Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найтиэти температурные напряжения нетрудно из общей схемы расчетарамы по методу сил.Построим по заданным температурам эпюру осевых удлинений~~ и эпюру кривизн х 1 в основной статически определимой системе.Перемещения по направлениям отброшенных связей определятсяпо формуле Мора(2.56):'/11ообu= ~ ~ M1xt dx+ ~ N 1et dx.(3.12)Здесь М 1 н N1 -моменты н продольные силы в основной системеот действия единичной силы, приложенной по направлению i-йотброшенной связи. Суммированне производится по всем стержням.оамы. Во многих случаях вторым членом в формуле (3.12) можноnренебречь ввиду его относительнойt/2малостиoJzпосравнениюсnервымчленом.Полученные значения перемещеннй f> 11 подставляются в канонические уравнения метода сил (3.2) в ка·честве свободных членов:бнХt +бtzXz+ ..
. +бtпХп+би= О;621Х1 + 622Х2 + ... + бzпХп + 621 =О;рис.fffОпределенные нз этих уравненийусилияв отброшенных связяхxlн создают температурные напряженияввиде суммсамонапряженнй, вызываемых каждым усилием Х 1 •При расчете рамы на вынужденные смещения узлов, например{)Садку опор, следует определить перемещення f> 1, которые этисмещения вызовут в основной системе по направлению отброшенныхсвязей, что можно сделать геометрическим путем. Например, присмещении узла В на величину !:! 8 вправо в основной системе, имею·щей вид трехшарнирной арки (рис. 111), поворот в шарнире С,где была отброшена i-я связь, равенf> 1= !:! 8 jh.Канонические уравнения метода сил здесь получают вид:6нXt+6aXz+ ...
+6tnXп+6t= 0:6z1X1 + 622Х1 + ... + бzпХп +ба= 0,..... ...j... . ... . . . . .бntXl +бпzХz+ ... + бппХп + бп =О.(3.13).Для nостроения окончательной эnюры моментов следует суммировать все эnюры самонаnряжений, соответствующие усилиям Х 1 •Расчет упрощается, если смещения узлов nроисходят по направлениям отброшенных связей; тогда свободные члены б 1 уравнений(3.13) оказываются заданными.§ 11.Метод перемещевий:о) .3и3f!Н111!11 cucmeнtJ1) Dcнui!НIR сиетемиqtPvc.MP~.f/1связей nри этом nреnятствует поворотам узлов, в которых сходятсястержни, а часть-поступательным смещениям узлов.Поскольку в заданной системе имеют место и повороты и поступательные смещения узлов, то основной системе надо придатьтакие же повороты и смещения, добиваясь равенства нулю реакцийвсех введенных связей, сопротивляющихся этим поворотам и смещениям.
Тогда основная система станет вполне эквивалентной заданной.Число независимых поступательных смещений узлов рамы можноопределить следующим образом. Введем во всех узлах рамы шарниры. Если при этом получится геометрически изменяемая система,то необходимы связи против поступательных смещений. Их следуетввести так и в таком минимальном количестве, чтобы восстановилась геометрическая неиэменяемость системы.Значения реакций в связях при единичных поворотах концовбалок и при единичных относительных смещениях опор можно оnределить следующим образом.Общее решение дифференциального уравненияd 4y/d.t4 =0для прогибов балки при отсутствии нагрузки будетУ= С1х3 +С2х 2 + СзХ +С4 и <р = dy/dx= ЗС 1 х2 + 2С 2 х+С 3 •При х =О и х= lУо =С,;у,= С1/3 + С2!2 + QJolРешим уравнения=-С1+ Уо;QJo = Сз;<pz = 3CI/2(3.14)(3.14) относительно С 1 и С2 :(<pol +Yo-Yz> · 21 +(ЧJo-q>z) 122/4-3/4=21 4 -31~-CJ:o[2С _(<poi+Yo-Y/)·31 1 -(ЧJo-(/J/)1 3 _2 -+ 2С2/ + QJo·+ ~~ _ 2 (yz-Yo),[S-+'Р12(/Jo-, -т[3'3(у,-уо)12•Теперь определим:=-EJ d 2y/dк2 =-EJ (6Ctx+ 2С2);Mo=-2EJC 2; M 1 =-EJ(6C1 l+2C 2); Q=dMtdx=-6EJC1Ми, подставив сюда значения С1 и С2 , получим:+ (2EJ !l) 'Vz- (6EJ /l (Yz- Уо);М 1 = - (2EJ/l) q•(4EJ!l) <pz + (6EJ!l (yz- у 0 );Q = - (6Е J // QJn- (6Е J /Z IP1 + (12Е J /l (Yz- Уо).М о= (4Е J !1) QJн2)2)0-8)2)3)Отдельно влияния перемещений ((' 11 , ЦJ 1 и {).
.== у 1 - у 0 показанына рис. 113.Определим теперь реакции от перемещений концов балки,с одной стороны заделанной, а с другой шарнирно опертой. Изусловия М 1О найдем связь между постоянными С1 и С2 :=вс.rТогда уравнение(3.14)+ 2с2 =о:= -ЗС1L.для у 1 получит виду1 = -2С 1 / 3ОтсюдаС2+ QJol + Уо·иЛ1о = (ЗЕ J !1) QJo- (3Е J // 2 ) (у,- Уо);Q= (-ЗЕJ /l 2)Ч'о+ (ЗЕ J!13)}Для этого случая влияния nеремещ.ений tfo и у 1 - у 0на рнс.56114.(3 15)(у,- Уо)·=li nока::s<ШЫРеакции в балках от нагрузки определяются обычными методами сопротивления материалов.
Для некоторых видов нагрузкиэти реакции указаны на рис.115.Определим еще реакции балки при действии на нее температуры. В балке, заделанной двумя концами, температурное искривление Y.t, вызываемое разностью температур на внутренней и внешней кромках, полностью компенсируется деформациями, вызываемыми приложеиными по концам балки моментамиМо=Ml = [(t8 - t 8 )afh] EJ,которые и являются реакциями, передающимиен на узлы рамы притемпературном воздействии..~~(}=!!_(}= 5Р2t 2t 15f/2Рис.ff5Рис.
!!оВ балке, заделанной одним концом и шарнирно опертой другим,угол поворота одного конца (рис. 116)(/Jo= [(tв- tн) afh] lуничтожается моментом в заделке балки, равным, согласно(3.15),Мо = ЗЕJ [(tв- tн) afh]с поперечной силойQ=- (3EJ/l) [(t 8-tн) afh].Осевые температурные удлинения вызывают реакции в соседнихстержнях рамы. При определении этих реакций упругое укорочениесамой балки может не учитываться ввиду малого его влияния.Полные реакции во введенных связях определяются путем суммирования реакций отдельных стержней, участвующих в деформации основной системы, как будет показано ниже в примере расчета.§ 12.Канонические ураввевИJI метода первмещенийСмещение i-й связи на величину Z 1 требует реакции в этойсвязи, равной ruZ;, где ru- реакция i-й связи при смещении последней4на единицу.А. Р.
Ржаивцыи97Смещение другой, k-й связи на величину Zk вызывает реакциюв i-й связи, равную r,kzk, где rik- реакция i-й связи от смещенияk-й связи на единицу.Полная величина реакции в i-й связиГt1Z1+ Г12Z2 + ... + ГtnZn + Гtq•где r19 -реакция i-й связи основной системы на действие нагрузкичисло введенных связей.Для того чтобы основная система стала эквивалентной заданной,q; n -полныереакциивовсехвведенныхсвязяхприравниваемнулю.Получаем систему уравнений:rнZ 1 +ri2Z 2 + ... +rtпZп+rt 9 =0; }r2 1Z1+ r 22 Z 2 + ... + r2пZn + rГntZt+ Гп2Z2+• ..
+rппZn +rпq =О,=О;. . . . . . . . . . . . . . . . 29. . . .(3.16)в которой неизвестными являются смещения Z 1 по направлениямвведенных связей.В связях, препятствующих поступательным смещениям узлов,возникают реактивные силы,тамузлов,делятся-наа в связях,препятствующих поворореактивные моменты. Соответственно смещенияпоступательныеиугловые,последниеZ1измеряютсяв углах, рассматриваемых как бесконечно малые величины.Уравнения (3.16) называются к а н о н и чес к и м и ура вн е н и я м и м е т о д а пер е м еще н и й.
Коэффициенты этихуравнений обладают свойством симметрии:Гtk= Гktoчто следует из теоремы о взаимности реакций (см.§ 14 гл. II), применеиной к основной системе метода перемещений.Проверкой правильиости расчета рамы методом перемещенийслужат равенства нулю суммы моментов, передающихся на каждыйузел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия равновесия узлов или частей рамы.Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждойединичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решенияканонических уравнений.§ 13.Пример расчета рамы методом перемещевийРассчитаем методом перемещений раму (см.
рис. 94), которуюмы уже рассчитывали методом сил (см. § 6 гл. III).В основной системе узлы 1, 2 и 3 (рис. 117) закрепляются от поворота и вводится связь 4, препятствующая горизонтальному перемещению узла 3, а следовательно, и всех остальных узлов.Деформированные состояния рамы от единичных смещений понаправлениям введенных связей показавы на рис. 118, а от внешнейнагрузки q - на рис.не вызывает).98119 (нагрузка Р деформаций основной системыСделаем пояснение относительно смещения рамы по направлениюгоризонтальной связи в узле 3.
Вставляя шарниры в узлах 1, 2Pvc.117BBBt~HHHРис.1192Pvc.120и3,Pvc.118получаем систему с одной степенью изменяемости (рис.120).Введение горизонтальной связи делает эту систему неизменяемой.При смещении по направлению этой связи узлы 1, 2 и 3 смещаются4*99толькопо горизонтали. Следовательно,вертикальные проекциинаклонных стержней и углы наклона последних не изменяются.Это означает, что наклонные стержни смещаются поступательно и,очевидно, не будут вызывать реакций.Система канонических уравнений метода перемещений здесьимеетвид:r 11 Z1 + r12Z2+ r13Z3-г r14Z1 + r1q + r1p =О;,2lzl + ,22z2 + '2зZэ + ,24z4 + Г2q + r2p =О;ГзtZtГ41Z1+ Гз2Z2 + ГзэZз + rмZ4 + Гаq +Гэр= О;+ Г42l2 + Г4зZз + Г44Z4 + Г4q + Г4р = 0,причем Z 1 , Z 2 и Z3 означают углы поворота узловгоризонтальное смещение узла 3 или 1.Рис.1, 2и3,а Z4-t2fДля определения коэффициентов и нагрузочных членов этихуравнений суммируем реакции, возникающие во введенных связяхот изгиба стержней.
Изгибные жесткости стоек здесь можно полоЖить равными единице, а наклонных стержней -двум.Реакции связей 1, 2 и 3 находятся путем суммирования реактивных моментов в соответствующих узлах,реакция связи4-путем суммирования поперечных сил в стойках. Таким образом,находим:при повороте узла1на уголZ1 = 1r11 =3·1/4+4·2/5=2,35; Г1 2 =Г2 1 =2·2/5=0,8;Г14 = Г41 = -3 · l/4 2 = -0,1875;100Гtз=Гзl=Оiпри единичном повороте узла2Г22=при4 · 2/5 + 4 · 2/5 +4·1!7 = 3,771; r 23 = r 32 = 2 · 2/5 = 0,8;,24 = ,42 = -6.
1/7 2 = -0, 1224;единичном повороте узла 3r 33 = 4 · 2/5 + 3 · 1/4 = 2,35;г34= r 43 = -3 · 1/42 = -0,1875;при единичном смеuцении в направлении связи4,44=3·1/4 3 ,12·1/7 3+3·1/4 3 =0,1287;свободные члены равны:Гlq= - Гаq = q (- 42;12) = -1 ,333q;Г2q =О;Г4 q=0; Г 1 р=Г 2 р=Гзр=0; Г4р=-1.Вся система уравнений получает вид:2,35Z 1 + 0,800Z2 - О, 1875Z4- 1,333q =О;)o,800Z1 + 3,771Z2 + o,800Za- о, 1224Z4 =о;(3. 17>0,800Z2 + 2,35Z3 - О, 1875Z1 + 1,333q =О;-0,1875Z 1 - 0,1224Z 2 - 0,1875Zз+ 0,1287Z.a- Р =О.Ввиду симметричной структуры рамы можно было ввести обобщенные симметричные и обратносимметричные неизвестные деформации подобно тому, как это было сделано при расчете даннойрамы методом сил.
Однако проще преобразовать непосредственнополученную систему уравнений, взяв полусумму и полуразностьZs" о.,2~7 0,197PIIC. 122101первого и третьего уравнений. Тогда получим систему трех уравнений:1,175 (Z1 + Z3 ) + 0,800Z2 - 0,1875Z, =О;0,800 (Z 1 + Z3 ) + 3,771Z2- 0,1224Z, =О;-0,1875 (Z 1 +Zз)- 0,1224Z 2 + 0,1287Zt =1Р,соответствующую обратносимметричным деформированнымяниям рамы,(3.18),состои одно уравнение1,175(Z1 -Z 3)-1,333q=0, (3.19)соответствующеесимметричнойдеформации.Решив систему уравнений (3.18)и уравнение (3 .19) или систему уравнений (3.17), получаемZ1= (Zt + Z3 )/2 + (Z1- Zз)/2 =Z2 = -0,0165Р;Zз = (Z1 + Zз)/2- (Zt- Z3 )/2 == 0,814P-0,567q; Z4 = 10,124Р.= 0,814Р + 0,567q;Каждому единичномуосновной системы,состояниюпоказанномунарис. 118, соответствует своя единичная эпюра моментов (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
