Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 48
Текст из файла (страница 48)
По схеме жестко-пластического тела эта деформацияпоявляется только там, где обобщенное усилие Ф достигает предела текучести С. Там же, где Ф <С, пластинка должна оставаться плоской и 'Ф будет равно нулю. Следовательно, работавнутренних сил в такой пластинкеА= -С~ -фdF,(14.4)Fпричем интегрирование здесь производитсяпо всей поверхностипластинки F.Выражение работы внешних силV = ~ qw dF.(14.5)FЗдесьq-нагрузка;можно такжеw-представитьпрогибпластинки.Выражение(14.5)в виде:V =Р ~ q1wdF,F-где Рпараметр пропорционального увеличения нагрузки;едюшчная нагрузка, соответствующая значению Р = 1.Согласнокинематическомуэкстремальномупринцилуq1-методапредельного равновесия, доказанному в § 3 гл.
IX, форма изгибапластинки должна быть такой, чтобы параметр Р, получаемыйиз условия АVО, принимал минимальное значение:+=(14.6)303§ 4. Изrиб мет8JIJП1Ческвх ПJiастинокТекучесть материалов происходит за счет деформации изменения формы. При этом деформации изменения объема остаются упругимиивсостояниипредельногоравновесияихможнополагатьравными нулю. Это равносильно тому, что объемный модуль упру= Е/ (I-2J.1)= 0,5.гости Ксона J.1равен бесконечности, а коэффициент ПуасСогласно гипотезе жестко-пластического тела, деформации измегде величинанения формы возникают там,V (а1 -а2) 2+ (а2 -аз) 2+ (а,1 -ai) 2достигает некоторого своего предельного значения. При одноосномрастяжении а2 = а 3 = О, а 1 = ат, поэтомуV(ai-a2) 2 +(a2- a 3 ) 2 +(a3 -ai) 2 =Для пластинок можно положить а3 =О,принимаетвид:V2 ат.и тогда условие(14.7)(14.7)var +а~- а1а2 = ат•Переходя к напряжениям ах, ау и't'xyпо формулам:а1 = 0,5/ ах+ ау+ V(ax- Оу) 2 + 4't~y];О2 = 0,5 [ах+ ау- V(ax- а11 ) 2получимпосле некоторых+ 4t;11 ],преобразованийV а~+ а~- ахау+ 3ti11 =Ото(14.8)Можно принять, что соотношения между компонентами напряжений ах, а11 и 'txy остаются постоянными по толщине nластинкиPuc.J/8(это доказывается строго для простого нагруження мето.в.ами теории пластичности).
Тогда эти напряжения, удовлетворя11 вездеусловию текучести (14.8), образуют по толщине пластинки эпюрыв виде двух прямоугольников (рис. 318). При этом моменты будутравны:Мх= axh1!4;М 11= a11h1 f4;Мху= 'txyh 2/4.Выразив отсюда напряжения и подставив их в условие текучести(14.8),получимгде Мт=304V М~+ м;- МхМ 11 + 3Mi11 =М т,атh 2 /4.(14.9)Связь между моментами и кривизнами в заданной точке пластинки выразится формулами закона Гука при условии посто= 0,5:(E 0 h3 jl2) (ху+ 0,5хх);Mxy=(0,5Enh 3!12)Xxy•(14.10)янства объема материала, принимающими вид при f.tМх= (E30 h /12) (хх+ 0,5Ху);М у=Отличие от закона Гука здесь заключается в том, что модульзависит от координат х, у,z,Подставим выражения (14.ных преобразований получимEnа также от величины нагрузки.10)в условие(14.9)и после неслож(14.11)Составим теперь выражение работы внутренних сил, отнесеннойк единицеплощадипластинки:АА = - МхХх- МуХу- 2МхуХху•Выразив моменты через кривизны по формулам(14.10),получим(14.12)Исключим из выражения (14.12) неопределенный множител·ь E 0 h3 /12,найдя его из уравнения2Мтк;(14.
11).Тогда будем иметь:+ х~ + х хх У+ х~У2Мr--::,.-;----:;-:----:----::-AA=- ,r= - .r~Vx~+x~+xxxy+xiy•r 3 ух~+х~+ххху+х~уr3·Полная величина работы внутренних сил всей пластинкиА=гдеF-2; ;$Vx~+x~+xxxy+x~ydF,(14.13)площадь пластинки, по которой производится интегрирование.Формуле(14.13)С= 2M,;V3можно придать вид= 0~ 2 /(2 VЗ);1jJ =(14.4),положивV xi + х~ + ХхХу + xiy·П р и мер. Зададимся поверхностью прогиба металлической пласт11нки,опертой по квадратному контуру со стороной а, согласно уравнениюw= siп (nxja) sin (nyja).Д;Jя этой поверхности находим:n• . nx .
nyXx=-Wxx=Xy=-Wyy=a'iХху=-n2Wxy=- а2Stn а Stn а;nxnyCOS а COS а;х•+х'+хх +х'ху =~(3siп'nxsiп•ny+cos':IU'cos•ny)·хУх Уа•аааа'Ф-osnl -.V/. nx . nynxny3 sш• а stп 2 а +cos2 а- cos' ·а-·vВыражение2М л: 2 ~S1jJdF=~УЗ а•С. 2 2л:уnxny3 sfn 2 nx-sш-+cos•-cos•-dF(14.14)аFааанайдем численным интегрированием. Для грубого nодсчета разбиваем квадратсеткой на 36 клеток и определяем подынтегральную функцию в (14.14) в каж,р;омузле сетки (рис. 319):1)х = : ; у= ~ ;v3 {-~ + ~~ -~ == ~3;2>х=~·у=!:.
-.1 3 з__1 +_!___з_=vз.з·3) хОв·Vаау= 6;= 2;а/5 ajJ и/21aj5ajJ442lf5УЗv 3 4-1 1+ 4-3 о = 2;аS-.Jlf 3 sin2 nxа sinll nyа + cosllл:xа cos2 nyа dF=t::oF= 16 У3+4[7+4. з +5а/22'-./хJ44сVЗ= 26 • 880 ;2л:2 26,880 •-в 5\МS,1, dF- М т-vза•-зв-а. т•'1'-Если пластинка нагружена в центре сосредо·точенной силой Р, то знаменатель в фор·муле (14.6) будетw (а/2, а/2) = 1 и Р =8,51Мт.Для равномерно распределенной нагруз·ки q1 = 1 = const знаменатель равена!/Рис.J/9(аа) 1 · w dF= ~ ~ sin (nxja) sin nyja) dx dy=(4Jл:ll) а•,отсюда сле.11.уетПолученные значения нагрузок дают оценку их nредельных величин сверху.Для уточнения расчета надо ввести в функцию прогиба один или несколькопараметров, по которым затем произвести минимизацию предельной 11агрузки.§ 5.ДляПредельвое равновесие железобетовиых пластинокжелезобетонных1шит,одинаково армированныхв двухвзаимно перпендикулярных направлениях, условие текучести определяется максимальными изгибающими моментами, которые при-306нимаютсяравнымиMпp=f.a,z,f.где(14.15)-площадьпоперечногосечения арматуры,приходящаясянаединицудлинысеченияпластинки; 0 1 -пределстиарматуры;внутреннихz-сил,текучеплечопарыравноерасстоянию от центра тяжести арматуры до центра сжатой зоны бетона (рис.
320).При изгибе пластинки по косому направлению (рис. 321)предельный моментМ пр=f.x cos а. ОтZ cos а++ f.y sin а· 0 Z sin а=1= a,z (f.xгдеf.xиcos 2 а+ f.Y sin 2 а),f.y-арматуры,cosrtплощади сеченийприходящиеся на еди!Jницу длины разрезов вдоль осейх и у. Приняяf.xформулаформулу= fay =f.превращается(14.15),т. е.Plic.
J21последвпредельный момент не зависит отнаправления изгиба пластинки.Таким образом, имеем условие текучести:Мх+МуМ1=2+.-. j(Mx-My)2J122+Мху=Мпр·(14.16)Это условие можно преобразовать следующим образом:Мх+Му2-Мпр( Мх+Му2--. j(Mx-My)2= J1М пр)2-2(Мх-Му)222+Мху;1•= Мху•(Мх- М пр) (М у- М пр)- М~.11 =О.При достижении условия текучести(14.16)возникает сопряженная с главным изгибающим моментомдеформация, представляющаясобой искривление пластинки х 1 в том же направлении, что и главный момент М 1 . Работа внутренних сил в элементе пластинки приэтом(14.17)причемникает.искривлениеПоэтомувпластинкикаждойх2точкев другомнаправлениипластинкинепроизведениевозх 1х 2307равно нулю, т.
е. изогнутая поверхность пластинки будет поверхностью нулевой Гауссовой кривизны.Заметим, что на поверхности нулевой Гауссовой кривизны величина х 2 =О и(14.18)где V2 оператор Лапласа. Тогда выражение для работы внутренних сил можно получить из (14.17) и (14.18) в виде:А=~ Мор V2 w dF.(14.19)FРабота внешних сил выражается формулойV(14.5)= Р ~ q1w dF.FПредельная нагрузка определяется из условияР = min [)Мор V2wdF/0 q w dF)}(14.20)1справедливого также и для пластинок переменной толщины, гдеМпр=Мор (х, у).v2w везде сохраняет свой знак.При этом предполагается, что2 w, т. е.
х 1 меняет знак, то условиеЕсли в некоторой области(14.20) должно иметь вид:vр = mln [()_ М~р ~ 2 w dF- )+ М;;р V2 wгде Mi;p (поdF) 1о q1w dF)}максимальный положительный, а Mi!p -абсолютнойвеличине)отрицательныймоментмаксимальныйвпластинке;F+и F _-области с положительной и отрицательной главнойкривизной поверхности прогиба.В пластинке с двусторонним, симметричным относительно срединной поверхности армированием М;;р = Mrip. в пластинке с односторонним армированием М;;рО.В пластинке постоянной толщины, изогнутой по поверхностис постоянным знаком х 1 , выражение для работы внутренних сил=(14.20)можно представить в виде:А= М пр~ (дwjдn) ds,(14..21)перейдя по формуле Грина от интеграла по площади к интегралупо контуру, ограничивающему эту площадь.
Здесь дw/дп означаетпроизводную от прогиба по нормали к контуру; ds - элемент дугиконтура.Отсюда видно, что величина А полностью определяется угламинаклонаповерхностипрогибанаконтуре в направлениях,перпендикулярных последнему, и не зависит от формьi прогиба пластинки внутри контура, ограничивающего область с постояннымзнаком главной кр·ивизны х 1 •308§ 6. Же.п:езобетоНИЬiе пластивхи, опертыеПО ПOJIИГOBaJIЬBOMf КОвтуруДля таких пластинок эпюра прогибов в состоянии предельногоравновесиярис.322.имеетвидпологогомногогранника,показанногонаВ ребрах этого многогранника концентрируется работавнутренних мом~нтов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
