Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 58
Текст из файла (страница 58)
в своей плоскости иабсолютно гибкими из плоскости (рис.367).Приэтомнакромках х =±а/2будут равны нулю изгибающие моментыМх и кривизны Хусогласнонияххх(16. 76),=благодаря=д 2 w/ду 2 • Отсюда,следует, что на этих лид 2 w/дх2=О.Кроменерастяжимостиудлинения еу на кромках хРис. J57того,диафрагмы=±а/2 от-сутствуют, а благодаря ее гибкости от-сутствуют усилия N х· Отсюда, согласнозакону Гука, следует, что и N Уд 2Ф/дх 2 = О.=Аналогичные условия имеют место на кромках у=±Ь/2.Если оболочка не нагружена горизонтальными внешними силамипо контуру опирания, то функция напряжений Ф везде на контуребудет равна нулю.Таким образом, для данного случая опирания оболочки имеемследующие граничные условия:при х =-+- а/2w=д2 wfдх2 =О;NУ= д 2 Ф/дх1 =О; }при х =-+- Ь/2 'C1.t =д 2 wJду2 =0; Nx =д2 Фfд!i =0.368<16 ·79)Оператор V~б (16.77) здесь получает видv2об _- 4{ ( а21 ду2iJ2 + 1 iJ2 )7J2 дх2 ·Ввиду постоянства коэффициентов в операторе Vоб решениеуравнений ( 16.
78} при граничных условиях (1 6. 79) можно получитьв двойных тригонометрических рядах:w= ~ ~Wmncos (mxja) cos (ny/b);1(16.80)Ф = ~ ~ Фтп cos (mxja) cos (ny/b).Разложив нагрузку в рядZ=~ ~ Zmn cos (mxja) cos (nyfb),получим для каждого члена разложения в рядыпосле сокращения наcos(тх/а)cos (nylb)(16.81)(16.80)и(16.81)систему алгебраическихуравнений:n4)( n2m2 )+ 2 m2п2а2Ь2 + 7J4 Wmn + 4{ а2Ь2 + а2Ь2 Фтп = Zmn;n2m2 )1 (m4m2n2n4)-4{ ( а2Ь2 + а2Ь2 Wmn + Е б iii + 2 а2Ь2 + Ь4 Фтп =О,( m4D 1 -а4отсюда:Wmnп2)2/= Еб1 (m2ll2 + jj2 Zmn[DЕ б а2l:+ n2) Zтп /[ ЕбD (m2ll2+ п2)4+ а4Ь416f2 (т2+ n2)2] .Ь2фтп --4f ( 2а2Ь2 т(m2 + п2)'4 16{2ь-2 + а4Ь4 (т2 + п2)2(16.82)где~= ь;а;е= D/(f2 Eб)= 62/[12 (1- f.!2) { 2].Если оболочка квадратная в плане, то ~ =WmnфИз формул1=z;,~~4 8 (m2+~2)2+ 16;тпZтпй 4= -,-(16.82)ии]48(m2+n2)a+ 16 (m 2+n11) •(16.83)видно, что ряды(16.80)(16.83)быстро сходятся ввиду наличия в знаменателе коэффициентов разложенияпорядковых номеров т иnwв четвертой степени, а в знаменателекоэффициентов разложения Ф- в шестой степени.Для первых членов разложения первым членом в знаменателеможно пренебречь по сравнению со вторым.
Следовательно, первые13Л. Р. Ржаницын369члены разложенияwиФ мало зависят от отношения бlf, входящегов выражение для е.В общем случае очертания пологой оболочки и опирания ее поконтуру решение уравнений (16. 78) можно искать методом Бубновав виде рядов:00w00~ w 1F1 (х, у); Ф==-~ Ф 1 G 1 (х, у),(16.84)1=1i=lгде F1 (х, у) и G1 (х, у) (i = 1, 2, 3, ...
) - полные системы функций,удовлетворяющих заданным граничным условиям на контуре оболочки; w1 и Ф 1 - искомые коэффициенты разложений (16.84), длякоторыхполучаемуравнения:00D ~ w1 ~ ~ 'i/ 2 V2F1F; dx dy1=100~ Ф 1 ~ ~ V~бG 1 F1 dx dy = ~ ~ ZF1 dx dy;-1=1(16.85)оо'.!, w1 ~~ 'i!~бF;F1 dx dy +1=100+ iв.!,~ ~'il 2 V2 G1G1 dxdy=0 (j= 1, 2, 3, ...).1=1Интегрирование здесь производится по площади проекции оболочки.Практически ограничиваются небольшим числом членов в рядах(16.80),получая вместо бесконечной системы(16.85)систему конечного числа уравнений.§ 15.Расчет пологих оболочек по стадиипредельного равновесияРасчет оболочек в предположении их упругой работы позволяетсудить о деформативности оболочки в упругой стадии ее работы, ноне дает возможности определить действительную ее несущую способность.
Последнее может быть сделано по аналогии с расчетомпластинок, путем рассмотрения состояний предельного равновесияоболочки, исходя из упрощенных зависимостей между напряжениями и деформациями в виде диаграммы упруго-пластического (см.рис. 194) или жестко-пластического (см. рис. 206) материала. Наиболее просто данная задача решается для пологих оболочек, гдек решению можно подойти следующим образом.Рассмотрим пластинку переменной толщины, показанную нарис. 368. Работа нагрузки здесь будет такая же, как и для пластинки постоянной толщины:(16.86)370гдеq-вертикальнаянагрузка;w-вертикальный прогиб;F-площадь пластинки.Работу внутренних сил с учетом перемениости толщины пластинки в состоянии предельного равновесия получим в виде.А=-~ (i Wxx / + /Wyy!) mтdF,(16.87)Fа если форму эпюры прогибов принять в виде многогранника, то1tnА = - ~ б;~ mт dlt,i =1где тт-предельный(16.88)опогонный изгибающий момент;11 -длинаi-й линии перелома; бt- двугранный угол по линии перелома;n- число линий перелома; F- площадь пластинки.Приравняв нулю сумму работ внешних и внутренних силV +А =0,получим уравнение, из которого можно найти предельную нагрузкуq.Отличие от пластинки постоянной толщины здесь заключаетсялишь в том, что вместо величинm,/1берутся интегралы11~ mт dl.оВозьмем теперьпустотелую пластинкупеременной толщины,симметричную относительно срединной плоскостии заполненнуювнутри материалом, ·не воспринимающим продольных напряжений,но передающим касательные напряжения с верхнего криволинейного слоя пластинки на нижний так, что соблюдается закон пря-13*371мых нормалей для всей плас1ннки (рис.
369). Очевидно, что выраже·11ия (16.86) и (16.87) будут сnраведливы и для такой nластинки.Значение nредельного момента в данной точке nластинки оnределится из эnюры nродольных наnряжений, имеющей вид, nоказаивыйна рис. 370. Верхний слой nластинки nри этом считается сжатымnостоянными наnряжениями о;, а нижний - растянутым наnряжениямиРазрежем теnерь nустотелую nластинку no средней nлоскости.oi.Получим две nологие оболочки, симметрично отражающие другдруга (рис. 371). Работа внутренних сил каждой такой оболочкиравна половине работы внутренних сил пустотелой пластинки приее разрушении по линиям перелома.
В плоскости разреза nластинкиоболочка не будет иметь горизонтальных смещений. Поэтому данный случай отвечает закреплению краев оболочки от горизонтальных смещений (рис. 372) на высоте срединной nоверхности пустотелой пластинки.Если края оболочки свободны от закреnлений в горизонтальныхнаправлениях, то плоскость нулевых горизонтальных смещений поднимется выше опорного контура, а работа оболочки будет соответствоватьработеполовинысимметричнойпустотелойпластинкитекучестиматериала;иного вида (рис. 373).Предельный момент здесьт.= боге,где6-толщинаоболочки;с- расстояние по вертикалиот -пределот середины толщины оболочки доnлоскости нулевых горизонтальных смещений.Поэтому формула (16.88) приобретает видn11А =-от ~ В1 ~ бcdl 1 •i-1оПоложение плоскости горизонтальных смещений в оболочке сосвободным смещением контура в горизонтальной плоскости надонаходить из условия минимума нагрузки, получаемой из уравнения~1;~ wq dF =о, ~ В 1 ~ бс dl 1•Fi~lОСетка линий сосредоточенных деформаций, в которую переходитна поверхность оболочки сетка линий шарниров текучести пустотелой пластинки, определяется тоже из условия минимума разрушающей нагрузкиq илиподсказывается данными экспериментов.
Обычноэксперименты дают картину разрушения, близкую к пятидисковойпрямоугольной в плане пологой оболочки (рис.линией374;штриховойпоказама линия пересечения плоекочи нулевых горизонтальных смещений с поверхностью оболочки).Расчет оболочек методом предельного равновесия принципиальноне сложен, но требует громоздких вычислений, плохо приспособ-372ленных к машинному счету. Большие nерсnективы имеет метод расчета оболочек, основанный на линейном nрограммировании.
В этомметоде сетку .ТJиний сосредоточенных деформаций находит самаЭВМ nутем решения систем неравенств, вытекающих из nринциларасчетаnonредельному состоянию.ГЛАВАXVIIОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ РАСЧЕТА КОНсr'РУКЦИйНА НАДЕЖНОСГЪ§ 1.Случайвый характер расчетных ве.личинБольшинство величин, входящих в формулы для расчета сооружений, не могут быть оnределены вnолне точно, nоскольку этивеличины в каждом отдельном случае могут иметь различные, хотяи близкие друг к другу, значения. Такие величины называютсяс л у ч а й н ы м и.р.1(Рис. J7~··Рис. 376'Рис. ПlПримерам случайной величины может служить nредел nрочности материала.
Эксnериментаторам хорошо известно, что каждый изодинаковых, исnытываемых no строго оnределенной nрограмме образцов nоказывает свою величину nрочности. Совокуnность nолученныхnрочностейможетбытьnредставленагистограммой(рис. 375), а nри очень большом числе образцов - в nределе неnрерывной функцией расnределения этих величин (рис. 376).Обычно no оси ординат кривой расnределения откладывается нечисло случаев,соответствующих данной абсциссе, как в гистограмме, а отношение этого числа к общему числу всех исnытаний.Тогда nлощадь кривой расnределения будет равна единице:00~ Рх (х) dx = 1.-ао373Считается, что кривая распределения данной случайной величины х является достаточно стабильной для разных серий испытаний, производимых в одинаковых условиях.Вкаждом конкретном случае случайная величина принимаетодно из своих возможных значений, которое называется р е а л из а ц и е йс л у ч а й н о йв е л и ч и н ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
