Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогдаперестанов·1и (а)= ~ К (а,х) Л (х) da.оПусть Л (х) представляет собой единичнуюдеформацию в точке х. В этом случаесосредоточеннуюи (а)= К (а, х).Так как а и х представляют собой различные обозначения однойи той же координаты, то можно произвести замену обозначений ана х,а х на а;получими (х) =К (х, а).Такой вид будет иметь функция перемещений и (х), возникающаявследствие единичной сосредоточенной деформациив точке а.Отсюда приходим к следующему выводу: функция К (х, а),т. е.
ордината линии влияния в точке а, представляет собой кривуюперемещений и (х)от единичной сосредоточенной деформаt{иив точке а.125Покажем это на примерах.Линия влияния момента Ма в однопролетной балке (рис. 147, а) имеет вид,показанныii на рис. 147, б. Если создать в точке а единичную сосредоточеннуюдеформацию, соответствующую изгибающему моменту н представляющую собойперелом оси балки на единичный малый угол, то ось балки получит вид ломанойлинии, изображенной на рис.яниямоментаМа(рис.147,147,в. Эrа линия в точности повторяет линию влиб).~··1jPup.tlt9а)Рис.147'!/Puc.1Ч8Puc./50Линию влияния поперечной силы можно получить, создав сосре.D.оточенную еJJ.иничную .11.еформацию, соответствующую поперечной силе, т.
е. сдвигв сечении а на еJJ.иницу с сохранением углов наклона оси по обе стороны СlJ.Вига(рис. 148).То же самое имеет место в статически неопре.11.елимых неразрезных балках(рис. 149).126Построим еще линию влияния усилия Nаь враскосе а- Ь фермы(рис. 150, а) при перемещениях груза по нижнему поясу.
Единичной дефQрмацией, со:лветствующей усилию N аЬ• будет сближение уЗJJов а и Ь на единицу.При этом очертание нижнего пояса попучает вид, изображенный на рис. 150, 6.Это и будет линия влияния усилия Nаь при движении груза по нижнему поясуфермы (рис. 150, в).ГЛАВАVКРИВЫЕ СТЕРЖНИ И АРКИ§ 1.Двухшарвирные арки в рамы с :крввоJ.DIВеiвымвстерЖWIМВНаиболее удобным для расчета статически неопределимых рамс криволинейными стержнями является метод сил. Особенностьюрасчета здесь является то, что эпюры моментов на криволинейныхучастках рамы будут криволинейными.
Поэтому при вычислениии)Рис.15/JIBIBBHII14!JBIJBBHHlllBBBBBHIJIBBПBt~М152~1 ~~~l•коэффициентов канонических уравнений метода сил по формулеперемещений (3.6) нельзя использовать различные упрощенныеметоды интегрирования, например способ Верещагина, и приходитсяприменять прямые аналитические или численные методы. В остальном расчет криволинейных рам не вызывает принципиальных затруднений.127Рассмотрим,например,круговую двухшарнирнуюаркупостоянного сече·ния (рис.
151). Нагрузку примем равномерно распределенной по горизонтальнойпроекции арки. В качестве основной системы эдесь целесообразно взять криволинейную статически оnределимую балку с отброшенной горизонтальной связью,замененной лишним неизвестным Х- распором арки (рис. 152).Эпюра моментов от единичного распора в основной системе имеет вид, покаэанный на рис.формулой153,а; ординаты этой !iПюры могут быть выражены аналитическиМ1Нагрузка=....:.. R (cos <p-cos а.).дает моменты в основной системе (рис.q153,б)Mq = (q/2) (1 1/4 -х1) = (qR 2 !2) (sin 2 а.- sin 2 <р),Каноническое уравнение метода сил будетб 11 Х+б 1 q=0.Для определения коэффициентови611пренебрегая влиянием про.~~;ольныхи(5.1)nрименяем формулу перемещений,b1qпоnеречных сил:Интегрирование здесь nроизводится по .!(ЛИНе аркиs.Переходя к переменной <р,булем иметьds=R d<p;а;а;-а-ам~ d<р=в: s(cos<p-coscx)SElEJ=:; S <р-2=:; (а.+ а.
а.2d<p=а;(cos2cos а. cos <р +cos" а.) d<p =-аsinRЗ= Elcos -4 cos а. sin а.+ 2сх coss а.)=(а.-3sin а. cos сх+2сх cos" а.)иа;sа;SMElMq d<p=- qR'2EI1-а(cos <p-cos а.) (sln 2 а.- sin 2 m) dm"' "'--аа;= - ::;S(sin а. cos <p-cos а. sin2а. -cos <р sin" <p+cos а. sin2 <р) d<p =11-а;= - ;:; (2 sin2 а. sin а.- 2сх cos а. sin" а.= - qR' ( _!2EI 3f sinз а.+ а.
cos а.- sin а. cos2 а.) =sinз а.+ 2сх соsз а.- а. cos а.- sin а. cos11 а.).~юда получаем значение распораХ= - cS 1q_б 11 -128ql5_ (4/3)2sinз а. +2сх соsз сх-сх cos а.- sin а.а. - 3 sin а. cos а.+ 2сх cos2 а.cos" а.иокончательныезначениямоментовв аркеМ =М Х +М = - qR 2 [(4/3) sin 3 а.+2а соsЗ а- sin а cos' а.-а cos аХ1q2а-3 sin а cos а.+2а cost аХ (coscp-cosa.)- (sin 2 а- sin2cp)В частном случае nолуциркульноli арки а.4X=-qR·Зn'=J.n/2; sin а.= 1; cos а=О41)M=-qRZ ( -coscp---coszcp.Зл2Эпюра моментов для этого случая показана на рис.
154. Максимальный момент при ер= О здесь равен 0,0756 qR 2 • Минимальный изгибающий момент в полуциркульной арке равен -0,0901qR 2 •Метод аналитического интегрирования обычно требует сложныхалгебраических преобразований, причем численная реализация..'lt+++++i++fJ++++f+!+Рис.151(Рис.155окончательных формул достаточно трудоемка. Поэтому для расчетакриволинейных арок и рам лучше использовать численные методЫинтегрирования.Покажем, как это делается при расчете nараболической двухшарнирнойарки, изображенной на рис. 155. Арка нагружена вертикальной сосредоточенной силой Р, приложенной в ключе арки. Сечение арки считаем постоянным.Приняв в качестве неизвестного усилия распор Х, а в качестве основнойсистемы криволинейную балку (рис.
156, а), найдем моменты от еп.иничного неизвестного Х = 1 и от нагрузки. Уравнение оси арки будетf= f (Х) =fo (I-4X2/L 2),где L - пролет арки; х - горизонтальная координата;арки. Моменты М 1 от усилия х1 равны (рис. 156, б)=М 1 =-1МоментыMqto -стрелаIЩ!J,ъема· f (х)=- /0 (l-4x 2;Lz).от нагрузки в правой половине арки буl).ут (рис.156,в)Mq= (PL/4) (l-2xjL);такие же моменты будут и в левой половине арки.Для опреn.еления перемещений по направлению неизвестного5А. Р. Ржаницыuусилия129заменимsаркиинтегрированиепо длине осиинтегрированием по пролетуПри этом учтем, чтоL.ds = dxjcos q>,q>-гдеуголнаклонац 2 м•бн= S Е;осиарки;dxcosq>;-L/2ц2 ммr6tq =dx-~-q - -Jcosq>·EJ-L/2Далее определим:P=f1.r-- .r= r 1 tg 2 q> = r 1 t••;cosq>++f'=-BfoX!L 2 •Положив/ 0 /L=1/4,будем иыетьIjcosq>=YI +4x2jL2.Численное интегрирование производимпо формуле СимпсонаsУьdx=Ь3:а (Uo+4Yl +2Ув+а+ 4uз+···+2Уп-в +4Yn-l +Уп)и,учитываяси:~метриюпо половине ее длиныарки,(табл.только5).ТаблицаL"о-7: ,.о;410,960,840,640,360,5о0,10,20,3Таким образом,1cos fj)м~111,01981,07701,16621,28061,4142имеем:10,93980,75990,47770,1660оn L!!_q_М ножи-1т.- cosfj)тел иPL112242418,539J\.11)\.f'lfo PL10,25000,19580,13570,07460,0231ооnL1 1Множите·COSfj)0,2500,2000,1500,1000,050LPL2fov., PL 36 19 =-2-ЕТ З~ 1,676=-0,1117 ЕГ=-0,02793 EJ;Х = - 01"/6u =0,785Р.130.nи224241-1,6766 11 =2 EJ 3 .
10 8,539=0,569 EJ =0,03558 EJ;foPL5Наконец, определяем значения полных моментов в арке по формулеМ=М 9 +ХМ 1(рисПонайденным значениям построена окончательная эпюра ~оментов156, г). Мы видим, что распор значительно енизип значения изгибающихмоментовварке§ 2. &вянве про.цО.Льных cВJJ в по.цатJIИВОСТRопор аркиВвиду малости изгибающих моментов в двухшарнирной арке относительно большее влияние nриобретают в ней nродольные силы,которыми часто уже бывает нельзя nренебрегать, как это делаетсяпри расчете рам. При этом коэффициенты б 11 и б 1 каноническогоуравнения (5.1) следует оnределять по формулам (3.5) и (3.6):(5.2)где N1 и N 9 - nродольные силы в основной системе (криволинейнойбалке) от действия единичного распора Х = 1 и от нагрузки.Для арки nсх.'Тоянного сечения формулы (5.2) могут быть представленыввиде:611 =J~ N; ds= Е~ ~ (Mr +r'Nt) ds; 1Mi ds+ Е~Ells-= Е~619(5.3)(M 1 M9 +r'N 1N9 )ds,s= J IF- квадрат радиуса сечения арки.Вернемся к предыдущему nримеру расчета арки (см.
рио.Здесьгде r1N 1 = -1· cos q>iN9 == (- Р/2) 1sin q> 1·Далее получаем:SNf ds =•- Ц2NNS•1r9Nfdxсов 'Р==.-2r./2L/2rуcos q> dx==ds = 2Р ) sin q> dx == 2Р)·155)./2dx+ 4x•JL•12 х dxV 1+4x1 /L 1=0,8814L;= 0,4142L.С учетом(5.3) будем иметьбlJ- U,U3558L 8J(EJ) +О,8814Ц(ЕF)={ L8 /(E /)](0,03558+ 0,8814tЛ1 );6lq = \Р L8 /(EJ))(-0,0279 +О,2071/Л 1 ),где Л- L/r-гибкость пержня того же сечения, что и арка, и ми-нuй, равной пролету арки.Положив Л= 20·(довольно толстая арка), nолучим6 11 =0,03778Ui(EJ);b~q=0,0274PL 3 /{EJ);Х =0,725Р131вместо Х = О, 785 Р, полученного ранее без учета влияния продольныхсил.В данном случае продольные силы внесли незначительную поправку в расчет.
Большее значение будет иметь горизонтальнаяподатливость опорПусть157).арки (рис.леваягоризонтальная опора арки имеет видтонкой затяжки, передающейусилие направую неподвижную опору (рис.восновнуювключить158,системузатяжку,а). Тогдаследуетразрезавее у правойопоры и припожив неизвестный распор Х вместе разреза (рис. 158, б).Введя в коэффициент б 11 работу силы Х = 1 на удлинении затяжки от этой сильi, получим~+Ifflfffiflft?~~~~б 11 =sNlSMlEJ ds+ EFds+I•+ EF~(Е3 ииF3-площадь3Lмодуль упругостипоперечногосечения затяжки).Свободный член 619 уравнения (5.1) здесь останется прежним,так как нагрузка в разрезанной затяжке усилий не вызывает.Таким образом, получаем значение распораХ =-бlq/бн = б19 /[б~1где 6~1-+ L/(EaFJ],значение коэффициента б 11 , найденное без учета удлинения затяжки.§ 8.Бесшарнирвые арки и кольцаБесшарнирная арка (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
