Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 38
Текст из файла (страница 38)
243, 6). При=мемначалокоординатпо середине стержня.q = О будетм= cl sin kx+ с2 cos kx.Решение уравненияпри(11.22)Из условия симметрии следует положить С1 =М =С 2О, тогдаcoskxи из граничных условийМ(+f/2)=М0получаемС2cos (kl/2) =Мо;М= М 0cos kx/cos (kl/2).По середине стержняМ (0)=Mmax=Mo/COS(kl/?).Вид зависимости Mmax от силы Р показан на рис.Р=Ркр= л 2 ЕJ//2 ;k/!2 =л/2;244.Приcos (kl/2) =Ои Mmax стремится к бесконечности.
Впрочем, эту бесконечностьнадо понимать впределах малых кривизн стержня,т. е.относи-233тельно малых моментов, так как при больших кривизнах последниене будут равны -у" и дифференциальное уравнениевится(11.22)станонеприменимым.~+Т[it~'~~'о/; р --------Jtl*+--->~'---'--·ft1-М(!/2}Рдс.21fб3OI-:М.:-1of--------:M770).р· ~ п...
.". ~,:,;~ Pvc.2*3рPvc.2lfltPvc.2'15и (n·t) ifl р -------~q,sinт~tРио.2*7~г-----~.ouc.2lft!М·Pvc.2*9Б) Сосредоточенная сила, приложенная по середине шар~tирноопертого сжатого стержня (рис. 245). Взяв начало координат налевом конце стержня, составим граничные условия для левой половины стержня в виде:М (О)= О;Q (l/2) = S/2.Это дает:С2 =О; М'(l/2) = kCt cos (kl/2) = S/2; Ct = Si[2k cos (kl/2)];М=Под силойS sin kx2k cos(kl/2)Sl )SklSltg(klj2)kl/2М ( '.i = Mmax = 2k tg 2 = ТВид зависимостиMmaxВ) Консольныйот Р для этого случая показан на рис.сжатыйраспределенной нагрузкой(11.22) будетм=При х=О имеем М'м(1) ==с2стержень,(рис.247).нагруженныйЗдесьрешениеcl siп kx + с2 cos kx- q/kО, а при хcos kt = q;k 2 ;м = k~ ~: ~-= lс2М=246.равномерноуравнения2•О, отсюда= q/(k 2 cos kt);:2 = 1~ (~: ~ - 1).Момент в заделке.М (О)= Mmax = -q ('k21-1 )cos kl •Г) Сжатый шарнирно опертый стержень, нагруженный синусоидальной нагрузкой (рис.
248). Эrот случай имеет более общее значение, так как любая поперечная нагрузка на шарнирно опертом234стержне может быть разложена в тригонометрический ряд:00q = ~ qn sin (nnx!l),( 11.23)n=Jnричем коэффициенты разложения оnределяются по известной изтеории рядов Фурье формуле1qn = (2/n) ~ q (х) sin (nnxjl) dx.оДля каждого члена разложения в рядрешениеМ"+ k2 Mв(11.23)можно искатьуравнения+ qn sin (nnxf/) =О(11.24)видеМ= МпПосле подстановки вsin (nnxf/).и сокращения на(11.24)sin (nnxll)получаемалгебраическое уравнениеМп(- n9 n 2/l 2+ k + qn =О,2)откуда(11.25)При k = PI(EJ) =О получаем стержень без продольной силы,т.
е. балку. Для нее2Мп= М~ал = qпl2 /(n 2 n 2 ).Используя это обозначение, можно nредставить формулу(11.25)в видем балМп = 1-k21~/(n2л2) =гдеPn=1-Р!Рп'(11.26)n2n 2EJ 112 •Зависимость Мп от Р здесь имеет вид гиперболы, асимптотически устремляющейся в бесконечность при РPn (рис. 249).=Учитывая,что в балке,нагруженной синусоидальной нагрузкой, эпюра моментов также имеет вид синусоидымбал= м~ал sin (nnx/l},умножив обе части формулы(11.26)наsin(плх//}, получимм балМ= 1-Р!Рп(11.27)Так как главную роль в разложении (11.23) обычно играетпервый член, то приближенно формулу (11.27) можно распространить на любую поnеречную нагрузку с преобладающим первым членом разложения в тригонометрический ряд, заменив Pn на Р 1 ==Ре= п2ЕJ ([2;м о алМ= 1-Р/Р;235Эта формула широко применяется в расчетах сжато-изогнутых стержней, где не требуется большая точность. Сnраведливость ее подтверждается видом зависимостей Mmax ог Р, показанных на рис.
244и 246 для рассмотренных выше случаев, в основном nовторяющихрис. 249.§ 14.Аиалоrи.и между сжато-изогнутым стержнеми круговой б8J11СойРассмотрим круговую балку с радиально наnравленными опорами и нагрузкой, действующе~ по направлению к центру балки(рис.250). Дифференциальное уравнениедля моментоввыведемиз рассмотренияравновесия бесконечнов такой балкемалого ее элемента ds (рис. 251). Проерируя силы, действующие на направления касательной и нормали в начальной точке А элемента и отбрасывая величины второго порядка малости, получаем:dN - Q ds/ R = О; dQ + N ds/ R + q ds = О;dN!ds-Q/R =О; dQ/ds+ N!R+q= О.·(11.28)Кроме того, из условия равенства нулю моментов всех сил следуетdM -Qds=O; Q=dMjds.Исключим из(11 .28)поперечную силуQQ=RdN!ds; Rd 2 Njds 2 +N!R+q=0и заметим,что изусловия(11.29)равенства нулю моментов относительноцентра О всех сил, действующих на часть балки, расположеннуюлевее рассматриваемого сечения С (рис.252),M-NR=O; M=NR.Тогда уравнениеследует(11.29) можно представить в видеd2 M/ds11 + MtR 2 +q= О.Сравнив это уравнение с уравнением(11.22)для сжато-изогнутогостержня, находим, что для полного тождества этих уравнений следуетположитьS=X и R=VEJ[P.Граничные условия для круговой балки также совпадают с граничными условиямИ шарнирно опертого сжато-изогнутого стержня.Следовательно, для определения изгибающих моментов в шарнирноопертом ·сжато-изогнутом стержне можно рассчитать соответствующим образом нагруженную круговую балку, искривленную подуге радиуса VEJ IP (рис.
253).Этоможно сделатьпростымграфическимметодом,построивсиловой многоугольник для внешних радиальных сил (рис. 254),определив графически опорные реакции R А и R в и спроектироваврадиус-вектор, проведенный из точки О в точку силового много-236угольника, соответствующую рассматриваемому сечению С, н а наnравлении касательной и нормали к оси балки в данном сечении.Получим продольную N с и поперечную Qc силы в сечении балки.Изгибающий момент поJiучается простым умножением· нор~rальнойсиJiы на радиус R.Если сила Р, сжимающая стержень, равна нулю, то радиуссоответствующей круговой балки Rнечности,=VEJ IP будет· равен бескои мы поJiучаем обычную балку без nродольной силы.ААоРис.250оPuc.Z52рААРис.
251fДруг9й предельный случай получим, если будем увеличивать силу Рдо ее критического значения. При увеличении Р радиус соответствующей круговой балки будет уменьшаться, а центральный yгoJIдуги баJiки l/R увеличиваться. Наконец, настанет момент, когдабалка превратится в полуокружность (рис. 255). По мере приближения балки к полуокружности ее оnорные реакции будут стремитьсяк бесконечности, а сама балка - к изменяемой системе. Это соответствует потере устойчивости стержня, при которой, как следуетиз nриближенной теории сжато-изогнутого стержня, изгибающиемоменты от nоперечной нагрузки также обращаются в бесконеч-ность. Действительно, приl!R =л: получаем: l= nR = nV EJ Jp,что совпадает с эйлеравекой критической длиной шарнирно опертогостержня.237·§ 15.Расчет упруrвх рам ва устойчивостьВ расчетах рам на устойчивость различают ч и с т о с ж а т ы ерамы (по терминологии Н.
В. Карнаухова), все стержни которых работают только на сжатие или на растяжение, и с ж а т о - и з о гн у ты е рамы, в которых стержни работают также на изгиб. Чистосжатые рамы теряют устойчивость аналогично центральна сжатомустержню, т. е. в них не происходит изгиба вплоть до того момента,когда нагрузка достигнет своего критического значения. Расчетсжато-изогнутыхрам аналогиченрасчету сжато-изогнутыхстержней, но осложнен изменением продольных сш1 в некоторых стержнях по мере .изгиба рамы.Для чисто сжатых рам проще всего применять расчет по методуперемещений, который во многом остается таким же, как при обычном расчете рам без учета возможности потери устойчивости.
Здесьвводится та же основная система из стержней, жестко заделанныхпо обеим концам и заделанных одним и шарнирно опертых другимконцом, и затем для введенных связей составляются условия равенства нулю реакций. Неизвестными считаются углы поворота и линейные смещения узлов рамы. Однако при этом формулы для реакций в заделках и опорах стержней основной системы будут инымии выводятся при помощи дифференциального уравнения изгибасжатого стержня, а не простой балки. Поскольку поперечнаянагрузка в стержнях чисто сжатой рамы отсутствует, то канонические уравнения метода перемещений получаются однородными иимеют вид:r11Z1+ r12Z2 +...
+ ГtnZn =О;ГstZl+ Гgglg + ... + Г2 11 Z11 =О;rп1Z1 +Гп2Z2 + ... + r,.,.Z,. =О,где Z; (i = 1, 2, ... , n) - неизвестные угловые и линейные перемещения; 'lf (i, j = 1, 2, ... , n) - коэффициенты метода перемещений,которые зависят от продольных усилий в стержнях; n -число введенных связей в основной системе.Для того чтобы получить отличные от нуля перемещения рамы,следуетприравнятьнулю определитель:rн 'аГ21получитьизэтогоГtn'sz • • • Г2п = ОГп1 Гпsи.· ·•••уравненияГппкритическиеПрактическое значение имеет только одна,ская(11.30)значениянаименьшаянагрузки.критиченагрузка.Решение уравнения (11.30) относительно параметра нагрузкипредставляет собой сложную задачу, если решать ее вручную,238так как этот параметр входит в уравнение в составе сложных трансцендентных выражений.
Однако при помощи ЭВМ и имеющихсяпрограмм такой расчет не вызывает особых затруднений.§ 16. Определение реющий связейОпределим реакции стержня, заделанного двумя концами и нагруженного продольной силой Р (рис. 256), при повороте левойопоры на малый угол Z = 1. Это можно сделать, например, воспользовавшись формулами методаПолагаяУо= О; (\Jo=получаемначальныхпараметров(11.9).1,для правого конца стержняsinv -М 1-cosv0kР-Q0v-sinv _ 0.)kP-,v sin vQ 1-cosvcosv-Mo-pг- оР=0.Рис. 25р(11.31)=(Здесь введено обозначение vkl.)Решая уравнения ( 11.31 ), находим:М0или,=[sinv(l-cosv)-cosv(v-sinv)]/(kP) =!_sinv-vcosv.[(1-cos v) 2- sin v (v- sin v) ]/Р'k 2-2 cosv-v sin v'cos v- 1Q0 = р (1 - cos v) cos v- sfn2 v р2-2cosv-vsinv2-2cosv-vsinv'учитывая,чтоP=k2 EJ;М =Е_0lv(sinv-vcosv) .2 - 2 cos v- v sin v'Q=EJ012v2(cosv-l)•2 - 2 cos v - v sin vНа правом конце стержня получаем из условия равновесияМ =-М -~ l =Е_v2 -vsinvlоlo(o1 2-2 cos v-v sin vАналогично определяются реакции стержня при единичном прогибе на одном конце, а также реакции стержня, шарнирно опертого одним концом и заделанного другим.
Кроме того, при наличии в раме стержней со свободными концами для расчета необходимоиметьзначениемоментавзаделкеконсольногоцентральносжатого стержня при единичном прогибе его свободного конца.Значения всех этих реакций приведены в табл. 10. Функции, приведеиные в этой таблице в несколько измененном виде, табулированычисленно в [3] и [7].§ 17.Устойчивость :круrовой аркиРассмотрим устойчивость двухшарнирной круговой арки постоянного сечения, нагруженной равномерной нагрузкой q, направленной всегда перпендикулярно оси арки (рис. 257, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
