Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

8 приведены значения отношения WnлiW для некоторыхпростых форм сечения при cr~а;. Легко заметить, что это отно­=шение тем больше, чем больше материала сконцентрировано вблизисередины высоты, т. е.чем менее выгодно распределение материалапо сечению с точки зрения обычного сопротивления материалов.§ 14.Предельное равновесие статическинеопределимых бuокПокажем применекие кинематического и статического методовк расчету неразрезных балок по стадии предельного равновесия.Возьмем сначала кинематический метод, основанный на рассмотре­нии возможных схем деформирования жестко-пластической балки.Для балки, изображенной на рис. 211, а, требуется рассмотретьтолько одну схему деформирования, так как ясно,текучестидолжнывозникнутьнад опорамиивчто шарнирысерединахпроле­тав- под сосредоточенными силами.

Следовательно, форма дефор­мирования будет иметь вид, показанный на рис. 211, б.Вместо составления уравнений равновесия для этой формы де­формирования определим величину предельной нагрузки из усло­вия равенства нулю работы всех сил на перемещениях системы.Положим смещение груза Р в вертикальном направлении равнымединице;тогдауглыповоротавшарнирах'ljJ =-+- 2;(//2) =.:.!.:. 4jl.193текучесrиУравнение равенства нулю возможной работы будет2P 11 p·l=2Мт·4/l+Мт·4//.(9 .16)Первый член в правой части относится к пролетным шарнирам те­кучести, второй-к опорным.Из уравнения (9.16) полу-а)·рРчаемПрименим теперь к той жебалке статический метод оп­ределения предельной нагруз­ки, основанный на отыска­нии наивыгоднейших состоя­ний самонЕ!пряжений, добав­ляемыхкженномуосновномусостоянию,вешиваемомунапря­l/2уравно­заданнойна­грузкой.Примем за основную систему разрезную балку с шар·t/2l/2Puc.2ftа)ррниром на опоре (рис.

212, а).Эпюра моментов в основнойс~стеме для единичной на­грузки Р1 показана нарис. 212, 6, а для состояния=самонапряжения,лишнимнымвызванногонеизвестным- опор--моментом,нарис.6)в. Состояние самонапря­жения, будучи прибавлено к212,напряженномуосновнойсостояниюсистеме,вувеличи-вает по абсолютной величинеz1'/опорный момент и уменьшаетпролетные моменты. Наиболее выгодным б у дет такое со­стояние балки, при которомзначениеравноопорногозначениюмоментаPuc.2!2пролетногомомента (рис. 212, г). Это значение будем называть в ы р а в н е н­н ы м м о м е н т о м и обозначать М в; его можно определить изуравненияоткудаM 8 =l/6.Этот момент соответствует единичной нагрузке.

Для того чтобынеоб·выравненный момент стал равен предельному моменту Мт,199·ходимо нагрузку увеличить в отношении Мт/М 8 • Таким образом,получаемпредельное значениенагрузкиРпр= 1·Mr!M.=6Mrfl·Оба метода- кинематический и статический- применительнок расчету неразрезных балок могут быть несколько развиты.В первом методе затруднение может вызвать определение вер­тикальных перемещений и углов поворота в шарнирах текучести.Здесь можно воспользоваться аналогией зависимостей малых вер­тикальных перемещений от кривизны оси балки и изгибающих мо­ментов от нагрузки *:х= -у" иq=- М".В пределе эта аналогия позволяет заменить углы перелома фик­тивными сосредоточенными силами и находить вертикальные пере-!J(!t1tьJt -,~<--=-{]--,1<--=6;..------,t<tРис.2!4Рис.213мещения по заданным углам перелома обычными методами определе­ния изгибающих моментов по сосредоточенным силам.

Так, напри­мер, при единичном угле перелома в nроизвольной точке однопро­летной балки (рис.213,а) перемещение в точке переломаYmax= 1 · ab/l,а углы поворота оси на опорах Ьll и a!l.Это вполне соответствует значению максимального изгибающегомомента в сечении под единичной сосредоточенной силой М т ах == аЬ!l и опорным реакциям от той же силы Ьll и ail (рис. 213, 6).Рассмотрим случай равномерно распределенной нагрузки в од­ном пролете двухпролетной балки (рис. 214, а). Мы не знаем зара­нее,где образуетсявторой шарнир текучестивпролете балки,поэтому обозначим расстояние до него от левой опоры через х.• Данная аналогия является следствием nринципа двойственности статиче­сю! х 11 r.еометрических уравнений (см.

§ 4, гл. V).200Создадим теперь в про­летном шарнире текуче­сти балки перелом наугол, равныйединице214,(рис.б).Согласноуказанной аналогии уголперелома в опорном шар­нире текучести б у дет приэтом равен х/1, а верти­кальноеперемещениепролетного шарнира те­кучести хРабота(1 -х)/1.равномернораспределенной нагруз­кибудетвыражатьсяnроизведением ее интен­сивностинаплощадьтреугольника,ванногообразо­ломанойосьюбалки и ее nервоначаль­ным nоложением. Рабо­та nредельных моментоввшарнирахлыРис.215текучестибудет равна произведе­ниям их значений на уг­поворотавшарни­а)р'v/.{2}(!)W'I\Rплрах.

Сумма всех этихработ должна равнятьсянулюкакво всяком со­стоянии равновесия. Та­ким образом, получаемx(l-x) 1-2- -Qпр --~--хАfт · 1 -М т -1 =О,откуда2Мт(l+x)9пр= /х(/-х).Теnерьнадо(9.17)Рис.216найтитакое nоложение шарни-ра текучести в пролете, чтобы qnp было минимальным. Для этогоследует приравнять производную dqnpldx нулю. Получим условиеоткудаx(l- х)+ (l + х) (l- х)+ (1 +х) х= -х2 + 2lx+L 2 =О,x=(V2- 1)1.Подставив это значение х в формулу(9.17), получим11 656 Мт2МтJf2Qпр=/2 (V2 -1)(2-V2) ='12·201Решим ту же задачу статическим методом. Для этого построимэпюру моментов в разрезной балке от заданной нагрузки (рис.215, а).Получим параболу в левом пролете, а в правом пролете отсутствиемоментов (рис.215, 6).неизвестногоопорного момента,-Добавим эпюру.получаемую от лишнегогiричем подберем значение еготак, чтобы оно было равно окончательному максимальному пролет­ному моменту (рис.215,в).

После этого полученную эпюру моментовследует увеличить пропорционально так, чтобы максимальные зна­чения моментов стали равны предельным моментам Мт. Таким обра­зом,получим эпюрумоментов состоянияпредельногоравновесия.Предельную нагрузку можно найти по эпюре моментов состоянияпредельного равновесия. На основании свойств параболыотсюдаX=(V2-1)/;М т= Qnp (2x) 2 j8; Qnp = 8Мт/(4Х2 ) = 2Мт/[l 2 (V2-1)2 ] = 11 ,656 М .f{2 •Особенно удобен статический метод при расчете балок перемен­иого сечения (рис.

216, а). В этом случае надо выравненную эпюрумоментов соответствующим подбором эпюр самонапряжений полу­чить такой, чтобы она вписывалась в эпюру предельных моментов положительных и отрицательных, отложенных от оси балки(рис. 216, 6). При этом выявятся места расположения шарнировтекучести, которые могут оказаться не только там, где изгибающиймомент достигает максимума, но и в других точках, например в ме­стахрезкогоизменения§ 15.сечения.Предельное равновесие мноrопролетiПdхнеразрезных бало:кВ многопролетной балке состояние предельного равновесиядостигается при образовании такого количества шарниров теку­чести, которое необходимо для превращения ее в изменяемую си­стему.

В большинстве случаев это количество меньше степени ста­тической неопределимости балки, увеличенной на единицу, и пре­дельная несущая способность получается при нарушении условийнеизменяемости одной какой-либо части балки. Обычно обрушениеодного пролета происходит после образования шарниров текучестинаопорах,ограничивающихпролет,ивсерединеэтогопролета(рис. 217).Выравнивание эпюры моментов в многопролетной балке, так жекак и анализ возможных форм ее обрушения, не более сложны,чем в случае однопролетной статически неопределимой балки.

Делов том,чтопредельныенагрузки длякаждогопролетане зависятот величины и характера нагружения других пролетов. Поэтомукаждый пролет неразрезной балки можно рассчитывать независимо~02от других пролетов. Это, конечно, значительно проще расчета не­разрезной балки по упругой стадии ее работы.Например, для четырехпролетной балки,показаиной нарис. 218, а, произведя выравнивание эпюры моментов в каждомРис.Рис.217218пролете отдельно, легко найдем предельное значение нагрузки длякаждого пролета точно так же, как однопролетных балок (рис.

218,6).Возможны и другие формы разрушения неразрезных балок,которые могут давать наименьшую предельную нагрузку в балкахпеременнога сечения,например,Рис.приналичиивутовнад опорами.219Некоторые из этих форм показаны на рис.219.Выравнивание эпюрмоментов здесь производится аналогично тому, как было по казанана рис. 216.Заметим, что на состояние предельного равновесия неразрезныхбалок не оказывает влияние осадка опор, подобно тому как этоимеет место в статически определимых системах, тогда как в упру­гой стадии работы неразрезной балки осадка опор сильно изменяетраспределение моментов.203ГЛАВАХУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМСТЕПЕНЕй СВОБОДЫ§ 1.Устойчивые состояния равновесияКак мы уже знаем, потенциальная энергия системы в состоянииравновесия должна иметь минимальное значение. Аналитически этоnриводиткравенствам:( 10.1)=Здесь ии (у 1 , у2 , ...

, Уп) - потенциальная энергия системы;У1• У2• ... , Уп - параметры ее перемещений.Однако равенства (10.1) определяют не только минимум и. нои максимум,а также такназываемые минимаксы,т. е.такие зна­чения и, которые по одной групnе параметров являются миниму­мами, а по другой- максимумами. (Примером минимакса можетслужить[Jнойвысотаточкиповерхности.)максимумыцентраль­седЛообразнойМинимумы,иминимаксыносят общее название э к­стрем у мы.х.МожнонятиеохРис.220.расширитьпо­равновесия системы,определив его как такое со­стояние, в котором у довлет-воряются равенства (10.1).Но тогда следует различать состояния с минимумами иназовемих у с т о й ч и в ы м и с о с т о я н и я м и р а в н о в е с и я исостояния с максимумами и минимаксами иназовем ихн е­у с т о й ч и в ы м и с о с т о я н и я м и р а в н о в е с и я.

В не­--устойчивых состояниях равновесия система длИ'!ельное время нахо­дитьсянеможет.Наглядное представление об устойчивых и неустойчивых состоя­ниях равновесия может дать следующий nример. Пусть механиче­ская система представляет собой тяжелый шарик единичного веса,nеремещающийся без трения под действием силы тяжести по неко­торой поверхности (рис.220).Потенциальная энергия данной си­стемы численно равна ординате и кривой перемещения шарика:и= и (х),где х - абсцисса, в данном случае параметр перемещений.Равновесные положения шарика будут в экстремальных точках,гдеdи;dx=O,204(10.2)причем в точках минимума, определяемых по признаку, установлен­ному в аналитической геометрии,dU/dX= О; d 2 V/dx2 =Оравновесие устойчиво, а в точках максимума, гдеdU Jdx =О; d 2 U/dxz <О,-неустойчиво.Если шарик может перемещаться по поверхности, уравнениекоторойV="V(x,у),(10.3)то система будет иметь две степени свободы.

Поверхность (10.3)может иметь минимальные точки -в углублениях, максимальныеточки-на выпуклостяхповерхности.-и минимаксыУстойчивыесостоянияв седловидных участкахравновесияшарикабудуттолько в тех точках поверхности, где и имеет минимальное зна­чение.§ 2.Устойчивость системы с одиой степевью сВободыВ качестве примера системы с одной степенью свободы рассмот­римабсолютноконцом (рис.жесткий221).стержень,упругозащемленныйоднимПеремещения системы здесь могут быть охарак­теризованы лишь одним параметром,напримеругломвповоротаоси стержня относительно первоначального вертикального положе­ния. В упругой заделке стержня возникает реактивный момент а.в,где а- коэффициент жесткости задеЛки.Нагрузим систему вертикальной силой Р и будем считать, чтоэта сила не меняется ни по значению, ни по направлению при пере­мещении точки ее приложения на конце стержня.

Характеристики

Список файлов книги