия в плоскости, касательной к срединной поверхностиоболочки, и одно уравнение равновесия в направлении нормалик этой поверхности.

Отсюда следует, что безмоментная оболочкаявляется внутренне статически определимой. Однако ввиду тогочто эти уравнения равновесия дифференциальные и их решение со­держит ряд произвольных постоянных или произвольных функций,которые определяются из краевых условий, следует различать ста­тически определимые и статически неопределимые условия закреп­ления безмоментной оболочки.Статически определимые условия закрепления позволяют пол­ностью определить все произвольвые постоянные и функции общегорешения уравнений равновесия.Дополнительные связи на краях оболочки сверх необходимыхдля статической определимости делают безмоментную оболочкустатически неопределимой.

Недостаточное же число связей на краяхприводит к ее геометрической изменяемости, которая выражаетсяв том, что оболочка может изменять свою форму при отсутствииосевых деформаций е~, е~ и y~j срединной поверхности, что назы-12А. Р. Ржаницыu337ваетсяи з г и б а н и е мо р е д и н н о Ап о в е р х н о с т иоболочки.Между внутренними силами N1 , N2 , S 111 и осевыми деформа­циями е~, е~.

у~ 11 в упругой безмоментной изотропной оболочкесуществует зависимость типа закона Гука. Для ортогональныхсистем координат!1о =этазависимостьимеетвидо = Ебl(N 2 - f1 N)·о = 2(l+IL>s1 • '\'нЕб12•l(N 1 - f1 N)'2•Еб(16.1)е11где Е - модуль упругости материала; ~ - коэффициент Пуассона.В моментной теории оболочек учитываются линейные составляю­щие функций изменения напряжений по толщине оболочки. Приэтомпостулируетсян о р м а л е й,такназываемаяг и по т е запр я мы хг и п о т е з аК и р х г о ф ф а - Л я в а.По этой гипотезе нормали к поверхно­илис=~сти оболочки после ее деформации оста­R-zютсяпрямымидеформированнойсти. Гипотезаиперпендикулярнымисрединнойповерхно­прямых нормалейприво­дит в общем случае к гиперболическойэпюре напряжений, подобно тому какэто имеет место в кривом брусе (рис.Отбрасывание нелинейных членов340).разложения напряжений в степенной рядпо толщине оболочки эквивалентно за­мене гипотезы прямых нормалей гипо­тезой линейного распределения деформаций и напряжений по толщине обо­оPuc.

3'!0лочки. Для плоской пластинки обе эти гипотезы эквивалентны, адляискривленной оболочкиимеют некоторые отличия, не превы­шающие, однако, степень точности этих гипотез. В дальнейшеммы будем пользоваться для моментных оболочек гипотезой линей·ного распределения деформаций по толщине оболочки.В плоских пластинках связь между изгибающими и крутящимимоментами и напряжениями выражается формуламИ!б/2М1 = ~--б/2гдеб/2б/2--б/2--б/2a1z dz; М 2 = ~ a2z dz; М 1 2 = ~ т12 z dz,(16.2)z-расстояние от срединной поверхности пластинки.С учетом закона Гука и связи между перемещениями х 1 ,X:l•х 12и деформациями ~1• га.'\'12е 1 = x 1Ziгде х 1мулаих2 -(16.2)искривления,е2= x 2z;ах 12 -у 12= x 12z,кручениепластинки,пластинок:+М 1 = - D (х 1f1X2)i М а= -D (х 2 + f1Xt}iМ12 = - (1- !1) Dx12.где338D=фор­приводит к известным соотношениям теории упругихЕ6 8 /[12(1 -(16.3)v. ) j - цилиндрическая жесткость пластинки.2(16.2)С достаточной степенью приближения формулыи(16.3)можно применять и для тонких искривленных пластин, т.

е. обо­лочек.§ 2. Безмомев.тиа.а оболочха вращения при осесимметричнойнаrруз:кеОболочки вращения обладают одной осью симметрии. На средин­ной поверхности ихнаносятсяотмечаютсянаходя­щиесянаполюса,меридианы и лараллели, а такжепересечениях этойповерхности с геометрическойосьюоболочки.Восесимметричнойвслучаенагрузкиоболочке вращения возни­каетосесимметричноеженноенапря­состояние.стности,Всдвигающиеча­усилияв меридиональных срезах, какPur;. J'tlобратносимметричные относи­тельноплоскостимеридиана,повсюду обращаются в нуль.Расчетбезмоментной осе­оболочки вра­щения может быть произведенпутем решения общих диф­ференциальныхуравненийравновесия и деформаций та­кой оболочки, приведеиныхниже в § 6, но может бытьвыполнен и более просто ин­симметричнойженернымизовиметодамиброшенныхчастей,используемыминииразре­уравновешиванияот­широков сопротивле­материалов.Найдем сначаламеридио­rнальные усилия Т.

Для это­гоотсечемверхнююr+rJrчастьоболочки горизонтальной пло­Puc.J!(.2=скостью zconst (рис. 341).По линии разреза будут действовать усилия Т, направленные покасательнымк меридианам. Равнодействующую нагрузки, орило­женной выше плоскостиz = const,обозначимG (z).Изуеловояосевой симметрии следует, что равнодействующая направлена вер­тикально по оси оболочки. Условие равновесия верхней части сбо­.nочки при этом будетТ· 2nr sin 6(z) + G (z) =О(обозначения см. на рис.341).Отсюда получаемТ=- G (z)/(2лrs(16.4)sin (z)].Горизонтальные составляющие меридиональных усилий Т, на­правленные по радиусам горизонтального сечения оболочки и рав­ныеН=называютсявкоторыхTcos 6,р а спор о м оболочки. В горизонтальных сечениях,касательныекмеридиональнымкривымраспор равен нулю.

В нижнем сечении распор Н=вертикальны,Н 0 должен бытьвоспринят опорами.Для определения кольцевых усилийдвумягоризонтальнымирасстоянииdz342,(рис.сечениями,Nвырежем узкое кольцоотстоящими друг от друганаа). На верхнем срезе кольца будет дейст­вовать распор Н, а на нижнем Н + dH. Распор Н на верхнемсрезе вызовет растягивающие усилия в кольце, равные N 1 = -Hr,а распор Н + dH, действующий на нижнем срезе, - усилияN2 =(Н+ dH) (r + dr).

Обе величины N1 и N2 легко получитьиз рассмотрения условияравновесияполовины кольца радиусомили r + dr, нагруженного радиальной нагрузкой (рис.Действительно, например, для верхнего среза имеемr342,б).На вырезанное кольцо действует также радиальная нагрузкаR,rt/2N 1 = - ~ Hsin'ф·rd'!J=-Hrcos'!Jкотораясоздаетрастягивающиеусилиявl =-Hr.n/2кольце:N3 = Rr dz/sin 6.Суммарная сила, растягивающая кольцо,N 1 + N 2 + N 3 =- Hr+(H +dH) (r+ dr)+Rr dztsin s==Нsdr+ r dH + Rr dz/sin = d (Hr) + Rr dz/sin s(членом dHdr пренебрегаем, так как он имеет второй порядок ма­лости). Разделив эту силу на ширину кольца, равную dz/siп ~.получимпогонныекольцевые усилия:N= N 1 +~~+N 3 sins= d~r) sin~+Rr= d(Trd~oss) sins+Rr.Эrу формулу можно также представить в видеN = [d (Tr cos s)/dr] cos 6+ Rr,=6.учитывая, что dzdr tgДругая, более nростая формула для определения кольцевыхусилий имеет видNt(r cos s)+ Т!р+ W =О.Здесь р - радиус кривизны меридиана; W - составляющая на­грузки, действующая в наnравлении нормали к оболочке.

Характеристики

Список файлов книги