Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 41
Текст из файла (страница 41)
274). В линейной стадии работы материала имеем зависипостояннойс= constnput>?:мостьо (t)где't -= еЧ' (t,'t'),момент времени, когдамгноовенно была произв~дена деформацияtе, остающаяся затем постоянной.Если деформация образца меняетсяподеформациизаданномузакону,зуясь принципомто,наложения,Рис.274поль-совершенноаналогичнотому,какэто было сделано для закона ползучести при переменной нагрузке, можно получить формулуо (t) =е (t),st'1' (t, t)- е (О) '1' (t,О)-е (т)дЧ' (t Т)ат'dт.оПолагая е (О)=О и Ч'(t, t)=Ео(/)= Е (t) е (t)-(t),приходим к выражениюtSе (т) дЧ' g; т) d't'оили, обозначая_1_ = дЧ' (t, т)=Е (t)дтR (t')'t 'к формуле(12.10)Нетрудно видеть, что выражение (12.10) является решением уравнения (12. 7) относительно о (t) при заданной функции е (t). Функция R (t, т) называется р е з о л ь в е н т о й интегрального уравнения (12.7) с ядром К (t, т).Для материала, инвариантного во времени, функция релаксации'1' зависиттолько от аргументаt - т.При этомачr ~-'t) = - Ч'' (t- 't') = ER (t- т)255и вместо(12.10)r.олучаемcr(t)=Е [е(/)-~ е (fJ R (t -т) dт].Между резольвентойR (t,т) иядром Ккоторое можно выявить,ние(12.7):(12.10)в формулусуществует опре(t, •)деленное соотношение,подставив выражеtК (t, t}-R (t, т)=~ R (qJ, т) К (t, qJ) dqJ.'tИз этого интегрального уравнения можно найти резольвенту позаданному ядруили, наоборот, ядро по резольвенте,численные методы прикладной м_атематики.§ 5.используяЭ:ксповевциальное ядроОдним из наиболее простых ядер является экспоненциальноеядро,пригодное во многих случаях дляописанияпроцессов ползучести в материалах с неизменяющимися свойствами во времениK(t,т)=Ае-аU-1:),(12.11)Данное ядро можно представить в виде:КПодставим ядро(t,(12.1 1) _вт)= Ае-<и еа1:.уравнение(12.8)и напишем также этопоПолучимt.же уравнение, продифференцированное один раз.системы уравнений:1Ев= cr+ Ae-at ~ cr (т) еа1: d-r;оЕё = <1-tAae-at ~ cr (т) еа1: dт + Acr.оИсключив из этих уравненийtчлен ~ cr (т) e'.J.'td•, получимо(12.12)Это уравнение можно решить относительноcr,пользуясь известными методами решения линейных дифференциальных уравненийnервого порядка.
Получимtcr = Ce-<a+A>t+ ~ [аЕе (т)+ Её (•)] е-<а+ А> <t-т> dт,(12.13)(1rде С-условия256произвольнаяпостоянная,определяемаяизначальногокоторое даетС= <Jo.От производной t (т) в подынтегральном выраженииизбавиться,можно(12.13)произведя интегрирование части этого выражениячастям:<Jпо= croe-<cz+A>t +Ее (t)- Ее (О) ,_-<cz+A>t +t+~Ее (т) (а -а- А) ,_-<cz+AHt-"t) dт,оили, упрощая и полагая е (О)О, приходим к выражению=tах> = ~ ,_-<cz+A)t +е (t)- ~ е (т) Ar<cz+AHt-"t) dт.tЕсли в начальный момент = О не было приложено никаких напряжений (cr0 = 0), то получим окончательноtа (t)/E =е (t)- ~е (т) R (t -т) dт,огдеR (l- т)= Ar<cz+AHt-t>.Таким образом, резольвента эдесь также получается экспоненциальной.•Дифференциальное уравнение(12.12)можно предотавять в виде(12.14)где Н-длительный модуль упругости, соответствуЮщий оченьмедленным процессам деформирования, когда скоростями измене-ния деформации и напряжения е" и а можно пренебречь по сравнению с остальными членами уравнения(12.14).При очень быстрыхпроцессах деформирования, наоборот, можно пренебречь членами,содержащими е и cr, тогда получаем связь между скоростями деформации и напряжения в виде закона Гука о мгновенным модулемупругости Е.Величина n характеризует скорость затухания напряжения придеформации е = О и поэтому называется временем релаксации(см.
ниже).Сравнивая выражения (12.12) и (12.14), получаемН=аЕ/(а+А);n= 1/(а+А); a=H/(nE); A=(E-H)/(nE).При помощи дифференциального уравнения(12.14)задачи, связанные с ползучестью материала, решаются проще, чем при помощиинтегральногонаследственногоуравненияоэкспоненциальнымядром.9Л. Р. Ржапвцыв257§ 6. Некоторые частные случаи нагружения=Мгновенное приложение постоянной нагрузки аconst в мовремени 't приводит к известной нам функции ползучестиФ (t, 't) (12.2). Если же нагрузка прекращает свое действие в момент времени 't 1, то деформации после этого продолжают менятьсясогласно формулементт,~(t)=d~ K(t, т)dт.(12.15)тт,в (t) =а lim ~ К (t, 1:) d1: = аК (t, т) d't.(12.16)tt-+'t "СДеформации последействия (12.16} бесконечно малы по сравнению G размером скачка деформаций а/[Е (t}]. В момент разгрузкиt = 1:1=т формула(12.16)даетв (т)= аК(1:,т)d1:.(При наличии особенности ядра К (t, 't) величина К ('t, т) равна бесконечности, однако, будучи умножена на d't, она остается бесконечно малой, так как особенность ядра слабая, и обратная величина К (t, 't)-1 при t-+ 't стремится к нулю медленнее, чем't).При действии мгновенного конечного импульса 1 (а= 1ldt)скачки в деформациях будут бесконечно большими (в пределахприменимости линейной теории ползучести), а последействие(12.16)- конечным:t-е(1:) = 1К (t, 't).(12.17)Из формуЛБI (12.17) видно, что ядро К (t, т) физически представляет собой закон изменения деформаций во времени t от действияединичного мгновенного импульса 11, приложеиного в момент=времени т.258§ 7.
Модели структуры матервалаНаглядное представление о механизме ползучести и релаксациидают упрощенные модели структуры многокомпонентного материала,представляющие собой комбинации различным образом соединенных между собой элементарных упругих и вязких элементов. У пругому элементу (рис. 276) приписывается зависимость Гука междудеформациями еу и напряжениями оу:By=aJE,где Е--коэqкрициентfупругостиtdфtotdtd~ оРис278Рис.277элемента.YfУ28~о~d~dPuc.276Рис.279Рис.280+dPuc.2QfВязкому элементу (рис.
277) приписывается способность деформироваться с определенной скоростью ев, пропорциональной напряжениюввязкомэлементе..е =а.. ;К,где К-- коэqкрициент вязкости вязкого элемента.Простейшие комбинации из одного упругого и одного вязкогоэлемента описывают так называемое тело Максвелла при последовательном соединении элементов (рис.
278) и тело Фойrта при параллельном соединении (рис. 279).L{ля последовательного соединения элементов можно составитьследующую систему уравнений:о=Кев; а=Ееу; е=еу+ев.Исключив отсюда еу и ев, получимa+na=Ke,(12.18)=где nК /Е-- коэqкрициент, измеряемый в единицах времени иназванный Максвеллом врем е н е м ре л а к с а ц и и.Для параллельного соединения элементов система уравненийбудет9*259Исключив nеременвые ау и а8 ,nолучима=Ев+Кё.(12.19)Не останавливаясь подробно на анализе условий деформирования простейших моделей, составленных из двух элементов, заметим только, что они не nолностью соответствуют ·реальным материалам, обладающим свойством ползучести.
Так, например, уравнение (12.18) дает постоянную скорость деформаций при постоянном напряжении, что является весьма частным случаем деформирования. Уравнениене описывает явление релаксации наnря(12.19)жений при постоянной деформации в=const.Обобщая модели Максвелл.а и Фойrта, рассмотрим схемы, представленные на рис. 280 и 281. Для схемы (рис. 280) система уравне·ний движения имеет вид:88= Ву 2 ;Кё. = а8 ;o;z = Oyt =а;eyl + eyz =е;Е1еу1 =а.+)(12.20)ayl;Е2еу 2 = ayz·Цифрами в индексах обозначены величины, относящиеся к п1рвомуи второму упругим элементам.
Не составляет труда исключить изуравнения (12.20) величины е., еу 1 , eyz. 0 8 , ау1 , Oyz. Остается одноуравнениеЕtКв+ EtEze =Ка+ (EtДля схемы (рис.282)+ Ez) о.(12.21)система уравнений будетОв = Oyz:Кв. :::::z о.;а= а.+ O'yt;Е 1еу1е= Ву 1= 88 += ayl;Е 2еу 2 = Оу 2 •еу 2 ;После исключения величин с индексами получаемК (Е1 +Е2) ё+ Е1Е2е =Ка+ Е2а.(12.22)Уравнения (12.21) и (12.22) идентичны с точностью до значенийпостоянных коэффициентов. Обоим им можно придать вид:Епё+ Не=niJ+a,(12.23)с которым мы уже встречались при преобразовании наследственногоуравнения с экспоненциальным ядром (12.11).Для схемы (рис. 281) значения коэффициентов уравнения(12.23)равныЕ= Et; Н=а для схемы (рис.EtE2t(Et +n = Kt(Et +Е2),282)Е=Е1+Е2;УравнениеЕ2);(12.23)H=Et; n=K/E2.во многих случаях оказывается вполне приемлемым для описания явлений ползучести и релаксации.260Переходя к более сложным моделям, например, таким, как изображенная на рис.
282, мы придем и к более сложным дифференциальным зависимостям между нагрузкой и перемещением. Самосоставление этих дифференциальных зависимостей не представляетособых затруднений и може1 быть произведено хорошо разработанными методами, подобными методам расчета электрических цепей,применяемым в электротехнике. Общая форма зависимости деформаций от нагрузок в моделях, составленных из упругих и вязкихэлементов,имеет вид:щБез(k)+ ...
+ А;е= Воо+ в~а+В~а+ ... +В"'о. (12.24)ограничения общности можно положить 8 0 = 1. ПорядокАог+ А1ё+ Аsёдифференциальнойзависимостиравенчислувязкихэлементов,Рис. 2В1причем два или несколько параллельна или последовательно соединенных вязких элементов (в том числе при посредстве упругихэлементов) (рис. 283) считаются за один элемент.
Дифференциальное уравнение (12.24) можно решать относительно деформаций гили напряжений о; при этом получим интегральное наследственноеуравнение ползучести или релаксации материала. Ядро и резольвента этих интегральных уравнений будут представпять суммуэкспоненциальных функций аргументат:t-n)_ ~к (t ,т-'"'-1С-а.(t-т),1 е'i-=1(n -, R (t ' т) =n~'"'-~i=lD;е-f\.(t-т)'порядок дифференциального уравнения).§ 8.Расчет предварительно вапряжеввойжелезобетоввой КОJJОВВЫВ качестве простой статически неопределимой системы возьмемжелезобетонную колонну,симметрично армированную предварительно напряженной арматурой. Площадь поперечного сечениябетонной части колонны обозначим F6 , площадь сечения арматуры Fa. Считаем, что бетон подчиняется закону линейной ползу-261честиеб (t) = Е 61 сrб (t) + ~ cr6 (т) К (t, т) dт].(12.25)(t) [а арматура работает упруго(12.26)Здесь е 6 , е 1 , cr 6 и cr.
- деформации и напряжения в бетоне и в арматуре; Е.- модуль упругости арматуры; Е 6 (t)- мгновенный модуль упругости бетона, являющийся функцией времени.Пусть разница в длинах бетонной колонны и арматуры до предварительного напряжения последней равнялась !:J., а осевая сила,приложеиная к колонне после ее изготовления, равняется Q. Предварительноенапряжениеосуществлено в моменттая от начала твердения бетона, а сишtвремениQ приложенат1 ,счив момент времени т 2 •Уравнения равновесия и взаимности деформаций здесь будут:F.a.+ F6crб = Q;е.- f\6где(12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
