Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поэтому оболочка внизу должна отогнуться так, какпоказано на рис.359,получив обратное смещение по нормали:w 0 = x0fsin'F.,0 ,861поскольку ничто не препятствует оболочке получить при этом дополнительное вертикальное смещение у 0 •Теперь следует рассчитать полубесконечную балку на упругом(рис.360).условиядляw0основании, получившую смещение на конце, равноеНачальныетакой балки будутW 0 = Xo/siпso:Mo=-EJw;=O.Подставив эти условияв решениег-sfts [С1 siп (s//8 )W=+ С2 cos (s/t8)],+получим·PUC.359Cz = Xo/siп so:cl =оиW== (Xo/sin So) Гsfts COS (s/t8 ),гдеt 8 -Vfo6Vз (l-~t2) Vsin ~ •Меридиональныеизгибающие моментыd2wM=-D ds' =1/tsо= -2Dxo -s/t . ( t )t• .
~ е8 s ш s/ 8 •sSIПОЭпюры М и w представлены на рис. 361. При смеPuc.J6fщении вдоль меридиана нарасстояние nts абсолютныевеличины моментов и прогибов уменьша19тся в &' = 23, 14 раза.В случае полной заделки опорного сечения (рис. 362, где 1 -первоначальная поверхность;-деформированная поверхность)2начальные условия балки на упругом основании будутWo= Xo/sin so;Им отвечает решение (рис..
s +coss )w =-.Хо-t-e-s/t8 ( sш11 ;sш..,оПр~sW~ =0.363):sобратносимметричнойМ = -2DХо ( coss. s )•-.-t1118 -sш185sш..,онагрузке,представляющейсобойпервый член разложения в тригонометрический ряд вдоль паралле-362лей, радиальные и тангенциальные смещения в опорном сечениивыразятся формулами:х = х1(16.32)Из уравнениядиrдфгде fJ=cosТJ 1определить(16.61),rv =х1х1fJ1- ( ;V1 =ГТ)1 -Xl,(16.63)'Ф- кольцевые удлинения оболочки, которые можнопонайдярасчетаv = v1 sin 'Ф·можно получить:= fJ -r;формулемеридиональные и кольцевыеизcos -ф;усилиябезмоментнойоболочки.Опорное сечение можетполучитьдобавочноеступательноепосмещениевдоль оси 'Ф =О (рис.а364),/Puc.sвzесли этого требуют условия опирания.
В нашемслучае надо положить суммарное горизонтальное смещение точки В равным нулю. При этомv~-a=O;Тогдаa=V1 •· (16.64)максимальноедиальноесмещениеXmax =Х1 +а= Х1и с учетомXmax = Х1Puc.36Jра+ V1(16.63)+ ГоТ)1- Х1 = ГofJl•т. е. мы получили формулу, идентичную формуле(16.62) для осесимметричной нагрузки.Поступательное смещениеасоздаетрадиальныеи тангенциальныеперемеPuc.Ji'Fщения:Ха= аС учетом(16.64)и(16.63)cos ;р;Va =-аsin 'ф.nолучаем полные перемещения опорногосечения:хТочки В иD(см. рис.= Г0 Т} 1 cos 'IJ;364)v =О.при этомостаютсянеподвижными.363Так как зона краевого эффекта должна быть узка по сравнениюс радиусом опорного сечения0 , то вблизи точки А изменениепрогиба оболочки можно считать таким же, как и при осесимметричной деформации, и тогда nриведеиные выше формулы можно распространить на случай совместного действия осесимметричной наrгрузки и нагрузки, распределенной по первому члену разложенияв тригонометрический ряд вдольпараллелей.При этом следуетбрать максимальное значение кольцевого удлинения опорного сеченияfJ 1=fJ(1p = о>'§ 13.
Расчет пoJiorиx обоJiочек в прямоуrоJIЬВЬIХ координатахПо л о г ойназывается такая оболочка, у которой углы наклона линий, нанесенных на ее поверхности, настолько малы, чтов пределах точности вычислений косинусы этих углов можно считать равными единице. Это равносильно тому, что в расчетах можнопренебрегать величинами, имеющими порядок квадратов углов наклона, так как косинус угла наклона отличается от единицы именноОуPIIC,J55PIIC.J55на такой порядок величин. Поэтому в пологих оболочках линии иуглы на поверхности принимаются равными их проекциям на горизонтальную плоскость. Это относится также к внутренним и внешним силам, действующим в плоскостях, касательных к срединнойповерхности оболочки. Эти силы можно nринимать равными ихпроекциям нагоризонтальнуюплоскость.Составим уравнение поверхности оболочки в декартовых координатах х, у, :z в видестями хcoпst и у:z=:z(х, у), выделим вертикальными плоско(рис.
365) и составим= const элемент оболочки=уравн~ния равновесия этого элемента в горизонтальной плоскости:дNдS_х +~+Х=О·дх364ду'дNдS_и +~+У=Одудх•(16.65)ЗдесьNх=и Nу нормальные силы, действующие на срезах хи уconst; Sxy и Syx- касательные силы, действующиена тех же срезах; Х и У -нагрузка, отнесенная к единице поверхности оболочки и действующая в направлениях осей х и у. Законпариости касательных усилий SxySux здесь легко устанавли= const==ваетсяизусловияравенстванулюсуммымоментов относительноz.ОСИУравненияидентичны(16.65)известнымдифференциальнымуравнениям равновесия Навье для плоской задачи теории упругости.Возможность использования здесь таких уравнений вытекает изусловия пологости оболочки.Третье уравнение равновесия составляется как условие равенz:ства нулю суммы проекций всех сил на вертикальную осьддддх (N х tg <J>x) + ду (N у tg <ру) + дх (Sxu tg <ру) +ддQхдQу+ ду (Syx tg<px)+--ax + ay-+Z =О,где <рх и <руниях х и у,(16.66)углы наклона поверхности оболочки в направле-причемtg <J>x = дz/дх; tg 'Ру= дz/ду;Qxz-и(16.67)Qy - поперечные силы на вертикальных срезах оболочки;вертикальная нагрузка на единицу поверхности оболочки.Легко составить также уравнения равновесия для моментов:дМх!дх+дМху/ду-Qх=О; дМу/ду+дМху/дх-Qу=О,(16.68)где Мх, Му и Мху- изгибающие и крутящие моменты на вертикальных срезах оболочки (рис.
366). Очевидно, что соблюдаетсязакон париости крутящих моментов МхуМих• подобно тому=как это имеетместоНа основаниид•zNxвплоских(16.67)д1zипластинках.(16.68)дlzуравнение(16.66)дN х дz.дN у дzд 2 Муд 2 Мхуполучает виддSхудzдх• +Ny ду• +2Sxy дхду +---ах дх +ау ду +-а;- дудSху дzд2Мх+ аудх + (fXI + ауг+2 дудх +ZПри отсутствии горизонтальных нагрузок Хввести функцию напряжений Ф, для которойiJIФJдx 2= N у:д 2 Фjду2= N х:О= .= У =д2 Ф/(дхду) = - Sxy·+(16.69)О можно(16.70)При этом первые два уравнения равновесия (16.65) удовлетворяютсятождественно, а уравнение (16.69), как легко проверить, примет видд2z д2фд2z д2Фаха дg2 + ду• дх2д2zд2Ф- 2 дхду дхду +д2Мхдх2 +д2Мху+ 2 дхду +д2Муду2+ Z=O.(16.71)365Для вывода геометрических соотношений представим полнуюсистему уравнений равновесия (16.65), (16.66) и (16.68) в табличнойформе записи операторов (табл.
13).Т а блиц аNxNu1= SuxSxu1ди1Мх 1Ми 1 МхуIQx]Qu1111 1111111д~1дУддду1дх1-()1-'Фх1111-l!xVxllВу1ддУ1-llддх111матрицу табл.соотношения1ду1J-xx 1-xu 1-xxu 11Транспонируялучим= Уихl~l:yд11131дхд-'Фихуk( ·~)1~( ·~)\ :х( ·:ю + ~( .;z)/w13по правилам§ 4гл.z1-l 1V,помежду перемещениями, помещенными в левомстолбце таблицы, и деформациями, указанными в нижней строке.Кроме линейных перемещений и, v, w и деформаций срединнойповерхностивх,ния -'Фх и-'ljJ11 ,в 11и уxu =У ихздесьвведеныугловыеперемещесоответствующие возможным внешним моментамотносительно осей х и у, и деформации искривления поверхностиоболочкитам-Хх,-х 11 и-Ххи• соответствующие внутренним моменМх, М 11 и Мхи· Поперечнымсилам Qx и Q11 ввиду гипотеаыоб отсутствии сдвигов, принимаемuй в теории тонких оболочек,соответствуют деформации, равные нулю.Таким образом, получаем:дидz дw+ Вх = 0,•дидtJ- lfX - дх дх- : +366дz дwдtJ- дудz дw- дiJ дудz дw+ Ву = 0,••ду- дх- ду дх - дх ду +Ухи= О,'Фх =О; - :+'Фи= О; дд~х - Хх =О; ~~~ - Х11 =О;откуда(16.
72)Найдем теnерь выражениед2вхду2д 2 ву+ axzд~худхду-(16. 73)•которое равно нулю в nлоской задаче теории уnругости, входяв уравнение неразрывности деформаций. В nологой оболочке за счетвозможности вертикальных nрогибов это условие может не выnолняться. Подставляя в (16.73) значения деформаций (16.72), nолучим nосле ряда nреобразований:д2вхауад2ву+ дх2д2Уху-дхдуд2z д2w=-ду2 дх2д2z д2wах2 ду2-д2ziJ2w+ 2 дхду дхду'(16. 74)•nричем nеремещения и и v исключатся. Заметим, что в nравой части(16.74) стоит тот же дифференциальный оnератор, что и в уравнении(16.71) с заменой Ф на w.Введем теnерь физические зависимости между деформациями иусилиями,а также между моментамиикривизнами в виде:ех=(l/(Еб)] (Nx-!lNy); Mx=-Dе.у'\'ху == [1/(Еб)] (N у -f.LN х);(2 (1+ f.L)/(Eб)] Sxy;гдеб-толщина оболочки;D=(xx+flXy);М 11 = - D (ху+ f.1Xx);Мх11 = [- (l -!-1)Еб3 /12(1-D/2] Ххуо~ 2)- цилиндрическаяжесткость; 1-1 - коэффициент Пуассона.Выразим усилия N х• N У• Sxy через функцию наnряжений Ф поформулам (16.
70), искривления хх, Ху, Хху - через вертикальныеnрогибы w по формулам (16.72):Вх= Е1б (д2фду2-д2ф)д2ф)j-2 (1 +f1) д2фУху=Mx=-D1 ( д2фll дх2 ; еу =Е б дх2 - ll .ду2 ;( д2wах~+ /.1. д2w)ду2 :Еб(16.75)дхду;(д2wд2w)My=-D ду2+ ll дх2 :tJ2wМх11 = - ( 1 -!-1) D дхдуj(16.76)З67инайдем величиныд2ехду2д2Мхдх2Черезд2 Ухиа~еу+ дх2+2д~МхgдудхV2 V2дхду-+=1 (iЧФд'Фд2 Муayz = -~)1+ 2 дх2ду2 + ду4 = El5 VIVtф;(д'wiJ4wд'w)D дхt + 2 дх2ду2 + ду• = - DV2Vaw.Еб дхtобозначаем бигармонический оператор:vzva = (дх2д2д2 )iJ4iJ4iJ4+ ду2= дх4 + дх2ду2 + ду4 •Введем также обозначение операторад2z д2ду2 дх2+ д2z д2_ 2 д 2z ~ _ v~дхду дхду обtдх2 ду2(16.77)в который входят в качестве коэффициентов начальные кривизныповерхности оболочкидх2 •Теперь уравненияV~бФ-§ 14.(16.71)DV 2 V2 wду2 • дхду •(16.74) можно представить в виде:+ Z =О; [ 1/(Еб)] V 2 V 2Ф + V~бw =О. (16. 78)иРешеиве уравнений пoJioroй обоJiочкиРассмотрим простой случай по.iiогой оболочки, очерченной по nоверхности эллиптического параболоида!и опертой поz = 2f (хz;аэ + уз;ьz)кромкам х = ±а/2 и у = ±Ь/2на тонкие диафрагмы,которые можно считать абсолютно жесткими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
