Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 23
Текст из файла (страница 23)
167).Определим еще прогиб подсилой Р:у(l/2) == e-v (С 1 siп v + С 2 cos v) ++ ev (С8 siп v + С4 cos v).ДляAt =clsin v +Cz cos v = -этого вычисляем:4ЕJлзо [e-V (siп 2 v + sin v cos v) ++ev (sin 2 v- sin v cos v) +e-v (- sin v cos v +cos 2 v) ++ev (- sin v cos v +З cos 2 v) === -144.4 Еfлэо [e-v +ev (sin2 v + 3 cos• v- 2 sin v cos v)];Bl=C3 sinv+C4 cosv=- 4 Е:лзо [e-"(sin 2 v+sinvcosv)++ev (sin 2 v- sin v cos v) +e-v (sin v cos v +3 cos2 v) ++ev (sin v cos v +cos 2 v)] == - 4 Е:лэо [e-v(sin 2 v+Зcos 2 v+2sinvcosv)+evlиу ( ~) =e-v А1 +е"В 1 =4 Е:л=•о (e-- v+sin 2 v+Зcos 2 v- 2sinvcosv +2+ sin2 v +З cos 2 v + '2 sin v cos v +e2 v) ===-- Р4EJ'Л3 D(e-- 2 v + 2. sin 2 v+6 cos 2 v+e2 v) =+ + 2 cos 2v+ sin 2v) =Р2 ch 2v 44ЕJЛ3 -4 (sh 2vР/ 364EJv 1+++ch 2v 2 cos 2vsh 2v sin 2v •Для балки очень большой длиныу(/!2) = P/(8EJ'A3 );для короткой балкиР/З4Р/3р( l )у 2 = 64EJVЗ 4V = 64EJv 4 = ТЬС·§ 3.Б8JПСа, вагруженпая равномерно распредеJiепвойВJIИ трапецеидальной ваrрузхойЕсли нагрузкабалки (рис.
168)q0представляет собой линейную функцию длинышiШllblд!JEШlLь wiZШJЯlм(j):'-,~--пшn П]Ш! rт!ШПЛ аnПЛШГPIIC. 166. PIIC. 159то частное решение уравнения(6.1)будет такжепредставлятьсобой линейную функциюy*=(alx+ao)l(cb).(6.7)При свободных концах балки момент и поперечная сила на нихравны нулю; этому вполне удовлетворяет частное решение (6.7)и добавлять к нему общее решение не требуется. Следовательно,(6.7) будет полным решением, и балка не будет изгибаться. Очевидно, что внутренние силы в ней везде равны нулю.145Если балка имеет на концах какие-либо закрепления, например0n()ры(рис.
169), то в ней появляются изгибающие моменты и кри8п li<tнa оси, которые можно оnределить общим методом нахожденияРl::)извольных nостоянных общего решения по граничным условиям.§ 4.tБес:конечво длинная• б3JII01 на упругом основавивте В случае длинной балки члены уравнения, содержащие множика.ttь е"лх, для правого ее конца становятся очень большими.
Такко~ в действительности там деформации и внутренние силы имеютщ 1-tечную величину, то коэффициенты С3 и С4 при членах, coдepжaдJIJ.t~ множитель е"лх, должны быть очень малыми и для достаточноще'1нной балки практически обращаться в нуль. В этом случае об~ решение упрощается и nолучает виду= е-"-х (С 1sin Лх+ С 2 cos Лх).;~~'СЬ прогиб и его производные уменьшаются с каждой nолуволной= -~ры прогибов, т. е. через каждый промежуток s = n/Л, в е" =ко ~3,14 раз.
На расстоянии трех nолуволн Зs = Зn/Л от левогочe~tl.a балки члены общего решения с nостоянными С1 и С2 практи~и исчезнут. То же можно сказать о решенииелх (С3sin Лх+ С4 cos Лх),КО'ГдЛJ.t~рое затуха~т от правого конца балки к левому. Поэтому балку~ойL= 3n(л.МО&ва'Г_,\:но считать бесконечно длинной. Точнее, ее можно рассчиты-ние~. как бесконечно Длинную, nоскольку уже в середине ее влияконцевых граничных условий будет сказываться очень мало.§ 5.Батса на упругом основанив с двумя:коэффициентами постелисдв~сли основание не жидкое, а твердое, то в н·ем могут возникатьние rающие наnряжения, вовлекающие в работу элементы, соседста'Г с неnосредственно нагруженными элементами. Модель гидродлst \iческого основания здесь уже оказывается не вnолне точной.шиеее уточнения было предложено много иных моделей.
Простейиз них приводят к уравнению балкиEJyiV- k2y" +k.y = q0сд~коэсЬ. ~мя константами(6.8)k1 и ~. которые часто называются двумябал~~ициент'ами постели (постоянная ширина нижней поверхности~и Ь здесь в них уже включена).жетизический смысл модели, приводящей к уравнению (6.8), моисха 'быть различен. Так, П. Л. Пастернак получил это уравнение,'-'1.Я из представления146обупругомсопротивленииоснованимповоротам оси балки у'*, В. 3.
Власов учитывал деформациюсдвига основания • •, М. М. Филоненко- Бородич придавал основанию свойства натянутой нити, создающей реакцию, пропорциональную кривизне оси балки (рис. 170) • • •.Общее решение дифференциального уравнения (6.8) имеет вид:(C 1 .sin Рх+С 2 cos Рх) +eaz (Сз sin Рх+С 1 cos Рх) +У"',± Pi - корни характеристического уравненияEJ'J..'- k2 'A2 + kt =О.у=е-ах±гдеаЧерез у* везде обозначено частное решение, зависящее от нагрузки.Для бесконечно длинной балки следует положитьу= е-а.х (С 1sin рх +с" cos Рх) +у*.Здесь мы, так же как в случае гидростатического основанияимеем затухающую синусоиду,но степень ее затуханияот волнык волне может быть различной в зависимости от значений k1 и k,..На протяжении одной полуволны sn/~ коэффициент затуханияравен e-antf\.=Существенное отличие основания с двумя коэффициентами постелиотгидростатическогооснованиязаключаетсявтом,чтооснование с двумя коэффициентами постели может иметь осадкиза пределами лежащей на нем балки и при отсутствии нагрузки.Действительно, на таких участках дифференциальное уравнениедля прогибов будет иметь вид(6.9)ирешениегде•Предnолагаются= -k1 yреакцииоснованияввидеи в виде расnределенных моментов тэтими реакциями и нагрузкой,=поnеречнойнагрузкир=~у'.
В балке, нагруженнойМ=- И (qo -р) dx 2 - ~т dx=- EJy•.Дифференцируядвараза,nолучаемEJyiV =qo-p +т', или EJyiV- k2y" +kly=qo.Q=**=Основание создает вертикальные реакции р 1-yk1 и nоперечные силы-у'~. которые JJ,ают р2 = -Q' =у"~. Полная реакция основания будетР = PtОТСЮ.!J.аnриходимк+ Р2 = - F.1Y1 + k~;уравнениюEJyl\' =Qo -р; EJyiV- ks!/ +kJY=Q.•••Здесь р~ =k 1y; р~ =-kafl"и далее, как в nрелыJJ.ущей сноске.147Например, под балкой,~а·I~J;J!~lllFРис.170=у= у*= q0/k 1 = const.За пределом балки, расqoа)нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q0const, прогибполагаяWШ?~~fЩ§Лначало координат у конца ее (рис. 171),имеем уравнение (6.9) сначальнымусловием=у (О)qDik1 и условиемна бесконечности у (оо)==О.Второеусловиедает С 2О, а первое===4ЦЦЦ111111111111111111111111001111111~cl =но,=запределомполучаемРис..mСледовательq0 /kl.осадкубалкиоснования(6.10)Таким образом, здесь отсутствует разрыв в функции у у концабалки, характерный для гидростатического основания, хотя сохраняется разрыв в производной у'.§ 6.Ивтеrро-дифференциальное уравнение балхина упруrом основанииДля упругого основания с двумя коэффициентами постели можнополучить функцию влияния нагружения в точке хО на осадкуоснования на расстоянии х от этой точки.
Пусть в точке хОприложена на малом протяжении dx нагрузка р. За пределомнагруженного участка dx осадки изменяются в сторону положительных х по формуле (6.10)=у= (р/ k1) е-""' (х=> О)и в сторону отрицательных х по формулеу= (pfki) е""' (х< 0).Обе эти формулы могут быть объединены в одну:у=(p/ki) e-v; xJили(6.11)С помощью формулы (6.11) и исходя из принцила независимостиможно находить осадку в точке с координатой хдействия сил,148от действия любой нагрузки на основание р=р(t):соу=~ р (t) К (х- t) dt.(6.12)Здесь х - t- расстояние от точки приложения элементарнойСИЛЫ р (t)dt ДО ТОЧКИ Х.Для основания с двумя коэффициентами постелисоу= (1jk 1 ) ~ р (t) е-У fx-tldt.-соПри наличии балки на основании следует положитьр(t) = - EJyiV (t)+q0 (t),и тогда получаем интегро-дифференциальное уравнениеьу= (l/k1)Ht (t)- EJyiV (t)] e-vfx-tf dt (а<х < Ь),агде а и Ь-координаты начала и конца балки, илиу=;1ьJC{~[qO(t)-EJyiV(f)]e-Y<X-t)dt+a~[qO(t)-х-EJyiV (t)]evlx-t>dt (а<х<Ь).§ 7.Линейноynpyroeоснование общего видаОбщий вид уравнения балки на линейно упругом основанииьу (х) = ~ [q 0 (t)- EJyiv (t)] К (х- t) dt,(6.13)агде функция К (х- t), являющаяся ядром интегрирования преобразования (6.12), может быть раз-личной.Ядро К (х- t)какP=fопределяетсяпрогиб основания в точкеK{x-t)хот действия единичной сосредоточенной силы, приложенной в точкеt(рис.t172).Например, для основания в ви-хде упругого полупространства тео-рия упругости дает формулукPvc.172.l-f-1 21(x-t)=--nr lx-tl 'справедливую при малой ширине подошвы балки по сравнению с еедлиной; Е и 1.1.
- модуль упругости и коэффициент Пуассона полупространства.149Для балки, лежащей на упругом полупространстве, уравнение(6.13)получает вnду(х)=1;;;2h~[tf(t)-EJyiV(t)],x~tl'аЕсли модуль упругости Е, как часто бывает в грунтах, меняетсяпо глубине основания, то функция К (х- t) будет иной. В общемслучае эту функцию можно получить из эксперимента, подобравк экспериментальным данным о прогибах поверхности основанияподходящееаналитическоевыражение.Для решения уравнения (6.1 3) имеются различные численныеметоды, сводящиеся к замене интегро-дифференциального уравнения системой обыкновенных линейных уравнений.ГЛАВА VПСОСГАВНЫЕ СТЕРЖНИ§ 1.Понятие о составном стержнеСтержень может иметь поперечное сечение, состоящее из нескольких частей, соединенных между собой по всей длине.
Прижестком соединении частей сечения стержень считается монолитным и может рассматривается как обычный, даже если составляющие его части выполнены из различных материалов. Часто, однако,не удается жестко соединить составляющие стержни, и тогда необходимо бывает учитывать влияние податливости соединений стержней. Такую группу стержней уже нельзя сводить к монолитномустержню, а следует рассматривать как особого рода систему, называемуюс о с т а в н ы мс т е р ж н е м.Составные стержни широко применяются в строительных конструкциях, выполняемых из металла, дерева и железобетона.К схеме составного стержня могут быть также приведены многиесложные системы,как плоские,так ипространственные.Составляющие стержни соединяются между собой связями, которыемогутстержня,такбытьикакнепрерывнососредоточеннымивраспределеннымиотдельныхподлинесечениях.Очень часто сосредоточенные связи имеют одинаковую мощностьи расположены через одинаковые промежутки.
В этом случае прине очень малом числе отдельных связей можно распределить действиекаждой связи на промежутке между соседними связямии считать составной стержень соединенным непрерывно распределеннымисвязями.Получаемая при этом незначительная неточиость расчета вполнекомпенсируетсясущественнымупрощениемрешенияпутемперехода от системы алгебраических уравнений, выражающих взаимо-150действие отдельных связей по длине стержней, к одному дифференциальномууравнению.Промежуток между составляющими стержнями, в котором расnолагаются связи, называетсяную видимую толщину,ш в о м. Швы могут иметь значительоднакочерезшоввсегдаможнопровестинекоторую плоскость, отделяющую один составляющий стержень отдругого, которую будем называтьр а з д е л я ю щ е йп л о·с к о с т ь ю.
Поскольку сечения составляющих стержней могутиметь JJюбую форму, можно считать, что эти сечения доходят до разделяющих nлоскостей, имея в зоне шва бесконечно малую толщину1\1:"'"'"' 1"'"'"' "'"'"' "'"'"'\(1о--............(l1l1о-.;...\ 1r.\тv=О, рис.173).1о--.IU.....,..,u.....,.., IU.....,.., u.....,..,11\("/vПипсрt'чньtе сВязиРис.173u-.м ~l ...........С6язи cil9uгo(~о--.(1~ ~ ICJ...I.,1111rРис.{,....._., 1о_.; (о..;...,.1 "'-""-.n "-.n IU.....,..,IU.....,.., ·U.....,..,17'1Поэтому «сnлошной» составной стержень со стержнями,непосредственноальноне отличаетсяпримыкающимидругкдругу,принципи·от «сквозного» стержня.По своей работе связи в составном стержне делят на два вида:с в я з ирыес д в и г а,возникаютввоспринимающиешвахсоставногосдвигающиестер~ня,иусилия,котол о п е р е ч н ы ес в я з и, препятствующие отрыву стержней друг от друга илиприжатию их друг к другу (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
