Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Эrа фор-340мула вытекает из иного подхода к расчету оболочки, а именно, израссмотрения условий равновесия бесконечно малого элемента оболочки в угловых координатахвдоль'IJ,~.где 'Ф,- угол, отсчитываемыйпараллели.§ 3.ОбоJiочха с мервдиоимьвоii кривой в видестепеввой фуmщииВ качестве примера возьмем оболочку вращения, меридиональllая кривая которой имеет уравнение:_п;Г=QуZ,откудаcos ~ =апу a2n+n2г2п-а '..пгп-lSlП Е=.у а2п n2r2n-2+Пусть эта оболочка нагружена вертикальной нагрузкойq,равномерно распределенной по горизонтальной проекции оболочки.Тогда равнодействующая нагрузки, приложенной выше плоскостиz = const,будетО (z)= nr2q.По формулам предыдущего параграфа получаем:Т=-G (z)sin ;=_2лr_!1!__= _ _g_2 sin ;2nYa2n+n2r9п s,гп-2'qапН= Т COS ~ = - 2пгп-а ;d (t:N -- -qап-) cos..,--2пгп-~drn-3.,=-.-qа~п2nВ частном случаеn-qап (3-п) ,а-пап2n У аап-= 1 имеем+ ns,sп2_,s-пу а2п+ n2r2п 2 .коническую оболочку, для которойtg~=I;a; T=(-qr/2)Va 2 +l; H=(-qar/2);N = -qa2r/Va2 + 1.Как видим, здесь напряженное состояние оболочки увеличиваетсяпропорциональноr.= 2 (параболоид вращения) получаем:tg ~ = 2rfa2 ; Т=(- q/4) V cf + 4r2 ; Н= -qa2f4 = const;ДляnN __-qa'41Jla4+4rlЗдесь мы имеем постоянное значение распора Н в любом горизонтальном сечении.341Дляn3=Т -- - _(]6__Н= -6qraз ; N =О.Yaq::9fi,,'Кольцевые усилия здесь тождественно равны нулю.Если оболочку нагрузить в полюсе вертикальной силой Р, тобудем иметь:т --G(z)=P=coпst;-Р2nr sin 6ррJlalln+nllr2n=- -2л2пrn;anН=- 2n п;п;d (РN=--an- )2n пгn-ldr=Приn2nгnУ а211an+ n2r2n 11 =Р n-\a2n2:rt - n - гnJfalln+n2r2n 2'n = 1:Т=[- Р/(2лг)]при- 1 an=Р-n--cos~n= 2:рТ=---4:rtr2Va + 1;2V а4 +4г2 ;Н=- Раt(2лг); N =О;Ра2Н=---;4:rtr2расN=---.c.=.4л ,sJl "4 + 4r2В точке приложения силы Р, т.
е. при г= О, внутренние силыобращаются в бесконечность.§ 4.Изrиб оси оболочхи вращенияМожно провести некоторую аналогию между безмоментными оболочками вращения и сплошным брусом, работающим на сжатие иизгиб. В центральна сжатом или растянутом стержне напряжения,действующие в продольном направлении, распределяются равномерно в поперечном сечении так же, как усилия Т в оболочке вращения при осесимметричной нагрузке. При изгибе стержня продольные напряженияраспределяются в сечении по закону плоскости, т. е. пропорционально расстоянию от центральной оси сечения.Подобного рода напряженное состояние может возникать и в оболочкевращения.Итак, зададимся меридиональными усилиями(16.5)где у -расстояниедо оси 'Ф=от точкил/2 (рис.343); r -горизонтальногосеченияоболочкирадиус сечения;У= Г COS'I\J.Т 1 - меридиональное усилие в точке 'Ф =О сечения оболочки.Нетрудно подсчитать изгибающий момент относительно оси '1\1 =342= л/2 в сечении оболочки z = const (рис.
344, а):2n2n~ T1(z); sins·yrd1J'=) T 1 (z)sins·y2 dф=M(z) =2n= Т1 (z) sin s·r2 ~ cos2 1j) d1j) =лr2 Т 1 (z) sin S·(16.6)оВеличина лr 2 , умноженная на толщину оболочки (>, представляетсобой момент сопротивления тонкого кольцевого сечения оболочки:W =лбг 2 •Горизонтальные составляющие меридиональных усилийн= тcos s =взаимно не уравновешиваются,т1cos 'фcossкак в случае осесимметричного нагружения, а дают горизонтальную составляющую (рис.2n344,б)2nQ1 = ~ Н cos 1j) · r d1j) = Т1 cosо·s·r ~ cos21j) d1j) = лrТ1 cos S·оБудем считать, кроме того, что в горизонтальном сечении оболочки z = const действуют сдвигающие усилия S, распределенныепо закону (рис.344,в)(16.
7)Их равнодействующая направлена вдоль оси2n'iJj =О и равна2nQ2 = ~ S sin 'ф · r d1j) =- S1r ~ sin 2 1j) d1j) = - лrS 1 •ооОбе равнодействующие Q1 и Q2 могут уравновесить поперечнуюсилу Q (z) в сечении оболочки, равную горизонтальной составляющей всей нагрузки, приложенной выше сечения= const:zsИз выраженийQ(z) = Ql +Q2= лr (Tt cos -SI)·(16.6) и (16.8) получаемТ 1 =М (z)/(лr2 siп 6);sl = -Q (z)/(лr) +мПрисоединим сюда формулу(16.4),(z)/(лr2tg ~).(16.8)(16.9)(16.10)обозначив в ней Т через Т0 :T 0 =-G(z)/(2лrsin~).(16.11)Формулы (16.9), (16.10) и (16.11) дают возможность по составляющим равнодействующей нагрузки, приложенной выше сечения z = const, а именно: вертикальной составляющей G (z), горизонтальной составляющей Q (z) и моменту М (z) относительно линии ~= л/2, z = z,получить внутренние силыT=T 0 +T 1 cos1j)иS=S1 sin'P..(16.12)343z=Конечно, нагрузка может вызвать в сеченииconst еще идругие усилия, ортогональные усилиям Т и S (16.12), однако частьее, вызывающая эти усилия, не будет создавать в горизонтальныхсечениях оболочки ни изгибающего момента, ни поперечной силы.аPuc.J'IlrPuc.J'Ifа]·fi.!!!..Jт,..
IQ.:Q~\Puc.J'I5'Puc.JHPuc.J47Для того чтобы в сечении отсутствовали сдвигающие усилиянадо, чтобыМ (z) =S,rQ (z) tg 6.То есть равнодействующая всех внешних сил, лежащих выше рассматриваемого сечения, должна проходить через точку, находящуюся344на расстоянииr tg~ от этого сечения и представляющую собойzточку пересечения касательной к меридиану в сечениивращения оболочки (рис.вершинаконуса,345).с осьюВ конической оболочке это будетследовательно,горизонтальнаясила,приложеиная в вершине конической оболочки вращения, нигде не вызываетсдвигающих усилий.Покажем, как можно определить кольцевые усилияствующие рассматриваемому напряженному(16.5), (16.7).N,состояниюсоответоболочкиКак и ранее, для случая осесимметричного нагруже+ння выделим узкое кольцо сечениями z и zdz (рис.
346). Поперечные силы в этих сечениях равны соответственно Q и QdQ. Составим условие равновесия кольца, согласно (16.8):+dQ = nd (rT 1 cos ~- rSI);dQ - представляет собой приращение поперечной силы, равное горизонтальной проекции равнодействующей, приложенной к кольцунагрузки.Такимобразом,d (rT 1 cos s) cos'Ф ивыделенноеd (rS 1) sinкольцонагруженоусилиями-ф, а также нагрузкой, дающей горизонтальную равнодействующую dQ.
Зная полную нагрузку накольцо, нетрудно-обычными методами статики сооружений найтипродольные силы в кольце N ds и изгибающие моменты, действующие в горизонтальной плоскости. Задача упрощается, если нагрузка,как и усилия Т и S, прямосимметричны относительно оси 'Ф =О иобратносимметричны относительно оси 'Ф= ±n/2.Еще более простое решение получается, если радиальная и касательнаясоставляющиенагрузкинакольцораспределеныпозаконам cos 'Ф и sin 'Ф·При отсутствии горизонтальных составляющих нагрузки имеем:Q = О и, согласно (16.8),S1(z) = Т 1 (z) cos ~.В заключение рассмотрим наклонную оболочку вращения, нагруженную собственным весом (рис.
347). В данном случае собстg единицы поверхности оболочки можно разложить нанагрузку, действующую вдоль оси оболочки и равную g 0g sin а,и на нагрузку, действующую перпендИ:кулярно оси оболочки. g 1g cos а. Нагрузка g0 является осесимметричной и действие еебыло рассмотрено в§ 2. Нагрузка g 1 вызывает моменты М и поперечные силы Q в сечениях, перпендикулярных оси оболочки.Обозначим через G вес части оболочки, расположенной вышесечения zconst:венный вес====~G=б,,·2nrrd z~ -.-·sm ~'о6 - толщинаоболочки; у- ее удельный вес.345Тогда поперечная сила выразится формулойzQ= G1 = G cos а= 2лбу cos а С '. d~~ sш"',оа изгибающий момент (см.
рис.347):2М= - 2лбуС (z-t) г (t) dtcos а .)sin 6 (t)•оОrсюда по формуламнальныеи(16.9), (16.10)сдвигающиеТ= М cos 'Фnг2sin 6иопределяются меридио(16.4)усилия:_ G sin а . S2nгsin 6'= ( G cos аnгМ )nr 2 tg_ssin ,1,-r·§ 5. Уравнения равновесия безмоментиых обоJiочек вращеии.вв цИJIИидрических координатахПерейдем теперь к более строгим и общим методам расчета безмоментных оболочек вращения как двумерных тел. Можно применять различные системы координат для расчета оболочек,числеуниверсальнуюгауссовусистемукоординат.Мы,в томоднако,будем стремиться к максимальному упрощению выводов и решений,а)1'z· Рис. Jlf8Puc.J49Рис.350используя особенности частных видов поверхностей оболочек, которые требуется рассчитать. Для оболочек вращения, по нашемумнению, наиболее удобной, хотя и не так часто применяемой,являетсяцилиндрическаясистема координатz, r,-ф,показаннаяна рис. 348.
Составим в этой системе координат уравнения равновесия элемента поверхности оболочки rd-фdz, проектируя все действующие на элемент усилия на координатные направления. Обозначения внутренних погонных усилий и составляющих нагрузки,отнесенной к единице поверхности оболочки, показаны на рис. 349:_дд (Trd-ф sin ~) dz + ;.,, (s sin ~ ~t) d"Ф+Zr d"Ф ~t =О;дzд (sш'"1'dz )sш"'dzs"'dzдz (Т г d"Ф cos ~) dz + д-ф S cos 6 sin 6 d'lj;- N sin d-ф + Rr d-ф sin 6 =О;дdzд (dz )dzd'фcos~+ ...,,, N-.-t d'ф+Vrd-ф-.-t =0,z (Srd1j1)dz+S -.-tsш..,·v"' , sm ..,·· sш ..,-д346или после сокращения на d'фdzд.ТдSr+ sinsZ=O;az-( rsш 6) +дфд-д (TrzдScos 6) + ctg ~- ...,1,гN+ -.- t : R =О;SIЛ ."- .- t :SIЛ ."-V'j'д1 дN-д-д,1,z (Sг)+ctg6·S+-.-tsш ..'t'(16.13)r+-.-!:V=O.sш..,Введем переменнуюУиучтем,=Trsin6(16.14)чтоctg 6 = dztdz = r'.Тогда уравнения(16.13)можно представить в виде:дУдSrаz+дф+ sins Z=O;·д <' 'У>+ 'дфдsNдZsinsд-дz (г+ sins'R = о·'S )+r 'S +-.-t1 дNr~+-.-t V=OSIЛ...SIЛV'j'...(штрихом здесь и далее обозначена обыкновенная производная по z).Исключим из этих уравнений N, определив его значение из второгоуравнения:~ (r'Y)+cos6*-+rR,N=sin6получим· ~+~+-'-z-o·дzдфsins - ·д',д'S ),(дz дф (г У)+ г 2S + д'IJ2Далее можно исключитьдS+ r дг+rsin(16.15)jдR )s ( V + дф=О.(16.16)S:дSдУrZдф = - дZ- sins.(16.17)Остается одно уравнение:iJ3 (r'Y)дz д1р2,(-r-дУ)+ дziJЗYд1р2 -д2R+ siЛr s ( дVдф + дфl2г'Z -r' дsz )-г_!_ (~)-од'IJ•дzsin s - '2 дZд2Уrдz2-илидiУ, дУr" дф2 - 2г дZ - rдiУaz•+ Х = О,(16.18)гдеr( дVХ= sint ~д2R, д2Z, )д ( rZ )+ д1р•- r д11' 2 -2r Z -r(h m~ .(16.19)i47Решив уравнениечерез него Т:и получив значение У, можно выразить(16.18)Т= У /(r(16.15)и, согласнос учетомsin 6)(16.17), найти N:N = sin; ~ (r'Y)- cos 6: -rr'Z +rR = sin 6· r"Y- rr'Z +rR.Величинаопределится изSS=-f (z)~~d'IJ--.'~ Zd•''+f(z)·'sш~~"'~дzне равно нулю только при нагружении оболочки внешнимисилами,вызывающими момент относительно осиУравнение(16.18)ввращения.можно представить также в видеasazsи(16.17):а•У=Х(16.20)a2w - ,r" ()aziiw + aswдiiJI = х,(16.21)(г У)- r"Y- г" дф 2видегдеW = rY = r2 T{sin 6.Так как(16.21)ние<r - положительная величина, то при r" О уравне[а следовательно, и уравнения (16.20) и (16.18)) будетуравнением эллиптического типа,априr">О -гиперболического.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
