Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Выражение полной работы внутренних силвместо (14 19) здесь принимает вид:А=- М пр 1:B;lt,где в 1 двугранный угол перелома в i-м ребре эпюры прогибов;длина этого ребра.Другое выражение работы внутренних сил получается из фОрмулы (14.21)l-(14.22)где <р;=дw!дп 1 -угол наклона грани эпюры прогибов,примыкающей к j-й стороне контура опирания пластинки, в направлении, riерпендикулярном этой стороне; а 1 -длина стороны опиранияпластинки.Работу внешних сил здесь можно представить в виде:V = Р 1: S1<p1,гденойстатический момент единичной нагрузкиграни, примыкающей к j-й сторонеS1 наq,расположенконтура опирания, взятый относительно этойстороны.ПараметрнагрузкиРвпредельном состоянии при этом выразится фОрмулойР= min [М пр L <р;а,/(1: <p/St)].Заметим теперь,что,срезаясреднюючасть эпюры прогибов таким образом, чтобыобразоваласьщаянавнутренняяконтурпоказано на рис.322сил, вычисляемойработане выходя-пластинки,работы внутреннихпо формулевнешних силпри~какштриховой линией, мыне изменяем величинунакогрань,опирания~~(14.22).
Одэтом~PIIC.J22умень-шается, так как уменьшается объем эпюрыпрогибов, и поэтому предельное значение Р увеличивается. Следовательно, в эпюре прогибов, соответствующей минимальному Р,не должно быть внутренних граней, не выходящих на контуропирання, и число граней должно быть равно числу сторон опирания.Из условия (14.20) можно определить точное значение Р ифОрму прогиба, соответствующую этому значению. Для этого надоприравнять нулю производные дР/д<р;:дРдq>; =М прЕ q>1S1 · щ-Е q>;at [S;+Ecpt (дS;/д<р;)](Е cp;S;)aО= ·309При малых прогибах и углах поворота пластинки можно пренебречь ~'PJ (дS1 !дqJ;) по сравнению сS;,как величинойпервогопорядка малости.
Тогда получима;1: q;;S1 = S; 1: ((!;а;иS1;a1 =Таким образом,1: ((!1S;!(1: ((J;Oj) = const.(14.23)отношение статического момента единичной нагрузки q1 , расположенной на i-й грани, к длине стороны опирания этой грани должно быть одинаковым для всех граней эпюрыпрогибов. При этом величина Р примет минимальное, т. е. истинное значение:(14.24)причемSи а могут быть взяты для любой грани деформированнойпластинки.Следствие.
В пластинке, нагруженной одной сосредоточеннойсилой, форма прогиба должна быть лирамидальной с вершинойв точке приложения силы. Только в этом случае нагрузку можнораспределить между гранями так, чтобы выполнялось условие(14.23).§ 7.Приближеиное решениеЕсли сетка ребер перелома взята приближенно и не соответствует условию (14.23), то можно получить простую двустороннююоценку предельного значения параметра нагрузки Р (при всюдуположительной нагрузке q1)(14.25)Эти неравенства доказываются следующим образом.Рассмотрим две схемы ребер перелома, из которых одна отвечает условию(14.23),а вторая взята приближенно.
Очевидно, что:сумма площадей F;, опирающихся на стороны а;, одинакова для обеих схем ребер перелома;2) при переходе от одной схемы к другой часть площадей F11)увеличивается,ачасть уменьшается;F1 статический момент S1 увеличивается или, в крайнем случае, остается прежним; при уменьше3)nри увеличении площадинии площадиF1статический моментS1уменьшается или остаетсяпрежним;4)при переходе от одной схемы к другой статические моментыграней, увеличивающихся по площади, увеличиваются, а граней,уменьшившихся по площади,-уменьшаются (за исключением теоретически возможного случая, когда все статические моменты остаются прежними по величине);5) поскольку величины а; в обеих схемах одинаковы, то частьвеличин S 1/a 1 в одной схеме больше, а часть меньше, чем в другойсхеме;310б) по сравнению с действительной схемой деформирования пластинки, в которой S;/a1 для всех i одинаковы и равны Млр/Р, вовторой, произвольной схеме одни величины S 1/a 1 меньше Мпр/Р,а другие больше;7) из последнего утверждениявенстванепосредственно следуют нера(14.25).Приближенную схему ребер перелома можно последовательноуточнять, увеличивая площадь Ft.
для которой отношение S;/a1минимальное, и уменьшая площадь F 1, для которой S 1/a 1 максимальное.§ 8.Расчет пра:моуrольвой ПJiастив:ки на раввомервуtоваrрузкуЗададимся формой разрушения железобетонной пластинки,опертой по прямоугольному контуру в виде, показаинам на рис. 323.Параметром нагрузки здесь можно считать саму ее величину q, а единичнойнагрузкой q1 = 1. Применяя условие(14.23), получаем для предельного состоянияпластинкиSlib=S 2{a; S1a=S 2 b,(14.26)где S 1 статический момент треугольника АВЕ относительно стороны Ь, аS 2 -статический момент трапеции BCF Еаотносительно стороны а.Рос.Определяем:J2Jа-с) 1 1 (а-с)_ Ь (S 1 = ь( -223 -2- -24 а-с )2 ••S _?(а -с)!!__ _1_2 --2!!.
_l_ +2223и, подставляя в равенство_!1_ !!__(14.26),(а -с) 2 аЬ_l_с222= Ь' (а -с) + сЬ•248получаем уравнение= Ь 3 (а -с)+ ЗсЬ 3 ,илиоткудас=и, согласноа;а-С=УЬ4 + За2Ь 2а-Ь'(14.24),ЬМлрqпр =at + Ь'- У Ь4 + За2 Ь224Мпр24а 2 Мпр---s: = (а-с)2 =(У Ь4+За2Ь2- Ь2) 224а 1 Мпр= frl(У1 + Зa'ljb 2 -1) 2 '311§ 9. Предельное равновесие железобетоннойхруrлой ПJiaCТRIIJCиВ изотропно армированной круглой пластинке, шарнирно опертой по контуру, форму разрушения можно принять в виде пологогоконуса (рис. 324). При этом кривизны пластинки х,. вдоль радиусовбудут равны нулю, а вдоль параллелейхе = ff!/Г =fi(Rr).Здесь ff! - угол наклона поверхности пластинки в радиальныхнаправлениях; R -радиус контура опирания;прогиб в центре;r - расстояние от рассматриваемой точки до центра пластинки.Работа внутренних сил, согласно (14.19) и (14.18), равнаf-RA=-Mnp ~PwdF=-Mnp ~хв·2лгdг=ОFR=(-2лМ 0 р{/R) ~ dr= -2лМпJ•(14.27)оПри равномерно распределенной нагрузке работа внешних силравна величине этойнагрузкиq,умноженной на объем эпюры прогибов:V= лqR 2{/3.Приравняв нулю сумму А+ V,получаемq= qnp= 6Mnp/R 2 .(14.28)При нагрузке центральна приложенной сосредоточенной силойV=PfиRРпр=2лМпр•Рис.боту силЕсли пластинкаJ21t(14.29)заделана по контуру, то к выражению (14.27} дJiя работывнутренних сил следует прибавить рав краевомкриволинейномшарнире текучести, идущемвдоль контура:где М~рпредельный момент при изгибе пластинки выпуклостью-вверх.
lfогда получаемА= -2л (Мпр+М~р){,и формулы(14.28)Чпр =312и(14.29}6 (Mupпринимают вид:+М~р)/ R2;Р пр= 2л (М пр+ М~р)·ГЛАВАXVМЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ§ 1. Дискретизация континуа.пьИЬIХ системВ ряде случаев для расчета континуальной системы приходитсязаменять ее системой с конечным числом степеней свободы.
Точность расчета при этом будет тем больше, чем больше степенейсвободы будет иметь аппроксимирующая система. В таком расчетеследует задаваться:1) системой конечного числа обобщенных перемещений u1 (i =1, 2, ... , n), приближенно аппроксимирующей возможные истин=ные перемещения континуальной системы, и системой сопряженныхс этими перемещениями обобщенных внешних сил Р 1аппроксимирующих2)(i= 1, 2, ... , n),нагрузку;системой конечного числа параметров внутренних сил, приближенно аппроксимирующих возможные напряженные состоянияконтинуальной системы (эти параметры, которые будем обозначатьN1 (j1, 2, ... , m), следует рассматривать как обобщенные внутренние силы], а также системой обобщенных деформаций л1 (/=== 1, 2, ... , m), сопряженных с обобщенными внутренними силамиN1 .Таким образом, будем иметь дело с четырьмя конечномернымивекторами:и= (щ, u2, ... ' Un); р = (Pl, Р2, ...
' Pn);N=(Nl, N2, ... , Nm); X=('Al, ~ .... , 'Am)•Потенциальная энергия внешних сил в аппроксимирующей системе будет выражаться формулойnV=-(Piu)=- ~P;u,,1=1апотенциальнаяэнергиявнутреннихсилтА =(NX)= ~ N1'A1•j=lДалее можно использовать методику, изложенную в гл: IV изаключающуюсяв следующем.Составляются уравнения равновесия, связывающие векторы Ри N, имеющие в матричной форме вид:AN+P=O,где А-матрица коэффициентов уравнений равновесия сnстроками 11 т столбцами, а также геометрические уравнения, связыв~щие деформации с перемещениями:Атu+ Х=О,гдеиндекс «Т» означает знак транспонированияматрицы.313Далее находятся физические соотношения, связывающие деформациисвнутреннимисилами:N=где С-матрицажесткостидляс1,внутреннихсил,имеющаятстрок и т столбцов.Матричное уравнение связи внешних сил с перемещениями приэтомполучает вид:где АСАт-матрица внешней жесткости, имеющаяnстрок иnстолбцов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
