Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 15
Текст из файла (страница 15)
100)QA=-Qв= 1,6.нагрузкиНа участке3-4На участке2-5Q=-1,712/4 = 0,428.Q = (1,244В стержнях0-1, 3-4и+ 1,249)/1 = 0,356.2-5 эпюрамоментов может быть получена вращением оси стержня по часовой стрелке, следовательно,g·tкН/нrfle)s,oooР-IКН.lt,OOOРис. 17здесь поперечные силы положительны. Поперечные силы, возникающие вследствие опорных моментов в стержнях 1-2 и 2-3, отрицательны, так как линии опорных моментов получаются~ JBfBlH8 _вращениемtBHBBJfl8 ·-~6Рис.Рис.9699Рис./00.оси стержня против часовой стрелки.
Общая эпюра поперечныхсил в раме показана на рис. 101. Значения поперечных силданывкН.·Продольные силы находим из условий равновесия узлов.87Узел102, а). Проектируя силы на горизонталь,1-0,216 + 0,944 siп а+ N12 cos а= О;N12 =-0,784/cos а-0,944 tga= -0,784.5/4-0,944.3/4 = -0,990-0,708 =-1,688,1(рис.а проектируя силы на вертикаль,получаемнаходимN01 +0,944 cos а+ 1,688 siп а= О;N 01 = -1,688 · 3/5-0,944 · 4/5 = -1,768.о)P=f0,216~Узел~""'Рис.102102, б}. Аналогично имеем-0,428- 1, 709 siп а- N 23 cos а= О;N 211 =-0,428 · 5/4-1,709 · 3/4 =-0,535- 1,282 = -1,817;N 3~ + 1,709 cos а- N23 sin а= О;N 3.~=--1,709 · 4;5 -1,817 · 3;5 =-1,367 -1,090 =-2,457.3(рис.2~0, 712= А~~-~688+2/ff ;""~. J7750,581==-t,Щ+!,lf'Puc.tOJРис.Продольную силу/Oifв средней стойке определяем изусловияравенства суммы продольных сил в~ всех стойках вертикальнойнагрузке:N311 =-8+2,457 + 1,768=-3,775.88Для проверки(рис.
103):можно составить условия равновесияузла2-0,712. 4/5 + 0,583. 4/5 + 2,256. 3/5-l,491-3t5-0,356=-0,0002;0,712. 3/5 +0.583. 3!5+ 2,256. 4/5 + 1,491. 4;5- 3,775 = -0,0004.Точность подсчетов является приемлемой.Полная эпюра продольных сил показана на рис.§ 7.С о с т о я н и е мсамоуравновешенное104.СостоянИJJ самонапряженияс а м о н а пр я ж е н и я называется такоенапряженноесостояние,котороевозникаетбез нагрузки. Состояния самонапряжения могут возникать тольков статически неопределимых системах Действительно, в статическиопределимой системе число уравнений равновесия для определениявнутренних сил равно числу последних и при отсутствии нагрузкисистема этих уравнений имеет одно-единственное нулевое решение.ЭпюрыРис.105·моменто6Рис.105В статически неопределимых системах состоянием самонапряжения можно считать такое, которое возникает в статически определимой основной системе под действием усилия Х;, заменяющегоотброшенную i-ю связь.
Кроме усилий в элементах основной системыв данное состояние самонапряжения входит усилие Х; в i-й связии нулевые усилия в остальных отброшенных связях. Таким образом,получаем самоуравновешенное напряженное состояние заданной статически неопределимой системы.Всего вnраз статически неопределимой системе возможноnсостояний самонапряжения, соответствующих усилиям Х 1 , Х 2 , ... ,...
, Xn в отброшенных связях основной системы. Каждое из этихсостояний самонапряжения определено с точностью до множителя Х;.Любая линейная комбинация состояний самонапряжения является также состоянием самонапряжения. Однако линейно независимых состояний самонапряжения будет только n.В один раз статически неопределимой системе существует толькоодно состояние самонапряжения,которое ~ожет бытьумноженона любой постоянный множитель. Это состояние самонапряженияможно получить различными способами. Например, из системы,89изображенной на рис.105, можно образовать различные статически106. Однакоопределимые основные системы, показанные на рис.все они дают состояниясамонапряжения,отличающиесядруготдруга только множителем пропорциональности.В системе два раза статически неопределимой, показаиной нарис.107,а, могут возникать два линейно независимых состояниярис.самонапряжения (рис.PIIC.
108107107,б, в). Для различных основных статически определимых систем, образуемых из данной системы отбрасыванием двух связей, получаем различные пары состояний самонапряжения, но все они могут быть получены друг из друга линейным преобразованием и, следовательно, линейно независимыми являютсятолько два состояния самонапряжения. Например, состояние самонапряжения, изображенное на рис. 108, получается как разностьсостояний самонапряжения, изображенных на рис.107,в, б.Выражение энергии ввутреввих cИJJстатически веопредеJIИМой системы§ 8.Возьмем состояние самонапряжения, вызываемое усилием Х 1в i-й отброшенной связи основной системы, и определим энергию А 1внутреннихсилэтогонапряженногосостояния,накапливаемуюна полных деформациях системы.
Эта энергия должна равнятьсяработе внешней силы Х 1 на перемещениях основной системы по направлению этой силы:а так как, согласно(3.1 ),61 = б11Х1 + 61zXz + ... +б;пХп + б;р,тоА;=Xt (бilXl + 612Х2 + ... + б;пХп + 6;р)·Работа же внутренних сил всех состояний самонапряжения системы будетnnА=~ А;=~ X;(б;tXt+6;2Xz+ ... +6;пXn+6;p)=i=li=l= бнХ; ++ ...+6п1ХпХ1+6п2ХпХа+• •90612X1Xz +· ..
+ б1nX1Xn ++ 621Х2Х1 + б22Х; + .•. + б2пХ2Хп +... +•+ бппХ~+бlрХ1+62рХ2+• • ·+.tJпpXn•(3,7)Сюда следует добавить работу нагрузки на перемещениях,вызванных в основной системе как самой этой нагрузкой, так и усилиями Х,. По теореме о взаимности работ работа нагрузки на перемещениях, вызванных усилием Х;, равна работе усилия Х 1 наперемещениигрузкой, т. е.t>,P, вызванном по направлению этого усилия наX,l>;p· Работа же нагрузки на перемещениях, вызванных всеми усилиями, действующими на основную систему, равнаn~ б1рХ 1 +брр·(3.8); ... аЗдесьl>PPозначает работу нагрузки на перемещениях, вызванных в основной системе самой этой нагрузкой.Добавляя выражение (3.8) к формуле (3.
7), получим полнуювеличину энергии внутренних сил статически неопределимой системы:++ .................. ·+Т= бнХ:+ б1zX1Xz+· •. +б1пХ1Хп+ бz1XzX1 +ба аХ~+ ... + бьХаХп ++бnlXnXl +б2nXnX2+•• .+бппХ~++ 2бtpXl + 2б2рХz +•. •+ 2бпрХп + брр•(3.9)Определим, при каких значениях Х 1 энергия внутренних усилий статически неопределимой системы будет иметь минимальноезначение. ДЛя этого надо приравнять нулю частные производвыедТ /дХ1 и решить систему уравнений:дТtдХt = 2бнХt + (б12+б2t) Х2+·.
. . + (бtn + бnl) Xn + 2бlр =О;.•дТtдХz = (бzt +б12) Х1 + 2бzzX2+ .•••. . + (бап+бп2) Хп+ 2бsр=0;дТ/дХп = (бпl +бlп) Х1 +(бпа+б:~п) Х22бппХп 2бпр =О....+Учитывая, что+(8.10)+...t>1" = l>"1, и сокращая на два, получим уравнения:бнХ1 +б12Хz+ .•• +бlпХп+бtр=О;б21Х1 +ба2Хz+ ••• +бzпХп+бар=0;совпадающие сканоническими уравнениями метода сил.Таким образом, состояния самонапряжения в сmатически неопределимых упругих системах без начальНЬIХ напряжений maкot~t~~,что энергия внутренних сил cucme.мw является .мини.tиlльноа.91§ 9.Начальные напряжения и предварительнонапряженвые конструкцииКроме состояний напряжений, вызываемых в статически неопределимой системе нагрузкой, возможны также самонапряжения,не связанные с нагрузкой и не исчезающие после снятия последне!i.Такиенапряженияназываютсяо с т а т о ч н ы м и или н ач а л ь н ы м и (что для упругой системы одно и то же).
Они могутбыть вызваны искусственной деформацией элементов, например,путем их нагрева или натяжки при сборке конструкции. Такие начальные напряжения распределяются по элементам системы, образуя возможное для этой системы состояние самонапряжения.В статически определимых системах начальные напряжения существоватьнемогут.С помощью предварительного напряжения элементов статическинеопределимой конструкции можно добиться более равномерногораспределениянапряжений и создать для работыконструкциирв стадииупругой деформации наиболее благоприятные условия.
Впрочем, это преимуществао 1'----:::r~--~~-'~руменьшаетсяможетсовсемпослепереходаиисчезнутьработыконструкции в стадию пла·стической деформации (см.гл.IX).Наиболеернымцелесообразпредварительноенапряжение оказывается в техPvc./09Pvc. tfOслучаях,когдаконструкцииэлементыне воспринимают сжатие (гибкие нити, тросы) или растяжение (бетон, каменная кладка и пр.). При этом путем предварительного напряженияможноизменитьзнакусилиявэлементеитемсамымвключитьзтот элемент в работу конструкции.В качестве простого примера предварительно напряженной конструкции рассмотрим трубку, затянутую болтом (рис. 109).При отсутствии нагрузки растягивающее усилие в болте N~равно сжимающему усилию в трубке -N~. Если к концам болтаприложять внешнюю растягивающую силу Р, то внутренние силыв болте и трубке определятся из условия равновесия внутреннихивнешнихсилNI+N2=Pи условия совместности деформаций трубки и болтаN 1 //(E 1F 1) - N 2 l!(E 1 F 2 ) = Ло.Последнее условие выражает, что разность между абсолютнымиудлинениями болта и трубки равна постоянной величине лредварн-92тельного удлинения болта Л 0 • Решив уравнениясительно N 1 и N 2 , лолучимNNP!(E2F2)+'Ao!l1= l!(E 1 FJ+ l!(E 2F2);(3.9)и(3.10)отноP!(E 1 F1 )-'Ao!l2= l/(E 1F 1}+1/(E2FJ.Здесь Е 1 и F 1 означают модуль уnругости и nлощадь лолеречного сечения болта, а Е 2 и F2 -то же, трубки.На рис.
110 локазаны графики зависимости относительных удлинений болта е 1 = N 1 /(E 1 F 1) и трубки е 2 = N 2 /(E2 F 2 ) от величинывнешней силы Р. Зависимости эти линейные вnлоть до того момента,когда усилие в трубке станет равным нулю. При дальнейшем увеличении силы Р трубка уже не сможет восnринимать усилия, которые должны быть растягивающими, и сила целиком будет лередаваться на болт. Поэтому nри Р =Л 0 E 2 F2 /l графики зависимостейе 1 (Р) и е 2 (Р) образуют лерелом, а nри Р"A 0 E2 F2 /l nойдут так.>как если бы сила Р восnринималась только болтом.Таким образом, nри малой силе Р, не nогашающей nредварительное напряжение, удлинения болта растут медленнее, и трубкакак бы вовлекается в работу на растяжение.Та же картина имеет место в предварительно наnряженных железобетонных конструкциях, где роль трубки играет не работающий на растяжение бетон, а роль болта -арматура.§ 10.ПриРасчет рам методом cИJI ва действиетемпературы и смещений узловравномерномрамы эти стержнинагревеодногоилинесколькихстержнеifполучают относительные удлиненияe1 =(t-t0 )a,где/0-начальная температура стержня(замыкания)расширениярамы;а -температурный(3.11}в момент изготовлениякоэффициентлинейногоматериала.При различной темлературе наружных и внутренних волоконстержняпроисходиттемпературноеискривлениеосистержня.равноегде / 8 -температура внутренних волокон; t" - температура наружных волОJюн; h - высота сечения стержня.Температура оси стержня оnределится по формуле линейнойинтерполяции:гдеz-расстояниеот осистержня до его наружного волокна.tЭто значениенадо nодставить в формулуния те~шературных осевых удлинений.Те\!Пературныеностью тольковудлинениястатическии(3.11)искривленияопределимыхдля оnределереализуютсясистемах;вполстатически93.неопределимыхдеформациями,жесистемахонивозникающимичастичноотпогашаютсятемпературныхупругиминапряжений,представляющих собой состояния самонапряжения системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
