Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

до величиныk0 = 1-3,87 ARвместо1 - 3AR,изменчивости А Rгде=AR- изменчивость прочности эnемента. При коэффициенте0,1 попучаем коэффициент снижения расчетного сопротивле­ния для статически опредепимоi! системы:(1-0,1. 3,87)/(1-0,1 . 3) =0,613/0,7 =0,875.В данном расчете следует учитывать, что эnементы конструкции не всегдасовпадают с 9Jiементами системы.

Например, пояс фермы может представпятьсобой один стержень, проходящий через несколько панелей. Тогда его следуетсчитать за один эnемент. Если же раскос состыкован по длине из двух стерж­ней, то его надо считать за два эnемента.Далее, в приведеином выше расчете считалось, чтоэлементов - случайные величины, независимые друг отсамом же деле между ними может быть корреляционнаяпример, все стержни металлической формы могут быть изпрочностидруга.

Насвязь. На­одной пар­тии металла. При этом изменчивость прочности в этой партии будетзначительно меньшей, чем общая изменчивость прочности данногоматериала.Пусть вероятность разрушения любого изженных элементовприусловии,что одинизnодинаково напря­нихне разрушился,равна PIY (q). Тогда вероятность того, что ни один из элементов неразрушится, будет387ивероятность разрушенияР(q)=конструкции1- (1-Р 1 )(1- P 1v)"- 1 •Учет этого обстоятельства осложняет расчет и уменьшает раз­личие между расчетными прочностями одного элемента и всей ста­тически определимой системой. Главной трудностью, однако, здесьявляется не проведение расчета, а получение исходных функцийраспределения Р 1(q)и Р1у(q).§ 10.

Надежность паралJiёльноrо соеднненИJJПJiастичесхнх эJiементовПрипараллельнойработепЛастических элементов(рис.387)совместная их прочность определяется предельной несущей способ­ностью системы, равной сумме несущих способностей отдельныхэлементов. Задача определения надежноститакой системы сводится к построению функ­ции распределения суммы случайных ве­tRличин,распределениекоторыхизвестно.Простое решение будет в тех случаях, ког­да прочность каждого элементасянормальномузаконуподчиняет­распределения.При этом распределение суммы прочностейбудет также нормальным.При параллельной работе n одинако­выхRРис. JВ7пластическихэлементов центр распре-деления несущей способности системы бу­дет равенадисперсия-R= ~ R;=nR;,.гдеR; иR;- центрраспределения и дисперсия прочности одногоэлемента.При этом изменчивость несущей способности системыAR= ~/(nRд= Aю!Vnуменьшается вVnраз по сравнению с изменчивостью прочностиодного элемента А Rt• что выгодно для конструкции, так как nоз­воляет повысить коэффициент однородности доko = 1-vARt!Vnвместоko= 1-уАял.1я одного 9Лемента.§ 11.Надежность пapaJIJJмьнoro соединенияхрупхих элементовИначе дело обстоит, если элементы не пластические, а хрупкие.В этом случае достижение предела прочности в одном элементе вы­водит последний из строя и повышает напряжения в других элемен­тах, что может повлечь за собой цепную реакцию последователь­ного разрушения всех элементов.

Точный расчет здесь может бытьпроизведен лишьприочень ограниченномчисле элементов.Рассмотрим в качестве примера систему из двух одинаковыхпараллельна работающих элементов (рис. 388). Обозначим вероят­ность разрушения одного стержня при усилии в нем, равномчерез Р(R).Очевидно, что Ринтегральнуюкривую(R)R,представляет собойраспределенияпрочностиRRодного элемента. Вероятность неразрушения системыможно подсчитать по формулеNc(R)= 1-Pc(R)=[I-P(R/2)][1Через-P(R/2)]+2P(R/2)[1-P(R)].(17.16)Nc (R) и Ре (R) здесь обозначены надежностьи вероятность разрушения всей системы, восприни­мающей усилие R.Первый член в правой части формулы (17.16) пред­ставляет собой вероятность неразрушения обоих эле­ментовчленпридаетусилиях в них,вероятностьравныхразрушенияR/2.Второйпервого элементаRР.ис.

JBIJР (R /2), умноженную на вероятность неразрушениявторого элемента при усилии в нем, возросшем до R. Коэффициент2введен вместо третьего члена, равного по величине второму и полу­чаемого из второго перестановкой порядка разрушения элементов.После раскрытия скобок и приведения подобных членов формулаполучает вид(17.16)N с (R) = 1 -2Р(R/2)Р(R)+Р2(R/2).(17 .17)Если Р (R) близко к единице, т. е. если почти наверняка второйэлемент должен разрушиться после разрушения первого, то формула(17.17) преобразуется в формулуРе(R) = 1- 2Р (R/2) + Р 2 (R/2) = [1- Р (R/2)] 2 ,совпадающую с формулой надежности двух последовательно соеди­ненных элементов; такой расчет дает некоторый дополнительныйзапаснадежности§ 12.системы.Вероятностный расчет внецентренпо сжатыхи сжато-изогнутых стержнейПрименим вероятностный метод к расчету стержней, нагружен­ных сжимающей силой и случайными изгибающими моментами.В основу положим представление о работе стержня как упругого~и разрушающегосяпри достижении краевыминапряжениямипре­дельных значений anp· Кроме того, будем исходить из упрощенногоподхода к расчету сжато-изогнутых стержней, в котором искривлен­ная ось стержня принимается за синусоиду.

При этом сжато-изог­нутый стержень сводится к системе с одной степенью свободы,что не вносит большой погрешности в результаты расчетов приобычных видах за гр ужения.Выведем сначала детерминистические формулы для расчета та­ких стержней. При сделанных предположениях максимальный из­гибающий момент в стержне выражается формулой (11.27)М= М 01(1 - Р/Ркр),(17.18)где М 0 - момент, определенный в предположении, что прогибыстержня равны нулю; Р- осевая сжимающая сила; Ркр- эйле­ровекаякритическаясжимающаяРкрсила= n2EJf[2,свободная длина стержня; EJ- жесткость поперечного се­чения на изгиб.Краевое напряжение в среднем сечении стержня равно:l-P!F + M!WO'max =или с учетом формулы(17.18)рO'maxгдеW-ниястержня.=Fмо+ W (1-Р/Ркр)'момент сопротивления,F-площадь поперечного сече­Введя условие O'max ~ onp• получим расчетную формулу проч­ности сжато-изогнутого стержня, положенную в основу обычныхпрактическихрасчетов:рFмо+ W ( 1- p[2j(n2EJ)] ~ 0np(17.19)Этой формуле можно придать более простой вид, если ввестиследующие обозначения:осевое сжимающеенапряжениеa0 =P/F,относительный эксцентриситет приложения сжимающей силыв расчетном сечении без учета прогиба стержня, отнесенный к ядро­вому расстоянию сеченияW1F:m=M°F!(PW),гибкость стержняВведем также безразмерную величинуW= O'o/O'np390Подставляя эти обозначения в формулу (17.19), получим(17 .20)В этой формуле ряд величин являются случайными.

Прежде1JJ.всего это относится к т, к апр и кЧто же касается Л и Е, то ввидуотносительно малой их изменчивости можно рассматривать ихкакдетерминированные.§ 13.Случайный эксцентриситет прИJiожени.в продоJIЬнойcиJIЬI к торцу стержняРаспределение случайных эксцентриситетов приложения про­дольной силы определяется характером загружения стержня в кон­струкции, точностью центрирования и случайными искривлениямиоси стержня.

Кроме того, могут иметь место случайные попереч­ные нагрузки, вызывающие отклонение линии давления в стержнеот его оси. При центральном сжатии ожидаемое значение относи­тельного эксцентриситетат равно нулю.Рассмотрим сначала влияние случайной внецентренности при­ложения продольной силь1 к торцу стержня. Эта внецентренностьзависит прежде всего от точности разметки и производства работ,а также от неравномерности распределения напряжений по торцу,вследствие неодинакового сопротивления материала смятию в раз­личных точках и пр.Можно предположить, что чем больше сечение стержня, тембольше абсолютное значение возможных эксцентриситетов прило­жения силы.

Этому предположению отвечает наиболее простой за­кон,согласнокоторомустандартотклоненияточкиприложенияравнодействующей продольной силы в торце стержня пропорцио­нален размерам торцевого сечения. Поэтому примем, что эксцен­триситет приложения продольной силы в торце равенёо= ар,гдер =WIF -ядровое расстояние сечения. Так как основныеразмеры поперечного сечения обычно имеют весьма малые отклоне­ния от средних значений, то р можно считать детерминированнойвеличиной.В качестве закона распределения а естественно принять нор­мальный закон с центром в начале координат, т. е. при eiО.Среднее_значение абсолютной величины относительного эксцентри-=ситетааравносо1rtl = 2 ~ара (а) da.оПринимая нормальный закон распределения для а, получимl~:i 1=v22na ~f аехр (-2iiсх2) da= -.r/2iin- =0,798lkЗ91Следует оговорить, что кроме чисто СJiучайных, могут бытьвполне закономерные эксцентриситеты, обусловленные теми илииными nостоянно действующими факторами.

Центр распределениятаки,х эксцентриситетовнеследуеткакрассматриватьравеннулю,ивэтом случаевнецентренпо сжатыйсстерженьвозможнымиотклонениями эксцентриситетов. В nротивоnоложность центральнасжатомустержнюэтиотклоненияздесьневносятсущественныхизменений в работу стержня и дают лишь сравнительно неболь­шиеколичественные§ 14.nоnравки.Случайное искриВJiение оси стержняСнижение несущей способности центральна сжатого упругогостержня по сравнению с эйлеравекой критической силой нельзя·полностьюобъяснитьналичиемэксцентриситетаприложенияпродольного усилия. При большой гибкости стержня вне центреи­ность приложениясилык торцевомусечению мало влияетна егоустойчивость, но зато большое значение nриобретают случайныенезначительные искривления оси, не существенные при малойгибкости.Обычно величина случайного искривления задается в виде отно­шения максимального начального nрогиба к длине стержняf!l = 1/400 ...

1/1000.Правильнее устанавливать не начальный nрогиб, а максимальнуюначальную кривизну оси стержня х 0 , представляющую собой раз­ность остаточных удлинений краевых волокон ~. деленную на вы­соту сечения h:x0 =~/hДалее можно задаться каким-либо законом изменения началь­ной кривизны по длине стержня, например, можно взять синусо­идальный законх = х 0 sin (nx!L);тогда прогиб в середине длины стержня будетf = x0 / 2/n 2 = bl 2/(n?h)(17.21)Таким образом получиме= ео+ f =ар+ bl /(n h),22откудат= efp =а+ ~Л 2 ,(17.22)где( 17 .23)z-Здесьрасстояние от центра тяжести сечения до наиболее уда­ленного волокна, i - радиус инерции сечения.392Величину ~можно выразить через начальный прогиб(17.21)и(17.23),следующим образом:tТДля симметричных сеченийz = h/2~1~= 2лs = 2Вообще коэффициент~ долженским данным о начальныхдляиl~~= л2h = ~ z;данноготипа1f,согласноz~= Т ·Тиth·Т ·Топределятьсяпо статистиче­искривлениях стержней, полученнымконструктивныхэлементов,однаковозможноприменение ориентировочных его оценок.Прочиепричины отклоненияработыстержня· отидеальныхусловий центрального сжатия требуют в каждом случае своегорассмотрения.

В частности, влияние случайных поперечных нагру­зок (например, от действия ветра и пр.) может быть весьма сущест­венным. Однако в обычных условиях это влияние может быть уч­тено соответствующей корректировкой коэффициента ~. учитыва­ющего искривление стержня. Для этого достаточно к начальномуслучайному искривлению добавить искривление от случайной бо­ковой нагрузки.§ 15.Распределение весущей споеобиости центральносжатоrо стержm1В основу расчета на случайное внецентреиное сжатие положимформулу (17.20), которую представим в виде- + 1-(jr)),2f(л2E)mcro~ апр(17.24)аоРезервом прочности здесь будет величинаS _: апр- iio- fiin 2Eaof(n 2E- а0 Л2 ).(17.25)Для относительного эксцентриситета примем выражение(17.22)m=a+~t..\где л- детерминированная, а а и ъ- ~лучайные величи.ны.длякоторыхможнопринять. нормальное распределение сцентромв начале координат.Для предела прочности можно также принять нормальное рас­пределение с изменчивостью Аапр порядка 0,1.

Характеристики

Список файлов книги