Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2йп-m+k, kможно вести дальнейший расчет по выведенным ранее формулам,как для системы без абсолютно жестких элементов.§ 8.СJiучай н8.1СJ1онвьtх стержней рамыЕсли в раме имеются наклонные стойки и ригели, то в уравнения равновесия узлов войдут продольные силы в стержнях. Приучете деформаций удлинения стержней продольные силы вводятв выражение для потенциальной энергии, согласно формуле (2.46),и получают расширенную матрицу внутренней податливости.с"1 ,61 в'·~11Если влияние продольных удлинений не учитывается, то элементы, воспринимающие продольные силы, надо считать абсолютножесткими и продольные силы, согласно предыдущему параграфу,необходимо исключить из системы уравнений равновесия.Например, для рамы,изображенной на рис.136,равновесия узлов можно представить в виде:Р1= N 1 cos а- N 2 cos В +Qt sin a-Q2 sin ~;Р 2 = - N1 sin а+N2 sin ~ +Q1 cos a-Q1 cos ~;Р 3 = N 2 cos ~- N 3 cos y+Q 2 sin ~ + Q3 sin у;Р 4 = - N 2 sin ~- N 3 sin y+Q 2 cos ~ -Qз cos у.116уравненияИсключив отсюдавесия, в которое,силы,иN 1 , N2получим одно уравнение равноN3 ,кроме внешних сил, войдут только поnеречныевыражающиесячерезконцевыемоментысоответствующихстержней.В данном случае только двух непараллельных стоек задачуможно решить проще, если ввести обобщенную внешнюю силу _моментсил,приложеиныхцентра вращения С (рис.к137).ригелю,относительномгновенногоТогда понадобится составить толькоодно уравнение равновесияМгде а и Ь-=Qta+Q2b+MA -Мв,расстояния от узлов А и В до центра вращеоия с, суже исключеннымипродольнымисилами.Такой способ не применим в случае трех и более непересекающихся в одной точке стоек (рис.
138), когда приходится производитьисключение продольных сил общим аналитическим методом:.§ 9.Применекие матричного метода к расчету ба.J:rокРассмотрим однопролетную балку постоянного сечения, нагруженную сосредоточенными силами (рис. 139). Потенциальоая энергиявнутреннихсил здесь-т= 6~J [lЩ (lo1 +112) + M1Mnll2 +м~ (112 +12з) ++ М2Мзl2з+· . . + Mk-J Uk-2. k-1 + 1k-l, k)·(4.6)Отсюда получим матрицу податливости1B=6EJоо1232 U2з+ /31)оо!122 U12 + 12з)/23ооо2 Uo1 + 112)112о2 Uk-2.
k-1... .+ tk-1. k)(4.7)Уравнения равновесия имеют вид:Mt!lto + (Mt- M2)/l12 = Р1;Mt)f/12 + (М2- Мз)/!23 = Р2;(М2-(Mk-t- Mk-2)11k-2. k-1+ Mk-tl1k-1, k =Р k-1;матрица их коэффициентов[ -110+ [-112- [112Оо+ 12~ -12!l2jl2j + !З!)li~-li~А=--ооооо-lЗJо(4.8)о117Далее, применяв формулы§21гл.11, получим вектор прогибову- LP = (Ав-1 Ат)- 1 Ри· вектор изгибающих моментовМ =SP=-в- 1 AтLJ5.Если балка заделана по концам, то добавится еще два неизвестных изгибающих момента М 0 и Mk.
Тогда выражение для энергии внутренних сил будет:-А= вiJ [ММ1о+ MoMl1to+ М~ U1o+ 112) + М1М2112+· ... . . +М~-~ (1k-2. k-1 + 1k-l, k) + Mk-lMk1k-1. k + Mklk-t, k],а матрица внутренней податливости21toО112О2 Ua + 12s)ООооо11о1О1Io2 (l1o + 112)1аВ= 6EJ21k-1.k(4.7) дляВ этой матрице по сравнению с матрицейсвободноопертой балки добавлены сверху и снизу по одной строке, а справа~tlf--,;f--f--+:-:f-~1'f,i t-:f---1[1!P·\f Jr1 t ~Риt.
t~oi11ii~Puc./JUРис.Ми слева-по одному столбцу. Матрица уравнений равновесия-111ооА=_!__+_!_11о-11а1112оооо-111а11- + -1111231-1sэооо-о123_!__+_!_оl:и.123о-{k-1o kВ зтой матрице по сравнению с аналогичной матрицей длясвободно опертой балки добавлены два столбца: слева и справа.Дальнейший расчет будет такой же, как и в предыдущем случае.118Положим теперь, что в некоторых точках приложения сил Р 1 ,например в точках i = р, q, ... , имеются жесткие опоры; тогда получим неразрезную балку (рис. 140).
Матрица внутренней податливости в ней будет иметь тот же вид, что и для балки без промежуточных опор, а в матрице А следует только вычеркнуть строки, соответствующие силам Р Р• Р q• ••• , целиком передающимся на жесткиеопоры. После этого расчет остается прежним.Возьмем еще неразрезную балку на упругих опорах, нагруженную в точках, расположенных над опорами (рис. 141).
К выражению .а.ля потенциальной энергии -А (4.6) добавляются здесь величины:R~!~oгдеR0 , Rt, ... , Rk-+ Ri/~1 + R;.t~2 + ... + R~IPk•реакции опор; Ро; Р 1 •••• ,Pk-коэффициентыжесткости после них. Соответственно матрица В увеличивается засчет добавления новых диагональных членов:1~В=оо-1Ро·оооp~lооооЗдесь В,. означает матрицу податливости(4.7)для изгибающих моментов.Матрица уравнений равновесия получит вид1оооооооо1оооо1где А- матрица, соответствующая изгибающим моментам(4.8).Дополнительные столбцы диагональной блок-матрицы соответствуютнеизвестным опорным реакциямR0 , R1, R2 ,••• ,вешивающим внешние силы Р 0 , Р 1 , Р 1 , ••• ,Примеры.Rk,частично уравноPk.1. Одноnролетная балка, нагруженная в точках, находящнхся142).на расстоянии о.и.ной трети nролета от опор (рис.119Из(4.7)nопучаемB=6;Jа из~~~ ~~~·(4.8)-А=-~ 11-~ -~~~=Ат,Далее-1114 = 2EJ~ 4 -1 П.5а Jl-14JI'-1~~ 4 -11111 2 -IIJ=6EJII 82JIIJ-I4 -12115аэ -7С=в-1= 6EJ ~15аR=ACAT=_!_2EJIIа2 ба2-1411-1-711;8~6E~I511~ ~II=I:;JII~ ~~·L=frlСле.!),овательио,азу2 =18 EJ (7Pt +BPJ.Для оnределения изгибающих моментов находим:S=-САтL = 2:: ~ I:;J ~-~ -~ 1111-~ -~ 1111~ ~~~ = ; l!i ~ ~·0rсюдаВnрочем, nоследниi! результат ввиду статической определимости балки могбыть попучен сразу путем решения уравнений равновесия с квадратной матри·цеi! А.~·ff!Р, 1р'11'Рис.{j14Zffр~о)р2р1crа)ffP.uc.tЧ.JPIIC.flf'f2.
Двухпролетная балка (рис. 143, а}, nопученпая из предыдущей путемвве.дения жесткой опоры под сило/! Р1 •Матрицы по.!),атливости и жесткости эдесь будут nо-прежнему равныС =2EJ ~5а1204 -IJJ4~'11-1а из матрицы уравнений равновесия остается одна верхняя строка:1А=-:'2 -1 "·~а 'Телерь вычисляем:-111~-1'2~=4BEJ.4 а J-1 ~Баз 'R=ACAT=!_'2 -1 2EJII 4а '' Ба -15а35Ра~У= 4BEJ;L=R-1 = 4BEJ;S=-CAтL= 2:: ~-~ -~lli-11-~114~~~ =i~-~~;М 1 =3а/8;М 1 =-af4.Эпюра моментов в данной балке показава на рис. 143, б.З. Та же балка, что и в предыдущем примере, но промежуточная опора;упругая с коэффициентом жесткости р.
Нагрузка силами Р1 и Р1 , как показанона рис. 144. В ,ll.анном случае14ааВ=а4а6EJ6EJооBEJо6EJ 6EJС=о2EJба-sa2EJBEJ-ба~-12EJ -1баооfiо4 -14о=баооооБа~2EJУравнения равновесия имеют ВИ./1,:2М 1 /а-М 1 /а=Р 1 ;rл.еR--M 1fa+2M 2 fa+R=P 8 ,R = y2fi.реаiЩИя упругой опоры;А=-~: -_ _!_а~ о1СJщ~tовательно,о~2 -1211_! 1 =а -1aU"аПроизвоАЯ операции нq матрицами, нахоАИМт2EJ/124-2111R=ACA =Ба~ ~-21 24+2,Б;g•отку,11.а121откудааsМ1 = 18 + 8 [(12+3;,) Р1 + 6Р2];аМ2 = 18 + 85 [(6 -25) Р•+ 12Р2]:asR= 18 + 85 (7Pl +8Р~.В nредельных случаях ~ = О н; =оо) nолучаем результаты такие же,как в первом и втором примерах.§ 10.ОбобщеИВЬiе деформации, сопряжеИВЬiес моментами в yЗJiax рамыЕсли неизвестный момент определяется в узле, в котором сходятся два стержня, например i-й и i-1-й, то в выражении для работы внутренних сил· этот момент будет содержать лишь следующиечлены:Поэтому деформация Л 1 , сопряженная с моментом М;, будетi;;_ (М н+ 2М;) + 6~1J1 (2М 1 + М;н).Л;= ::1 = 61илиЛ;= Uн/2)гдеxrxr- + (l;/2) хТ.(4.9)1означает кривизну в сечении, расположенном на расстоянииот узла i, равном одной трети длины стержня, обозначенного в индексе.Если число стержней,кающих к узлу,асьЛ;=Здесьжень,Puc.fЧ(jиндексналовой момент;чении,(/1/2) хТ.означает«i»концепримыне равно двум, тостеркоторого взят узxr -кривизну в се-расположенномнарасстоянии одной трети длины этого с'Гержня, считая от рассматриваемогоузла.При этом, как и ранее, предполагается, что стержень не нагружен между узлами и что, следовательно, эпюра кривизны по длинестержня и эпюра моментов прямолинейные (рис.х:§ 11.= 2Ха/3+ Хь/3 = [2Ma!(EJ) +145).ПоэтомуМь/(ЕJ)]/3.Температурвые вапряжеввя в статическивеопределимых системахДеформации элементов системы могут возникать не только вследствие силовых воздействий, но и в результате нагрева, увлажнения, усадки материала и т.
п., а также в результате неточиости из-122готовления и сборки конструкции. Все эти деформации не сопровождаютсянапряжениямиивстатическиопределимыхсистемахне вызывают внутренних сил. По иному дело обстоит в случаях статической неопределимости системы, когда усилия и деформациисвязываются между собой в одну систему уравнений.Рассмотрим влияние температурных деформаций элементов статически неопределимой системы, имея в виду возможность обобщения полученных результатов, и на другие виды несиловых деформаций.Представим полную деформацию j-го элемента Л1 в виде суммы:Л1-где Л~л;-1уо= Лi +Лi,упругая деформация, вызываемая внутренними силами;температурная деформация.Упругие деформации связаны с усилиями зависимостямиа полные деформации с перемещениями системы(2.21).-(2.42),зависимостямиТаким образом, имеемN=C1Y; J.o+1Y=-Aтu.(4.10)ij) и -ло обозначают т-мерные векторы о составляющими лr и л;.На основании(4.10)'ЛУ=-Атu-1°;N=С(-АтИ_).о).Далее, полагая нагрузку отсутствующей (Р = 0), на основании(2.23)получимAN=AC(-Aтu-X0 )=0;АСАтu=-АС).:О,отсюдаи-,: = -Атu =А т (АСАт)-1 Acro.Вычитая из полных деформаций температурные, получим упругиедеформации:)) =Л- ~о =[Ат (АСАТ)- 1 АС -1]Х 0и по ним найдем усилия, вызываемые температурными воздействиями:N=CJ.Y = С[Ат(АСАТ)- 1 АС -1]~0 •(4.11)При равномерном нагреве j-го стержняЛj= aijl1,(4.12)где а.
-температурный коэффициент линейного расширения;температура нагрева j-го стержня;z1 -длинаj-го стержня.t; -По формуле (4.11) легко производить расчет ферм. Для применения ее к рамам необходимо сделать дополнительные пояснения.123В расчетах рам на усилия, вызываемые температурными воздействиями, следует учитывать продольные удлинения стержней л/и сопряженные с ними продольные силы N1• При этом повышаетсячисло степеней свободы рамы.
Например, для рамы, изображеннойна рис.узлов В,146, надоD и Е, аввести дополнительно вертикальные смещениятакже горизонтальные смещения узловD и F(кроме уже учитываемого по обычрному расчету горизонтального сме-ВЕDСlАщения узла В). Число степенейсвободы рамы, показаиной на рис.146, становится равным 3 х 2 = 6.Составить уравнения равнове-r;F"сия с добавлением новых внутрен-,..;нихчтоРис. fЧосилжереннейлучаеттрудакасаетсянесоставляет,матрицыподатливости, тодополнениеввнут-она по-видедиагонального блока коэффициентов EF1 /l1, соответствующих продольным силам N1Л1 EF1 /l;.
Обращение усложненной матрицы вну=тренней податливости не вызывает дополнительных трудностей,так как результат обращения будет тот же, что и для матрицы бездополнения, но с добавлением диагонального блока коэффициентовl1 /(EF1).Температурные деформации Лj,силами, определяются по формулесопряженные с продольнымипричем за температуру(4.12),принимают температуру оси стержня.Температурные деформации, сопряженные с узловыми моментами, будут отличны от нуля лишь в случае различных температурнаружных и внутренних кромок стержней. При заданной везде одинаковой наружной и внутренней температурах здания кривизна ховсюду одинакова и равнах/= (t~- t~) ath1•(4.13)t; -Здесь t~ инаружная и внутренняя температуры;сечения }-го стержня.По формулам (4.9) и (4.13) получаем:h1 -высотадля узла с двумя стержнямиоl1-1*l1Лi=-yXJ- 1 +2xj=дляостальныхузловых+ hft1 ) ;(4.14)моментовоЛ1-a(t~-t~)lJСовокупность значений Лj,2(4.15)ht"полученныхпо формулам(4.12),ro, который и следует подставить(4.14) и (4.15), составляет векторв формулу (4.11) для определения124а (t~-t;) (l/_ 12h1-1вектора внутренних сил.§ 12.
КивематичеСJСий метод построения линий ВJIИЯВИЯПрипомощи линий влияниявнутренние силы определяютсяпо формуле1N (а)=~ К (х, а) q (х) dx,(4.16)огде К (х, а) -ордината линий влияния усилия в точке с абсциссой а от единичной сосредоточенной силы, приложенной в точкес абсциссой х.Уравнение (4.16) выражает связь между внешними q (х) и внутренними N (а) силами, заданными в виде функции некоторойкоординаты.Всистемахимеет видсконечнымчисломстепенейсвободыэтасвязь(2 .41)N =SP,гдеS =-САтL. Роль конечномерных векторов N иции N (а) и q (х), а роль матрицыпреобразования (4.16).S-J5играют функядро К (х, а) интегральногоКроме того, мы имеем в конечномерных системах зависимостьмежду перемещениями и деформациями(2.43)и= sтл,где sт= -LAC.Переходя к системе с бесконечным числом степеней свободы,следует заменить векторы и и ~ функциями и (а) и Л {х), матрицу-sтядром К (а, х), получаемым из ядра К (х, а)кой переменных х и а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
