Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому существует нект·орый оптимум числа и размеров шагов нагружений, определяемый при составлении программдля ЭВМ более тонкими методами.§ 5. Метод упругих решенийЭтот метод последовательных приближений дает хорошие результаты при не слишком больших отклонениях работы материалаот закона Гука.
Система первоначально рассчитывается на заданную нагрузку как упругая с начальным модулем упругости. Получим значения усилий Nt'' и деформаций Л/". Затем по деформациям Л'/' находим, пользуясь физической зависимостью междудеформациями и усилиями, усилияN/".Последние, как правило,меньше усилий N'l' и не могут удержать заданную внешнюю нагрузку. Нетруднос помощью уравнений равновесия найти нагрузку,уравновешивающую усилияN/.Вектор этой нагрузки обозначимР 1 , а вектор первоначально заданной нагрузки Р 0 •Рассчитаем теперь нашу систему на нагрузку, вектор которойпредставляет собой разность векторов Р 0 - Р 1 , по-прежнему считаясистему упругой.
Получим деформации !1Л'/' и внутренние силыС~ммируя их с ранее найденными деформациями Л/'' и усилиями Ni'', получим второе приближение для деформаций Л?' иусилий N?'.!1N 1''.•Впрочем, шагавый метод может быть применен и в этом случае, тольков разгружаемых элементах коэффициенты упругости следует брать не по формулам (8.3), а как для линейно упругого материала.170Далее поступаем так же, как после первого приближения: подеформациям Л? и физическим зависимостям определяем усилияN/'и вектор нагрузки, уравновешивающий эти усилия Р2 ,вновь рассчитываем систему на нагрузку Р 2 - Р 1 и добавляемполученные_ значенияусилийидеформацийкранеенайденнымзначениям N?' и Л/, получив таким образом третье приближение.Продолжив этот процесс, придем в случае его сходимости к истинным значениям усилий и деформаций.У слови я сходимости данного процесса не вполне выявлены, имы их рассматривать здесь не будем.Сходимость метода можно улучшить, если на каждом этапе рассчитывать системуна дополнительную нагрузкуне с начальными модулямиупругости,как упругую,а с касательными,носоответствующими достигнутым деформациям Л~k>.
В общем случае действительные нелинейные зависимостиN1 = N1N2 = N2(8.1)(Л 1 , Л 2 , ••• , Лт);(ЛI, л2,Nm= Nm (ЛI,... '~ •.••,Лm);Лт)здесь заменяются линейными, полученными разложением уравнений (8.1) в степенные ряды не в окрестностях нулевых деформацийЛ1Л2=~= ... == Чk>,... ,Лm = О, а в окрестностях деформаций Л 1 = Л\k>;Лm =л:::>. Необходимость формирования каждый разновой матрицы коэффициентов упругости затрудняет процесс вычислений, поэтому первый вариант метода упругих решений, несмотря на худшую сходимость, часто оказывается более предпочтительным.§ 6.ПодкоторомПростое нагружениеп р о с т ы мнагруженнем nонимают обычно такое, привсесилывнешниевозрастаютпропорциональноодномупараметру.
В общем случае нелинейно упругой системы проnорциональное увеличение всех внешних сил не ведет за собой пропорциональное изменение внутренних сил, перемещений и деформаций икачественная картина напряженно-деформированного состояния постепенно меняется. Другими словами, nри пропорциональном увеличении внешней нагрузки в нелинейно упругой системе происходитперераспределениевнутреннихсил.Однако существуют нелинейно упругие системы, в которых припростом нагружении внутренние силы и деформации изменяютсятоже пропорционально друг другу (но не пропорционально внешнимсилам), сохраняя качественную картину распределения усилий поэлементам. В таких системах внутренние силы N1 должны выражаться через деформации Л; однородными функцияШI.Напомним, что о д н о р о д н о й ф у н к ц и е й несколькихnеременных в математике называется такая функция, которая при171умножении всех ее аргументов на один и тот же множитель а увеличивается в av раз, где v - локазатель, называемый к о э ф фиц и е н т о м о д н о р о д н о с т и.
Примером однородной функции может служить функцияN =-vа-;-Ч+а2Ч+· ..+атЛ!:,,где а 1 , а 2 , ••• , am, а также сх. и ~ -постоянные величины. Показатель однородности здесь равен v = ~/сх..Частными случаями однородных функций являются, очевидно,линейные функции.Пусть зависимость внутренних сил от деформаций (8.1) представлена однородными функциями с локазателем v. Положим теперь,чтовселеремещениялролорциональностиремещенийнаизменяютсяk,пролорционально смножителемт. е.
что все составляющие и; вектора леопределенномэтапенагружениястановятсяравными kи;. Очевидно, что и деформации Лj будут изменяться при этомпролорционально с тем же коэффициентом лролорциональности k.Переход от деформаций к внутренним силам производится припомощи однородных функций, поэтому все эти силы будут изменяться тоже лропорционально, но с коэффициентом пропорциональности kv. С таким же коэффициентом лропорциональности должныизменяться и внешние силы Р;, выражающиеся линейно черезвнутренние силы Nj.Итак, умножая все леремещения на величину k, мы получилиусловие, что внешние силы в данной системе должны быть лропорционально умножены на величину kv.
И наоборот, умножая внешние силы на коэффициент с = kv, мы лолучим изменение леремещений, а следовательно, и деформаций в c-v раз, причем соотношениямежду всеми статическими и между всеми геометрическими величинаминеизменятся.Частными случаями однородных зависимостей между деформациямии усилиямиявляются стеленные зависимости вида:Alлr;Nl=N2= А2Л~;Nm= АтЛ~,где А 1 , А 2 , ••• ,Am-постоянные величины. При таких зависимостях, так же как и в общем случае однородных физических зависимостей, напряженно-деформированное состояние системы не изw.еняется по форме при лролорциональном увеличении нагрузки,а лишь умножается на некоторый коэффициент пролорциональности.§ 7.Нелииейио упруrие бa.JIRиЗакон плоских сечений справедлив для всех балок и стержнейнезависимо от физико-механических свойств материала.
Необходимолишь соблюдение следующих условий:1721) длина балки должна значительно превышать ее высоту;2) моменты и продольная сила должны меняться по длине балкидостаточно медленно;3) сечение по длине балки также должно меняться постепенно.Строгое доказательство закона плоских сечений относится к курсутеорииупругости.Как видим, на свойства материаJiа здесь не накладывается никаких требований.
Спедовz.тельно, и для нелинейно упругих балокв основу расч'!Та должно быть положено уравнение закона плоскихсеченийе=-xz.(8.4)Здесь е - продольные деформации; х - кривизна изогнутой осибалки; z - расстояние от нейтрального слоя балки.бё=аеzРис.Рис.190Рис. 192f9fЕсли известна зависимость о=f (е), то,подставив в нее вместо еправую часть (8.4), получим закон изменения напряжений о по высоте сечения балки:о= f (-xz).(8.5)Графически этот закон выражается той же кривой (8.4), что ив диаграмме работы материала, но с измененным масштабом осиабсцисс (рис.
190).Найдем зависимость между кривизной оси балки и изгибающиммоментом М. При этом ограничимся здесь случаями, когда сечениебалки симметричное, а зависимость о=f (е) одинаковая длярастягивающих и сжимающих напряжений:h/2Ь/2М= 2 ~ zabdz = 2 ~ bzf (-xz) dz =ооxh/2=Здесьнииzh-~il u~xla(2~~ ~b-xzf (xz) d (xz) =высота сечения балки; Ь=Ь(z) -bef (е) de.(8.6)ее ширина на расстояот нейтрального слоя.173Для прямоугольного сечения балки ЬМ=!~=constи><h/2S ef(e)de=~~s(~).огдеS (е) -статический момент относительно линии е=Оплощади, ограниченной диаграммой работы материала и прямой еhx/2 (рис. 191).Пусть кривая а (е) выражается степенной функцией==(8.7)гдеn-некоторый коэффициент, обычно больший единицы.
Тогда><h/2s (~~)=сr\2,}о(xhe<n+lJ!n de =с _п_2n+ 1 2)(211+1)/11иМ= ~Ь С _п_ h(2n+l)/n2n/(2ntl)x(2n+1)/n =х22n+ 1= 2(3n+1)/(2n+1) _п_ Cbh<2n+l)tnxl 1 п = Bxlfn2n+ 1'где В- 2< 8 n+l)f( 2 n+l) _п_ Cbh< 2n+ 1 )/n_ константа зависящая от раз2n+1·'меров сечения балки.Заметим, что зависимость момента от кривизны получилась тожестепенная с тем же показателем степени 1 /n, что и в (8. 7).Ввиду однородности функции(е) (8.
7) в данном случае эпюраfнапряжений по высоте сечения сохраняет свой вид при увеличенииизгибающего момента. Например, при увеличении момента вдвоекривизна х увеличивается в 211 раз, деформации е тоже в 2 11 раз,а краевые напряжения -в'V2-;.=--' 2 раза, т. е. пропорциональноизгибающему моменту.Для зависимости(8.8)изображенной на рис.192,получим для балки прямоугольногосеченияs (xh/2) =xh/2~ (Ее 2 - Не')ue = Eh x {24- Hh x6 6/3 3160оиМ= (ЕЬh 8 /12) х- (НЬhЬ/80) х 8 •Первый член правой части формулы соответствует обычной связимежду изгибающими моментом и кривизной в линейно упругойбалке, а второй дает нелинейную добавку.Зависимость (8.8) удобна для аппроксимации истинных диаграммработы материала с нисходящей частью после перехода через предел174прочности.Пределпрочностис~чениябалкиопределяетсяиз условия максимума М, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
