Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 24
Текст из файла (страница 24)
174). Заметим, что конструктивноэти два вида связей могут совмещаться в одних и тех же элементах.§ 2.Уравнения составного стержня с абсоmотно жестхимипоперечными связямиВо многих случаях податливостью поперечных связей можнопренебрегать, в результате чего расчет составного стержня существенно упрощается. Предположение об абсолютной жесткости поперечных связей вполне согласуется с гипотезой об отсутствии поперечных деформаций в отдельных стержнях, рассчитываемых потехнической теории изгиба, лежащей в основе курса сопротивленияматериалов. Погрешность, возникающая при неучете поперечныхдеформаций, оказывается заметной только в случае короткихстержней с большой высотой поперечного сечения.
Аналогично в составном стержне,егополногодлинасечения,которого значительновлияниеnодатливостиnревышаетвысотуnоперечныхсвязей161должно быть невелико, за исключением особых случаев нагружений,вызывающих работу главным образом лолеречных стержней.Здесь и в дальнейшем будем рассматривать связи, непрерывнораспределенные по длине шва. Это предположение лриемлемо ив случае с•средоточекных саязей, Jtаслоложенных не слишком редкона одишtковь.Iх промежутках друг от друга,поскольку оно вноситлишь небольшую логрешиость в резул111таты расчета.Рассмотрим составной стержень, состоящий из n1 отдельныхстержней. Во время работы составного стержня в связях сдвигакаждого шва возникают усилия, являющиеся функциями коорди+наты х, отсчитываемой по длине стержня. Значение этих усилий,отнесенное к единице длины шва, обозначим -r, Н/м.В волокнах составляющих стержней возникают продольные деформации в и продольные смещения и.
Сосредоточенный сдвиг Гвдоль разделяющей плоскости шва равен разности смещения верхнего волокна нижележащего стержня ив и нижних волокон вышележащего стержня и":Г=ин -и 8 •(7.1)(Считаем, что сечения составляющих стержней доходят до разделяющей плоскости шва, имея хотя бы нулевую ширину).Связь между продольными деформациями волокон стержней исмещениями и выражается формулойв= dи;dxДифференцируя(7. 1),= и'.лолучаем(7.2)гдевниВ8-продольные деформацииволокон,примыкающихк разделяющей плоскости шва сверху и снизу.Составной стержень со своими связями сдвига и поперечнымисвязями представляет собой статически неолределимую систему.Будем рассчитывать ее методом сил, выбрав в качестве основнойсистемы стержень, лишенный связей сдвига, действие которыхзаменим функциональными неизвестными -r1, где i - индекс, означающий номер шва (рис. 175).
Благодаря наличию абсолютножестких полеречных связей данная система эквивалентна n1совместно изгибаемым отдельным стержням по одной и той же кривой изгиба у (х), где n -число швов стержня.Общая жесткость на изгиб состааного стержня, лишенного связей сдвига, равна сумме жесткостей составляющих стержней:+n+I~ E1J1 ='}:. EJi=l(для сокращения записей в этой сумме не будем проставлять пределы суммирования и индексы).Обезначим через М 0 суммарный изгибающий момент, равныйсумме изгибающих моментов в сеченИях каждого составляющего153стержня основной системы:i= 1Через М2 обозначен изгибающий момент, возникающий в каждом отдельном стержне от действия нагрузки без учета усилий,лередающихсяотлолеречных1-Uсвязейисвязейсдвига.Cflli(pжeнь7:,т~ ;~-= ~~ ...
)lr::::;;e ~~~-~ ~___.;;~ ~~rн""!:;-~ ~_...!'01(,.i-ti~~~ r-~~~ --:-::::; ~ii +!-ii'=>~~ ~~~ ~::;j,":~----uшо!'!l/BД!frBHb!Е=?~ ~...П+ f-йшо!CfllCJ!.ЖCHb'Ьi~~ ~~~:;:-........ ~~ -~-:::;; ~i -t-ti)о~ .::оЕ! ~:.--t-u шо!Cfl78jlЖ8Hbt-1-ii'&i"•..:;..;: ~~ ro-i +1-ti шо!(in-tl}стержень)(Рис.175Заметим, что усилия в лолеречных связях являются уравновешенными и ничего не добавляют к общему изгибающему моменту составного стержня.Усилия в связях сдвига вызывают моменты в составляющихстержнях,равныеMl =-Т н ин- Tivi(i = 1, 2, ... , n+ \),(7.3)где Тц и Т 1 - суммарные сдвигающие усилия в i-1-м и i-м швах,накапливаемые по длине стержня от начала стержня до рассматриваемого сечения,ххТ1-1 = ~ 'ti-1 dx; Ti=~тidx,ui_1иvi-расстояниядо разделяющихрис.
175).от центра тяжестиплоскостейСумма моментовMJ(7.3)(7.4)nовыше-исеченияi-го стержнянижележащегошва(см.представляет собой добавку к общемуизгибающему моменту основной системы М 0 , Р связи с чем полныйизгибающий момент в системе становится равнымn+lM=MU+2: м,.(7.5)i= 1153Подставив сюда выраженияnолучим вместо(7.3) и учтя, что Т0=Tn+t=О,(7 .5)nnr1М=М 0 - ~ T 1ui- ~ T 1v1=M 0 i=l•=1~ T 1w1,(7.6)i=lгде w 1 расстояние между центрами тяжести сечений двух смежных стержней, разделенных i-м шво:-.1;(7.7)Изгибающий момент М вызывает искривление осей составляющих стержней по одной и той же кршюй у (х). Дифференциальноеуравнение этой кривой при малых nрогибах имеет такой же вид,как в обычной балке:y"=-M!(EJ)(7.8)Продольные силы в составляющих стержнях выражаются формулойN 1 =Nt-T 1 +Tн(i=1, 2, ... , n+1),(7.9)где NZ.__ продольные силы, вызываемые в i-м стержне тольконагрузкой.Оnределим теперь деформации крайних волокон стержней пообе стороны разделяющей nлоскости i-го шва:е!'=е~~~в~·=в~~ + 1 +у" и.1"1y"v.;1Здесь вi и е2+ 1 -осевые деформации i-го иi+(7.10)1-го стержня;ei=N;/(E;F;); Bt+J=N;н/(E;нF;н);(7.11)+F1 иF 1 н- nлощади поnеречных сечений i-го и i1-го стержней.Подставив (7.11) и (7.8) в формулу (7.10), получимei = N 1!(E;F;) + Mvf(L EJ);е{= N;н/(Е;нFн 1 )- Ми 1 !(~ EJ)и по формуле (7.2) с учетом (7.7) будем иметь выражение для nроизводной Гi от сдвига по i-му шву:Г/= Ni+l!(E 1 нFнt)-N;!(E;F;)- Mw;/(L EJ),или, .раскрыв выражения для продольных сил и момента, по формулами(7.9)Г'i(7.6):=N~Nt+lE;нFi+t -E;F; -моw1Т;нЕ EJ -Е;нF;н+Т;Е;+1F1н+n+Т;E;F; -Т;_ 1E;F;~ TjW;+ -'-=E=-E=J~i=lW;.Представим это выражение в видеl't= ~ Т;6 11 +6, 0 (i= 1, :г,i"" 1151••• , n),(7 .12)гдеА;о= N1+11(E;нFI+l)- NU(E 1F;)- М 0 ш;/(,~ EJ),А1.;А1.(7.13)= 1/(El+lFi+l) + lt(E;F;) + wU(~ EJ);t+I+ W;W;н/('2:.
Е J);+ W;Wн/(l: EJ);= - 1/(Е;нFн 1 )•А 1 , 1-1 = - 1!(E 1F 1)А 11 ~ w 1w;f('i:. Е J) при· i - j 1> 1.Для того чтобы основная система стала эквивалентной заданной, необходимо приравнять сдвиги Г; в швах погонным сдвигающим усилиям т 1 , деленным на коэффициент жесткости шва ~ 1 •С учетом (7.4) получим(Г;=т:tf~t=T;(St·Подставив в уравнение(7.12)выражения(7.14)(7.14),получимn(Т/!~;)'-~ АцТ;=Ato(i = 1, 2, ...
, n),j=lили для пQстоянных коэффициентов жесткости шва по длине стержнявразвернутомвидеTj /~1- АнТt- А12Т 2- ... - АtпТ п = Лtо;Т;/~2- А21Т1- А22Т2 - ... - ~2пТп = ~2о:(7.15)T~/Gn- ~nlTl- ~п2Т2 -. · · - ~nnT n = Апо·§ 3.Опреде.ление напряжений в составном стержнеПосле определения усилий в связях сдвига основная система,лишенная этих связей, рассчитывается без труда.Осевая силаN1в каждом составляющем стержне равнаN1 = NY- Тt+Тн.Внутренний момент в том же стерж!Jе равен умноженному наполному моменту М (7.5)E 1J 1/(''I:.EJ)Продольные напряжения определяются по формулеО'х =гдеz1 -Nt!Ft + MtZlflt,расстояние от центра тяжести сечения i-го стержня дорассматриваемого волокна.155Эпюра продольных напряжений в составном стержне получаетсяступенчатой, но с одинаковым наклоном к вертикали во всех стержнях (рис. 176).Рис.176Скачки в эпюре продольных напряжений в каждом шве равныMw1/('l;EJ).§ 4.
Стержень из двух брусьевЕсли составной стержень состоит только из двух монолитныхстержней, то вместо системы (7.15) будем иметь только одно уравнениеТ"!~= уТ+ l!J..(7.16)Коэффициент у и свободный член !!J. здесь имеют значения:у=l!J.11= 1/(Etft)+ 1/(E?.Fs) + w /(1: EJ);2l!J.=l!J.tn=-NU<EtFд+ NИE2Fs>- M 0wf(1: EJ).Решение уравнения(7.16) можно представить в видехТ= С1 sh Лх + С 2 ch Лх +(~/Л) ~ l!J. (t) sh Л (х-- t) dt,огдеclи с2- произвольные постоянные;(7.17)В частном случае стержня, симметричного относительно разделяющей плоскости шва,F1=F2=F; Et=E2=E: J,=J 2 =J; U=V=W/2; .I;EJ=2EJ;у= 2/(EF)156+ w /(2EJ); l!J. = (- N~ + N'r)!(EF)- M w!(2EJ).20§ 5.
Стержень из трех брусьев, симметричныйотносительно продольной осиВ этом случае (рис.177)будем иметь два дифференциальныхуравнения:Т; =s (L\нTl +L\12T2+L\1o); Т; =;(L\21T1 +L\22T2+L\2o),(7.18)гдеIt(EcFc) + W2/('J:.. EJ);L\12 = L\21 = - l!(EcFc) + w2/('J:., EJ).L\н = L\22 = 1/(ЕкFк) +Рис./77Индексы «К» и «С» соответствуют крайнему и среднему брусу. Обозначим(7.19)где Т 8 и Те- обратносимметричнаяи симметричная части совокупности усилий Т1 и Т2.Составим сумму и разность уравнений(7.18).С учетом(7.19)получимТ;=~ [(L\п + L\.21) Ta+(L\to+ L\2o)/2];Т~= s [ (L\п- L\21) Те+ (L\to- L\2o)/2],илиТ;=~ (уа Та+ L\e);(7 .20)Т~=~ (усТ с+ L\c),(7.21)где= L\.11 + L\.21 =I!(EкF к)+ 2W 2/('J:.
Е J);L\. = 0,5 (L\1o+ ~20) = - N~t(EкFк) ~ M 0 w/('J:, EJ);Ус= Ан- L\21 = 1/(ЕкF .) + 2/(EJc)•L\c = 0,5 (L\1o- L\2o) = - N~!(EкFк)+ NU(EcF с).j'81(7.22)Уравнение (7.20) относится к обратносимметричной нагрузке,а уравнение (7.21)- к симметричной.Таким образом, задача расчета составного стержня, симметричносоставленного из трех fiрусьев, сводится к расчету- составногостержня из двух брусьев.157§ 6.Виецеитреииое сжатие- раст.11жеиие в чистый изгибстержняиз двух брусьевДля стержня, соеrавленного изсвободный член уравнения (7 .16)!!. = - NU(E 1Ft)+ N<y(E F2двухбрусьев(рис.178,а),MOw/(1: EJ) = const.2) -Так как эта величина не зависит от х, то частное решение уравнения(7.16)будетт• = - !!.tv.аполноерешение:Т =С 1 shм+C2ch Л.х-Му.Помещая начало отсчета координат х в середину стержня, изусловия симметрии получаем, что С 1 = О.
Остается решениеТ=С 2 сhЛ.Х-!!./у.(7.23)у концов стержня суммарная сдвигающая сила Т равна нулю.ОтсюдаС 1 ch 'Al-!1tv =О; С 2 == 6./(у ch Л/).Подставив найденное значение С2 в решениеокончательноТСдвигающиеt).~ ( ah Лх _=у(7.23),ch '}.Jлолучим(7.24)напряжения"t ..,т'=!:J.уЛ sh Ахch '}.J~!:J.sh Ах(7.25)-= Т ~h i..f •Как видим, эпюра сдвигающих напряжений представляет собойгиперболическую синусоиду (рио.178,б). Максимальное напряжение будет у концов стержня!"trna•= (~i\/A) th Л.l.(7 .26)Сдвиг одного GТержня относительно другого пропорционален сдви•гающимнапряжениям!Г=~- ~ shA.t •у;~:~h Л/Сдвиги по шву не возникают, еслиложенакпервомустержню о!!.=О.
Пусть сила9КсцентриситетомN;-е1поN;приотношениюк оси этого стержня, а силако второму ~о-тержню о эксцеюри·ситетом е1 относительно оси второго стержня (риа. 179). При э1омМ 0 ..NVe1 + N~,.а!1 = NH -1!(E1Ft) -etwl(~ EJ>l+ N~[l!(E,F,) -e,u·f(l:. EJ)].11риравняв это выражение нулю,получим условие отсутствиясдвигов по шву при внецеюренном растяжении, когда эпюра пр~;158дольных напряжений по высоте стержня не будет иметь скачка поразделяющеi) плоскости шва и будет вполне подобна эпюре напряжений в монолитном стержне.а)DN1.....:N,oомое!)м о....он:онf......;:'!~г.....-+-.-----)(ttPvc./79о)®~Рис.180Puc.17BЕсли произведение Лх настолько велико, что при заданнойточности вычислений можно пренебречь величиной е-Лх по сравнению с елх, то, рассматривая усилия в шве вблизи торцов стержня,можноположитье-Лх ~ О;При этом формулыsh Л.х ~ ch Лх ~ 0,5еЛх; th Лх ~ 1.(7.24)-(7.26) примут вид:1) = _ (!!../"(} (1-eЛ<x-lJ);Т=(/!../"() (елх;елz_• = (s/Л) !!..е'·<х-0;'t'max= s!!../Л.В середине длины стержень здесь работает как монолитный, причем• (О)= О; Т (О)=- /!..fv.сдвигижеинапряжениявсвязяхсдвигазатухаютстержня по закону показательной функции е-ло-х> отмаксииальной величины на его торцах (рис.
180).§ 7.ксерединенекоторойПередача продольВЬIХ сил с одиоrо стержня на друrойРассмотрим случай встречной передачи продольной силы с одного стержня на другой при помощи связей сдвига (рис. 181). Продольную силу считаем приложенной на обоих концах стыка по одной линии,вчтобы удовлетворялись условияравновесия системыцелом.Основная система - стержень, лишенный связей сдвига, - здесьбудет изменяемой (впрочем, как и в других случаях нагружениясоставного стержня), но это не вызывает каких-либо затруднений при правильной постановке граничных условий.159Так как продольные силы и моменты в основной системе постоянны, то общее решение для суммарных сдвигающих сил будет иметьN~_.[1N~1J1'1-''"J1J --~хttPu6./62PIIC.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
