Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Этоявление, наЗываемое р е з о н а н с о м, особенно опасно для сооружения тем, что разрушение может произойти ripи малых воздействиях и в конструкциях, достаточно прочных по отношению к обычным статическимнагрузкам.Существенным отличием динамических методов расчета от статическихявляетсявведение нового перемениого-времени,которое участвует в уравнениях либо в явном виде, либо в виде производных от неизвестных функций по времени. Обычно там, гдестатическая задача решается при помощи обычных алгебраическихили трансцендентных уравнений, соответствующая динамическаязадача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными268по времени.§ 2.Движение упрутой системы с одной степевью свободы.Собствеввые :колебанияСистему с одной степенью свободы будем изображать схематически в виде массы т, закрепленной на пружине так, что эта массаможет иметь только вертикальные перемещения у (рис.
287). Дляописания движения системы необходимо составить динамическоеуравнениеравновесиямассы,включающеесилуинерции-ту(точками будем обозначать везде производные по времени)-су- ту+ рЗдесь Р(t) -(t)= о.( 13.1)внешняя сила, изменяющаяся во времени по заданному закону и называемая в о з м у щ а ю щей; с- коэффициентжесткости пружины; действующая вверх реакция пружины су называется в о с с т а н а в л и в а ю щ е й силой.При отсутствии возмущающей силы получаем однородное дифференциальное уравнениету+су= О,котороеимеетрешениеу= С 1где rosin rot+C2 cos rot,(13.2)= yC7/1i.Считая, что на пружину действует сила тg, гдесвободного падения, получимОтсюда следует т/с= Ycтlg истатическийg-прогибускорениеУст= тg/с.()) = V g /Уст•Здесь Уст - статическое перемещение конца пружины, определяемое так, как будто бы ускорение g действовало вдоль оси пружины,даже если бы последняя не была расположена вертикально.Решение (13.2) означает незатухающий колебательный процесс,периодически повторяющийся через промежутки времениТ=Этот промежуток называется2n/ro.пер и о д о м к о л е б а н и й.Величина оо называетсяч а с т о т о й с о б с т в е н н ы х к о л еб а н и й системы.
Постоянные cl и с2 находятся ИЗ начальныхусловий в момент времени tО, примимаемый за начало отсчета=времени:У (О) =Уо: У (О)т. е.из заданных= fJo,(13.3)начальных величин отклонения массы у 0 нскорости ее движения у 0 •Решению (13.2) можно придать вид:y=Asiп(rot+<p),(13.4)гдеА=V Cf +с;; <р = arctg (CI!Cl)·269(13.4) следует ,cos q> sin wt +А sin ер cos lJ)i,Действительно, изу= АоткудаAcoscp=C1 ; Asincp=C 2 ;С~+С:=А 2 ;C2 /C 1 =tgcp.Величина А представляет собой амплитуду колебаний, т.
е. наибольшее отклонение массы от ее среднего положения, а ср-на-уtРис.287Рис.чальную фазу.аргумента wtPllc. 289Ф а з о й+ <р -n-288к о л е б а н и я называется значениенаходящееся в пределах от нуля до 2n,2nn,целое число.Из начальных условий(13.3)получаемУо = С2; Уо = юС1иу= (flo/ю)sin wt + Уо cos wf,откуда(;!со= (у 0 /ю)cos wt- Уо sin wt.Возведя каждое из этих уравнений в квадрат и сложив друг с другом,получиму2 + (у/ю} 2 =у~+ (у 0 /ю) 2 = const.В координатах у, у/со мы получили уравнение окружности (рис.288).Колебательное движение упругой системы с одной степеньюсвободы при отсутствии возмущающей силы называется г ар м он и ч е с к и м к о л е б а н и е м и изображается в координатахt,у синусоидальной кривой (рис.§ 3.289).Вьmуждевиые упруrие RОJiебаиияЕсли на массу действует возмущающая сила, изменяющаяся вовременипогармоническомуРзакону(t) =Р0sin '1\'t,где Р 0 - амnлитуда возмущающей силы; ~-ее частота, то уравнение движения массы будеттy+cy=P 0 sin..pt.270(13.5)Частное решение этого уравнения можно искать в виде:У= У sin'фt.Подставив(13.6)в уравнение(13.5)(13.6)и сократив наsin"фt, получим:-m'ф 2 У +сУ =РоиУ= Ро/(m'Ф2 - с)=гдеro 2=с/т-P0 /(m ('ф 2 - ro 2 )],квадрат частоты собственных колебаний системы.Движение по законуУ= т('!;:~оо~) siп'фtназываетсяв ы н у ж д е н н ы м и(13.7)к о л е б а н и я м исистемы.Амплитуда этих колебанийА=Po!(m ('ф2 - ro 2)] (13.8) Amпри 'ф > ro иРоА= Ро/[т (ro 1 - 'ф1 )]при 'ф< ro.амплитудыбанийты'фвГрафикизменениявынужденныхзависимостиколеот часто1j> показан на рис.
290. При=roамплитуда устремляетсяв бесконечность. Случайства 'Ф=roравенРис.соответствует резо290нансу. При переходе через ре·зонанс скачкообразно меняется фаза вынужденныхвеличину:rt, так как при 'Ф< roколебаний наУ=- т (oo:-'f2) siп 'ф/ = т (оо~~'\1 2) siп ('фt + n) =А siп ('фt + n).При 'Ф< ro движениепроисходит в направлениях, противоположных направлениям силы Р.§ 4.ЯВJiевве резовавсаУвеличение амплитуды колебаний при резонансе до бесконечности является, конечно, абстракцией.
В действительности всегдаимеются факторы, ограничивающие величину амплитуды, в частности внутреннее трение материала (см.§ 15).Однако и в идеальноупругой системе бесконечное значение амплитуды достигается лишьnосле бесконечного периода «раскачивания колебаний». Для тогочтобы внести ясность в этот вопрос, рассмотрим уравнение (13.5)при 'Ф=ro:mjj +су= Ро sin rot.(13.9)271ПоскОJiьку ~ равно частоте собственных колебаний системы,частное решение здесь надо искать в виде:у=Подставляя его в(13.9),kt sin oot.nOJiyчaeмmk (- oo1 t sin шt + 2оо sin oot) + ckt sin шt = Р 0 sin шt;2mkoo sin oot = Р0 sin шt; k = P 0/(2mooJ.Таким образом,У=-2Ро-тшt sш. ооt =Ро t sш.2 ..rrтешt.График этого движения показам на рис.291.колебанийбезгранично возрастаяпостепенно увеличивается,Мы видим, что размахвовремени по линейному закону.1Чsin ~5tРис.1'fcos ~5t sin ~5t291Нечто подобное получаем и в случаях, когда частота возмущающей силы мало отличается от частоты собственных колебаний системы.
Если принять, что при= О масса находилась в равновесном неотклоненном состоянии, то чтобы удовлетворить начальнымtусловиям, следует добавить к частному решениюшение (13.2):(13.7)у= т(:~ ш•) sin ~~ + cl sin oot +с. cos шt.Постоянные С 1 и С2 находим из условийу (О)= С1 =О; у (О)= ооС1 +т(~~ ш•> О,откуда272общее реВыражение, стоящее в скобках, можно преобразовать следующимобразом:+ ('Ф- ro) sin rot =+ ('Ф- ro) sin rot.ro sin '\j)t- 'Ф sin rot = ro (sin '\j)t- sin rot)= 2ro cos [(ro 'Ф) t/2] sin [('Ф- ro) t/2]+- roПри малой разности 'Фпоследним членом можно пренебречь,+а правый член дает колебания с частотой (ro-ф)/2 :::::::'фи с амплитудой, медленно изменяющейся по закону sin [('Ф- ro) t/2] (рис.
292).Таким образом, размах колебаний здесь будет периодически медленно возрастать и убывать с максимальным значением амплитуды.соответствующим формуле(13.8).Такой вид колебаний называетсяб и е н и я м и.Колеб8.1111J1 под действием мrвовеииоrо импуJIЬсаи при мrвовеииом прИJiожеиии пocтoJIIDioй cИJIЬI§ 5.Пусть в начальный момент времени к массе был приложен мгновенный импульс/, представляющий собой произведение бесконечнобольшой силы Р на бесконечно малое время ее действия !::.t, причемсама величина импульса является конечной. Эrот импульс будетравен количеству движения массы в начальный момент времениту (0).
Отсюда следует, чтоу (О)=Если масса до момента времениt/fm.=О находилась в покое, то имеемначальные условия:у (О)= О; у (О)=1/m.Подставляя сюда общее решение уравнения движения неиагруженной системы(13.2),получаему (О)= С2 =О; у (О)= roC1 = l/m; С1 = /f(mro) = lfvmc; Сэ =О,и уравнение колебаний будет (рис.293):у= (lfymё) sin rot.Аu4плитуда здесь равнаА= I[Vfiiё.В случае мгновенного приложения постоянной силы Р получаемрешение уравнения (13.1) при Рconst:=у= С1 sin rot+ С2 cos rot + Pfc.При начальных условиях у (О)= у (О) =ОС1=О; С2=Р!сиу= (Р!с)(1 - cos rot).График этого движения показав на рис. 294. Колебания эдесь происходят от нулевого перемещения до максимального 2Р/с, равного273удвоенному статическому перемещению от силы Р.
Таким образом,лри мгновенном приложенииРис.постояннойнагрузкирасчетные де-Рис.29'129Jформации и напряжения в системе следует удваивать по сравнениюсо случаем медленного нагружения той же нагрузкой.§ 6.Движение упруrой системы под действием свлы,меВJПОщейся по произволькому законуВ общем случае частное решение уравнения1у*=-t\тю~(13.1)имеет вид:P(т)sinw(t-т)dт.(13.10)Его можно получить методом вариации произвольных постоянныхЛагранжа, но мы докажем справедливость этого решения подстановкой в исходное дифференциальное уравнениецируя,(13.1).Дифференполучаему*=_!_тt.r1 р (т) cos(J)(t- т) dт;оу*=- _(J)_тtJr р (т) sin(J)(t- т) dт + (1/m) р (t)ои после подстановки в(13.1)tту*+ су*=- w ~ Р (т) sin w (t- т)+ Р (t) +оt+ ~ SР (т) sin w (t- т) dт = Р (t).тюоЧастное решение (13.10) обладает тем свойством, что при-оно и его первая производная пообращаются в нуль.tl=ОПолное решение уравнения движения упругой системы с однойстепенью свободы будетtу= Уо cos wt + ~ sin wt + ~ю .\ Р (т) sin w (t- т) dт.о274§ 7.Движение упругой системы с ховечвым ЧИСJIОМстепеней свободыВ системе, имеющей n степеней свободы, выделим n линейнонезависимых параметров перемещений: у 1 , у 2 , ••.
, Уп· Нагрузкубудем считать разложенной по направлениям этих перемещений,а составляющие ее обоаначим Р 1 , Р 2 , ••• , Pn. Перемещениям у 1сопротивляются силы инерции -т 1 ij 1 , где т 1 величина массы,участвующей в перемещении у;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
