Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 42
Текст из файла (страница 42)
27)= !:J.fl,l - длина колонны.В качестве лишнего неизвестного возьмем напряжения в арматуреcr1 ,тогда(12.28}(12.25),Подставив это выражение вeiS =или,грузкиполучимF 6 E~ ~Q- F.a. + ~ [Q (т)- F.o. (т)] К (t, т) dт}(t)учитываявремяпредварительногонатяженияивремянаколонны,jе,~ FoE~ (t) [ Q- F,u, + Q 5. К (1, <) dт -F, а,(<) К (1, <) d<].(12.29)Подставим(12.29)вместе а(12.26)во второе уравнение(12.27):l:- ,,i, Н 1+ J. К(/, <)d•]-F,[u,+ j u,K (1, <) d< ]} - q,(t)или0 Е:) + fбi: (t) [ 08(t)+ s0 (т) К (t, Т) dт] =8"t,=~-+ F 6 E~(t)[l+ sK(t, т)dтJ"to262(12.30)Введем обозначения:F 6E~(t) [1+S K(t, т)dт]=р(t);т,K(t .) F 8 E(t)K(t, -r)F 8 Ea' т FбЕб (t) = F 8 E 1 +F6Eб (t) ='fогда уравнениеК(t1)т .'(12.30) можно представить в виде:/(t) [0 8 (t)+ Sа.
(т) К1 (t, т) dт] = ~ + р (t).т,Решив это уравнение относительно а., получимa"(t)=E(t)~~+p(t)- S[4+p(t)]Rt(t,t)d·+t,Предварительно надо найти резольвентуR1(t, t) для ядра К 1 (t, т).Зная о. (t), напряжения и деформации бетона получим из уравнения (12.28) и второго уравнения (12.27) с учетом (12.26).§ 9.Работа батсв из матерва.па, обладающегоШПiейвой ползучестыоИзвестно, что закон плоских сечений является следствием геометрических свойств стержня (большая протяженность по сравнению с размерами поперечного сечения) и не зависит от физическихсвойств материала. Поэтому он будет справедлив и для балки,обладающей свойствами ползучести. На основании закона плоскихсечений имеем8= 'XZ,(12.31)z-где е - продольная деформация; х - кривизна оси балки;расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна.Деформации 8 свяжем с напряжением а законом линейной ползучести:e(t)=E~t)[a(t)+ ~ а(т)К(t, т)dт].(12.32)Изгибающий момент в сечении балкиМ=~ ozdF,(12.33)Fгде интегрирование производится на площади поперечного сечениябалкиF.263zУмножим уравнение (12.32) нащади F.
Получаем с учетом (12.31)ипроинтегрируем по плох) z dF =Е ~t) [J а (t) z~F + ~ ) а (1:) z dF ·К (t,2или,введямомент инерциисеченияJ= ~и учтя1:) d1:Jz2 dFF(12.33),'"(t) Е (t) · J =М (t) +~М (1:) К (t, 1:) dт.оПри малых прогибах можно считать кривизну'Х=-!1.где у"-втораяпроизводпаяотпроrибов у,взятаяпо длинебалки, и тогда будем иметьt-Е (t) Jy" (t) =М (t) +~М (1:) К (t, or) d1:.(12.34)оПри помощи этого уравнения можно определять кривизны балок,а по ним и прогибы при любых заданных законах изменения изгибающих моментов во времени, например, при движущейся по балкенагрузке, когда закон изменения изгибающих моментов в любомзаданном сечении легко определяется по линии влияния моментов.§ 10.Устойчивость стержВJJ при иат~Ч~~И ползучестиЦентральна сжатый прямой стержень из материала, обладающего свойством ползучести, постепенно деформируется в продольном направлении. При 9томмалые случайные прогибы,которыемогут возникнутьот различныхпричин, бу·дут сами по себе постепев •нонаяисчезать, если продольсжимающаяпревыситсиланеопределенногоуровня.
При больших значениях сжимающей силыразного рода случайные от-Рис. 28lfоPiJc. 285tклонения осинияшающими,могутположе-оказатьсяреподобно тому как это имеет место в упругих стержнях. Однако картина потери устойчивости стержнянесколько иной.264стержня отпрямолинейногоздесь будетПри наличии случайного искриВJJения у шарнирно опертогоконцам стержня, сжатого силой Р (рис. 284), изгибающий моментnoв nроизвольнам сечениистержняМ=Ру.Подставив это выражение в интегральное уравнениеполу(12.34),чимt+ ~ Р (t) у (т) К (t,-Е (t) Jy" (t) = Р (t) у (t)т) dт.оПоложиву=- fможноис.ключитьsin (nx!l),переменнуюх,отсчитываемуювдольдлиныстержня, и получить уравнение с одним неизвестным переменнымвременемt:t[n 2E1 ~t)J -P(t)]f-= ~ Р(т)f(т)К(t, т)dт.(12.35)Это однородное интегральное уравнение ВольтеррА теоретическине имеет отличных от нуля решений.
Однако если в момент времени tО прогиб имел некоторое начальное значение 0 , то уравнение (12.35) надо видоизменить следующим образом:=f[n 2E1 ~t) 1-tS Р (т)f (т) К (t,Р (t)] fo-=т) dтi(12.36)-оотогда приt=О будето[n•в 1~0)1Р (О)] fo =S Р (т) f (т) К (t,т) dт,(12.37)-оогде Р (т)<f(т) - пекоторая условная функция, заданная при- оокоторая может быть взята произвольно, но так, чтобывыполнялось равенство (12.37). Эта формула означает условную< < О,'tпредысторию стержня, описывающую его фиктивное поведение домомента изготовления, которое могло бы привести к nоявлtнию начальных прогибов.Уравнение (12.36) уже не яВJJяется интегральным уравнениемВольтерраблагодарябесконечнобольшомунижнемупределуинтегрирования и может иметь отличные от нуля решения. Имеетсяпростое решение этого уравненИ'Я при К=Р(t,т)=К(t-т) и Е(t)=coпst, т.
е. для инвариантного во времени материала и случая=const,когда уравнение(12.36)t(Р 9 /Р- 1)! (t) = ~приобретает вид:f (т) К (t -т) dт,(12.38)-оогде265Это решение имеет вид:f (t) = foeu.Подставив(12.39)в(12.38},(12.39)/0получим после сокращения наt(P 9 /P-1)eu= ~ e~тK(t-т)d"t-00и, произведя замену независимого перемениого по формулеТ=придемкt -б,равенству:со00(Р 9 / Р- 1) е 1· 1= ~ e1·U- 81 К (б) d (б)= е~ 1 ~е-М К (б) dб.ооПосле сокращения на e~t получаем окончательноР 9 /Р- 1 =К* (Л),(12.40)где К* (Л) -одностороннее преобразование Лапласа ядра К (б):К* (Л)=~ К (б) е- 1.е dб.оИз уравнения(12.40)при заданном Р можно найти величину Л.Если эта величина отрицательная, то начальные прогибы fo будутзатухать, согласно (12.39).
При положительном Л начальные прогибы будут безгранично возрастать, т. е. стержень будет терятьустойчивость. Случай ЛО означает безразличное, или критическое, состояние стержня, промежуточное между устойчивым и=неустойчивым состоянием (рис.285).Устойчивость стержня здесьнадо понимать как устойчивость движения, когда начальные возмущенияне увеличиваютсяс течением времени,а остаются менееопределенного уровня.
Значение сжимающей силы Р, при которомЛО, можно назвать п р е д е л о м д л и т е л ь н о й у с т о йч и в о с т и стержня Р д· Из формулы (12.40) следует, что=Р д= Р91[1 +К*(0)].Когда Л становится равным бесконечности, то происходит мгновенная потеря устойчивости стержня. Значение Р при этом равно мгновенному пределу устойчивости стержня:Рм= P 8 /[l +К* (оо)].1§ 11.Кусочио-JiииейВЭJI поJiзучестьСуществует несколько подходов к построениюнелинейных теорийползучести, справедливых при достаточно больших напряжениях.Один из наиболее простых методов - метод кусочио-линейнойаппроксимации. Довольно приближенным, но в целом достаточноудовлетворительным266описаниемпроцессовползучестивширокомдиапазоне напряжений и деформаций будет представление законовползучести в виде разных линейных дифференциальных уравненийна различных стадиях деформирования.
Для материала, инвариантного во времени, могут быть предложены следующие уравнения:1- ястадия деформирования пН ё+ Н е= а + па;(12 .41)2-я стадия деформирования пЕв= а+ па- а"где п,ЕиНвремя-модули упругости;релаксации,мгновенныйи(12.42)длительныйот- некотороезначение напряжения,которое может быть названо пределомтекучести.Первая стадия деформированияявляется линейной и соответствует(12.14).уравнениюнойнагрузкелучаетсяаПрипостоян= constздесь покриваяползучести286,де экспоненты (рис.8 =а [ 1/Ев виа):+ (IJH- 1/Е) e-Ht/!En>].Во второй стадии деформированияпостояннаявызываетнагрузкаа ~ отдеформированиеспостояннойскоростьюё = а/(пЕ)(рис. 286, б).•Границей между первой и второйстадиейляетсядеформированияяв-условиев= 8 1 =От/Н=const.
(12.43)При переходе через этуцу деформацияне8) еоt2tPuc. 286и скорость ее ё8претерпеваютграниразрыва.Можно добавить третью стадию деформирования,описываемуюуравнениемпЕёГраницейслужитмежду(12.44)88 =а+ па- Оп.второi;итретьейстадиейдеформированияравенство"= ~2 =(Оп- ат)!В= const.(12.45)Величина В представляет собой отрицательный модуль упрунеустойчивой стадии деформирования; ап нагости в третьей,пряжение, характеризующее прочность материала и определяющееначало неустойчивого процесса, ведущего к разрушению. В третьей стадии деформированиянагрузке выражается8=криваяползучестиприпостояннойуравнениемL(a- ат) e8 \t.-.t.J/\nE>- (а- au)]!B.(12.46)267где ! 2 (рис.286,моментв).переходавтретьюстадиюдеформированияУравнения (12.41), (12.42) и (12.44) вместе с условиями (12.43)и (12.45), определяющими границы применимости каждого из этихуравнений, позволяют сравнительно просто решать многие задачинелинейной ползучести, хотя отсутствие единого аналитическогозакона для всех стадий деформирования вызывает известные тру дностиврешениях.ГЛАВА ХШДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ§ 1.Динамичес.кие расчеты .конструкцийМногие воздействия на сооружения носят ярко выраженныйдинамическИй характер.
При этих воздействиях сооружения приходят в движение и, хотя перемеще~ия оказываются обычно небольшими,скоростии,главное,ускорениямогутдостигатьвеличин,весьма оnасных для конструкций и для сооружения в целом. К такого рода воздействиям относятся сейсмические толчки, ветровыеnорывы, а также различные динамические воздействия технологического происхождения: движение неуравновешенных частей машинимеханизмов,движение nоездов,кранов ит.
п.Как известно из курса механики, ускоренные или замедленныедвижения масс вызывают инерционные силы, действующие на несущие конструкции так же, как и статические нагрузки. Поэтому задачейдинамическогорасчетасооруженияявляетсяоnределениеинерционных сил, поямяющихся при динамических воздействиях.Особенностью динамических нагрузок ямяется то, что в большинстве случаев они вызывают колебания, причем при периодическом повторении малых динамических воздействий в определенныхусловиях происходи1' накоnление энергии системы,выражающеесяв постепенном увеличении размаха колебаний, а вместе с ним иинтенсивности инерционных сил до очень больших размеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
