Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При повороте элемент{! происходит сближение точек nриложения продольной силы в направлении оси стержнянавеличинуd~= dx- dx cos q>,где q> - угол поворота элемента. С точностью до величин второгоnорядка малости величина d~ равнаd~:::::::::dx [1 - (1 - q> 2/2+ ...)] : : : : : dx · q> /2::::::::: dx.
у' /2.22Работа продольной силы на протяжении элемента0,5Ру' 2анапротяженииdx равнаdx,всего стержня10,5 ~ Ру' 2 dx.оСледовательно, потенциальная энергия продольных сил равна1U3 = - 0,5 ~ Ру' 2 dx. ·оОчевидно,что это выражение справедливо как припостояннойпо длине стержня, так и при переменной силе Р.Полную потенциальную энергию получаем в виде суммы1U= И 1 +И 2 +Из= 0,5 ~ (EJy" 2 - Ру' 2 - qy) dx.(11.3)оВ состояниях равновесия эта энергия должна быть минимальной или максимальной (экстремальной).Условие экстремумафункцианалавида1~ '1' (у, у', у") dxо220выводитсяввариационномд'Уисчисленииd ( dЧ' )7fii - dX ду'd2+ dx2ивыражается( д2'1' 'ду2 )равенством= О.В нашем случае'1' = EJy"2- Ру'2- qy;этоусловиедает- q+ (Ру')'+ (EJy")"т.
е. ранее выведенное уравнение§=О,(11.2).З. Ивтеrрироваиие уравневив устойчивостиупругого сжатого стержВJJБудем считать сечение стержня постоянным по всей его длине,а продольную силу nриложенной целиком на его торце, так чтозначение ее Р будет также постоянным по длине стержня. Приэтом уравнение(11.2)примет видEJyiv +Ру" =q.(11.4)Полный интеграл этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами равену= С 1где k=sin kx+ С 2 cos kx+ СзХ+ С~+ у*,(11.5)У Р /(EJ).Для проверки достаточно подставить решение (11.5) в уравнение (11.4).
Произвольвые постоянные С1 , С2 , Са и С 4 тогда исчезнут и останется одно частное решение у*, которое можно находитьразными способами, например методом неопределенных ко~ффициентов или более общим методом вариации произвольных nостоянных.Условиями для определения постоянных С 1 , С2 , С 3 и С 4 могутбыть следующие:1) начальные условия, т. е. заданные зависимости между значениями функции у и ее производных при хО;2) граничные условия, т.
е. зависимости между значениями=функции у и ее производных на одном и на другом концах стержня;3). условия замкнутости, связывающие между собой значенияфункции у и ее производных на одном конце со значениями функцииуиее4}производныхусловиянадругомсопряжения,конце стержня;связывающиезначенияфункцииу1и ее производных на конце одного участка стержня со значениямифункции у 2 и ее производных на присоединенном конце другогоучастка5)стержня;интегральные условия, при которых задается значениеинтеграла, взятого по длине стержня от векоторого выражения, в которое входит функция у и ее производные.Всего для определения четырех постоянных С 1 , С2 , Са и С 4надо иметь четыре независимых друг от друга условия.221Начальные ycлoвRJI§ 4.Начальные условия являются составной частью граничных ус.ловий и, кроме того, играют основную роль в м е т о д е н а ч а л ьн ы х п а р а м е т р о в, весьма эффективном при расчете многихсистем на устойчивость.Рассмотрим общее решение уравнения(11.4)без правой части,а также первые три производные от этого решения:у= С1у'=sin kx+ С 2 cos kx+ С 3х+ С,;C1 k cos kx- C2 k sin kx+ С 3 ;у"=- C1 k2у"'=При х=sin kx- C2 k2 cos kx;k cos kx+ C2 k3 sin kx.C1 3О получаем:+ С4 ; J+ С3 ;у (0) = Уо = С2у' (О)= у~= kC1y"(O)=y;=-C 2 k2 ;у"' (О)= у~--=- C1 k 3 •Определим ИЗ уравнений(11.6)C~=-y~')k 3 ;Тогда общеепостоянные(11.6)•cl, с2.
Сз и С4:C2=-y;;k Сз=У~+у~"!k 2 ; C 4 =Yo+Y~')k 2 •решение (11.5) может быть представлено в видеу=(- y;;k3 )2;sin kx- y;/k 2 cos kx+ (у~+ y~/k 2 ) х+ Уо+ y~jk 2 ,илиу= Уо+ у~х+ у~(1- cos kx)/k 2 +Величины у0 , у~. у~ и у~" называютсяу~..(kx- sin kx)fk 3 •н а ч а л ь н ы м и(11. 7)п а р ам е т р а м и. Функции:1;х;(1-coskx)fk2и(kx-sinkx)fk 3являются линейно независимыми и называютсяК о ш иуравнения(11.4).собой уравнение кривойодногоначальногоф у н к ц и я м иКаждая из этих функций представляетизгиба стержняпараметраинулюпри равенстве единицеостальныхтрехначальныхпараметров.Дифференцируя(11.7),получаем:у'= ь~+ у~ (sinkx)!k+ у~· (1- cos kx)jk2 ;у"= у; cos kx+ у~..
(sin kx)jk;у"'=- y;k sin kx+ у;· cos kx.1(11.8)Если все начальные параметры равны нулю, то при любом значении х левые части уравнений (11.7) и (11.8) равны нулю.Часто в качестве начальных параметров берут величиныУо; <р~=у;,;222Mo=-EJy;;Qo=-EJy~·,где q> 0 , М 0 иQ0значения угла поворота q> сечения стержня,-изгибающего момента М и nоnеречной силы Q в начальном сечениистержня. Прн этом уравнения (11.7) и (11.8) nринимают вид:у= Yn+ ({)оХ- Моq> = q>0 - М 0 (kМ= М 0(1- cos kx)!P- Qo (kx- sin kx);(kP);sin kx)!P- Q0 (1- cos kx)!P;cos kx+ Q0 (sin kx)fk;Q= - M 0 k sin kx+ Q0 cos kx.ПоперечнаясилаQздесь считаетсянаправленнойпо нормалик изогнутой оси стержня.Часто бывает целесообразным введение иной nоnеречной силы,представляющей собой сумму nроекции всех сил, расnоложенныхпооднусторонуотрассматриваемогосечениястержня,наось,перпендикулярную первоначальной, неискривленной оси стержня.Обозначим такую nоnеречную силу Q.
Для того чтобы nерейтиот силы Q к силе Q, необходимо добавить проекцию продольнойсжимающей силы N на nлоскость, перпендикулярную осирис. 235). При малых прогибах у nолучаем(см.Q=Q-Ny' =Q- Ру'и,следовательно,ЧерезQ= - EJy"'- Ру'; Q0 = - EJy;·- Ру~.начальные параметры у0 , q> 0 , М 0 и Q0 прогиби его производные выражаются следующим образом:у= Уо+ q>0sin kx!k- М 0 (1- cos kx)!P- Q0 (kx- sin kx)f(kP);q> = q:>0 cos kx- М 0 k sin kx!P- Qo (1- cos kx)tP;М= q> 0 kEJ sin kx+ М 0 cos kx+ Q0 sin kxfk;Q=M' -Рчо=Qо.Последнее равенство указывает на то, чтоQ(11.9)nостоянна по всейдлине стержня, как и должно быть при отсутствии поперечной нагрузкиq.§ 5.Граиичиые yCJIOBIШДля простых случаев опирания конца стержня граничные условия (по два на каждом его конце) имеют следующий вид (табл.9).В общем случае надо различать консервативные и неконсервативные граничные условия.
В случае, если опорное устройство представляет собой линейно деформируемую консервативную систему,связь между статическими параметрами М иQикинематическимиnараметрами у и <р на конце стержня должна иметь вид:-М= ctq> +уу; Q= у<р +~у.(11.1 О)223ТаблицарМ=Оу=О;Шарнирное~J;9илиоnираниеу=О;у"=Оу=О;у'=Ор~J?kПолная заделкар-агр~::::.::._:.:у=О;ПодвижнаяQ=Oил нзаделкау'"= оу=О;М=О;Q=OСвободный конеци,, и-EJy"' -Ру' =0у"=О;рУпругое оnираиие-EJy'"- Ру'- ~у=ОМ=-СЩJу=О;Уnругая заделкаилиу=О;.Qилиу"=О;т-М иQ=~YМ=О;~L-EJy"+a..y'=Oявляются обобщенными усилиями, соответствующимиt:p и у, так как потенциальная энергия опорногоперемещениям·устройстваИ 00 =0,5(-Mt:p+Qy)(положительные направления величин М,Q,у иt:p показаны нарис.
237).Поскольку-М= дU00 /дt:р;Q= дU оn/ду,то должно бытьд 2 U оп/(дt:рду)= - дМ/ду = д 2 U оп/(дудt:р) = дQ/дt:р,т, е. матрица коэффициентов правой части уравненийбыть симметричной.Подставляя в(11.1 О)должна(11.1 О) выражения для t:p, М и Q через у, получим1·раничные условия в виде:if =ау' +су;ун' =-(с+ k2 ) у'- Ьу,rдеa=a.f(EJ); c=y!(EJ);-224b=~/(EJ);k 2 =P!(EJ).(11.11)Например, для упругой опоры стержня имеемМ= О;=Здесь аQ=~у;или у"= О; у'" =-k2 y'- Ьу.=уО и условие симметрии коэффициентов уравненийвыполняется.В некоторых опорных устройствах сжимающая сила Р при пере(11.10)мещенииточкуконцастержняприложения.изменяетсяпонаправлениюилименяет~ислучаи эквивалентны упру-го-податливымопираниямконца стержня,нагружен-ного сжимающей силой постояиного направления и с:.t.:.--=-01-----~::::.,iпостоянной точкой прило-жения к концевому сечениюх'i<-t-iо;::::---тr-;;;-Мстержня.Действительно, изменение направления силы Рравносильно добавлению кней векторанойРис.237попереч-Q-силы, а перемещениеPuc.2J8точки приложения силы Рв перпендикулярном оси стержня направлении равносильно добавлению опорного момента М.
При малых деформациях можно считать, что добавочные силыQиМ линейно зависят от перемещений конца стержня у и <р. В общем случае эта зависимость будет иметь вид (11 . 10).Например, в случае силы Р, направленноil: всегда в одну точку А, лежащуюна оси стержня (рис.238),получаем граничные условияOo=Puofc; Мо=О.Положив Р!с 7 ~.
придем к условиям упругого опирания конца стержня наопору жесткостью ~-§ 6.Определение критических сил по rpaiiiiЧIIЬIM yCJIOBIIJIМв цевтра.пьио сжатом упруrом стержнеРассмотрим наиболее простой случай граничных условий, соответствующий так называемому основному эйлеравекому случаюцентральна сжатого стержня (рис. 239, а):при х=О иx=-lу=у"=О.(11.12)Опирание по концам стержня здесь шарнирное без внешних моментов М 0 и без поперечной нагрузки q.Составим общее решение уравнения сжатого стержня (11.5) ивторуюу= С18производнуюотэтогорешения:sin kx+C 2 cos kx+ С 3х+С,;А. Р.
Ржакицыну"=-C1 k2 sinkx-C 2 k~ cos kx22511подставим эти выражения в граничные условияпри х=Оnри(11.12):у=С2+С4 =0; y"=-C 2 k2 =0;]у · Clsinkl+C2coskl+Cзl+C4 =0;x=lу"=- C1 k2(11.13)sin kl- C 2 k~ cos kl =О.cl,Мы получили четыре уравнения с четырьмя неизвестными:с2,Са и С,. В правых частях этих уравнений стоят нули. Такая системауравнений имеет нулевое решение С 1 = С2 = Са = С, = О, соответствующее отсутствию прогибов и сохранению стержнем прямолинейного положения.
Это решение называется тривиальным.Однако система уравнения (11.13) может иметь и отличные отнуля решения, если определитель ее будет равен нулю:оо-k2оsin klcos kl- k~ sin kl - k2 cos klD=оо1о=0.оРаскладывая определитель по элементам второй строки, получаемоD=-k2"l 1 =-k2 lsinkl=0.ОООтсюда следует,о}а)sinkl- k2 sin klочто отличныеот нуля решения будут приЛ=fsinkl=O; kl=nл; k== VP!(EJ)= nлjl;P=n 2 л 2 EJ/l 2 ,(11.14)гдеnМылюбое целое число.получилибесконечноечисло значений силы Р, при которых возможны неиулевые прогибыстержня.называютсямиЭтизначенияк р и т и ч е с к исжимающими-сил а м и.Рис.239Изложенный метод нахождения критических сил применим ипри иных, более сложных граничных условиях.
Однако после раскрытия определителя обычно получается сложное трансцендентноеуравнение, которое надо решать численным способом. Качественная картина при этом остается такой же, а именно: в результатерешения получается бесчисленное количество действительных корней для kl, а следовательно. и для Р.226§ 7.Формы потери устойчивости сжатоrо стержв.sПодставим в уравнение ( 11.13) для определения произвольныхпостоянных С 1 , С2 , С3 , С4 значения корней детерминантного уравнения(11.14):kl = пл; k = пл;L;С2+С4 =О;-C2 n 2 л 2 /l 2 =О;С~·О+С2(-1)п+Сзl+С4 =0;-с\ (n 2 л 2 jl 2 ). о- с2 (n 2 л 2 jl 2 ) ( -l)n =о.Определитель этой системы уравнений равен нулю. Следовательно,некоторые значения.
неизвестных здесь можно выбрать произвольно, а остальные выразить через них. В данном случае произвольнойможет быть велJJчина С 1 , а остальные постоянные обращаютсяв нуль. Таким образом, неиулевое решение уравнения для прогибову=cl sin kx = cl sin (nлxjl).Это решение дает ф о р м ып о т е р иу с т о й ч и в о с т ис т е р ж н я (см. рис. 239, 6), соответствующие критическим силамPn =n 2 л 2EJ 11 2•По аналогии с системами с конечным числом степеней свободызаключаем,что при переходе через первую критическую силур=Pt =л2ЕJ/[2стержень получает возможность искрив.п..яться по первой формепотери устойчивости, при переходе через вторую критическуюсилу- по первой и второй формам и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
