Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 17
Текст из файла (страница 17)
121),вычисляемая согласно рис. 112-114. Умножив единичные эпюры на полученные значения неизвестных Z1 , Z2, Z3 и Z4 (рис. 122),а также на значения нагрузки q и силы Р и суммируя результаты, найдем окончательную эпюру моментов в раме (рис. 123),совпадающую в пределах точности вычислений с эпюрой, полученной ранее методом сил.§ 14.Выражение энергии виутреиивх CВJI в методеперемещеивйПосле того как основная система метода перемещений отождествлена с заданной системой путем правильного нахождениясмещений Z1 по направлениям введенных связей, мы можем рассматриватьнашузаданную системукакнагруженную,кроменагрузки, реактивными силами в введенных связях. При этом каждуюизреактивныхсил,всуммеравнуюнулю,расчленяемначасти, соответствующие влияниям отдельных перемещений Z1•Энергия внутренних сил, соответствующая смещению i-й введенной связи, равна работе реакции r1 на этом смещении:Т 1 =r1Z1•Здесьr1 -реакция связиГt= ,,lzl +i;Гt2Z2 +...
+ГtnZ n + Гtq•Таким образом,Т;= (rнZl + Г;2Z2 +102... +Г;nZn + Г;g) Z;.Энергия внутренних сил,введенных связей, равна:соответствующаясмещениямвсехTz = L Т;= rнz: +r12z2zl + .. . -тГtnZnZl ++ r21Z1Z2 + r22Z; + ... -т- r2,.Z,.Z2 ++ ................... ·+r,.,.Z~+ r,.lZIZn + r,. 2Z2 Z,. + ... +++rtqZl+r2qZ2+···+rпqZn.(3.20)Сюда следует добавить энергию Tq внутренних сил, соответствующую смещениям, вызванным нагрузкой. Расчленяя· эти смещения на величины Z1, Z2 , ••• , Z,. и смещения, вызванные нагрузZ;),кой в основной системе (с нулевыми значениямиTq =Г1qZ1получим+ Г2qZ2 + .. .+rпqZn + Гqq•(3.21)где г qq - работа нагрузки на перемещениях в основной системе,вызванных только этой нагрузкой.Складывая (3.20) и (3.21) и учитывая взаимность коэффициентовГ;k=Гki,Т=ПОЛУЧИМTz+ Tq =rнZ;+2r12Z2Z1 +2risZзZI +· .. +2rl,.z,.z, ++2r2зZsZ2+···+2r2,.Z,.Za++ ГзsZ:+ ...
+ 2ГanZnZs ++r22Zi+ ... + . . . • ++r,.,.Z~+r1qZ1 + 2r2qZ2+2rзqZ 3++ .. . +2r,.qZn +rqq·Отсюда получаем канонические уравнения метода перемещений:rнZ 1 +r 12 Z2+.. . +r1пZп +r1q =О;r21Z1 + r22Z2 + ... + r2,.Z,. + r2q =О;r,.1Z1 +r,.2Z2+· . . +r,.,.Z,.+rпq =Окак условия минимума энергии внутренних сил ТдТ/дZ 1 =ОТакимобразом,(i = 1,2, ... , п).перемещениясистемы устанавливаются такие,Z1принагружениизаданнойчто энергия внутренних сцл получает минимальное значение.§ 15.Смеmаииый метод расчета рамВ смешанном методе расчета основную систему получают иззаданной путем отбрасывания одних связей ивведения других.Взамен отброшенных связей вводят неизвестные усилия Х 1 , Х2 , ...
,... , Xk,а взамен введенных закреплений-перемещения этих за-103креnленийZ 1, Z 11 ,... ,Z1• Далее составляют условияравенства нулюперемещений по наnравлениям отброшенных связей:бнХ1 +бaX!!+···+б.kXk+"\'liZI +vшZн +···... +унZz+б 19 =О;~'>z1X1 т б22Х2+· ..
+ б2kXk + "\'21Z1 +У2нZн + ......+ Y2zZz + б29 =О;бklxl +бk2Xz+ .. . +бkkxk +Yklzl +YkiiZн"\'kzZz бkq =о....++(3. 22)+ ...=Здесь б;1 (i, j1, 2, ... , k)- перемещение в основной системе понаnравлению отброшенной i-й связи, происходящее от единичногоусилия,введенного по направлению отброшенной j-й связи;у 11 (i1, 2, ... , k; j1, 11, ... , l) - перемещение в основной си==стеме по направлению отброшенной i-й связи, происходящее от еди=ничного перемещения по направлению введенной j-й связи; б 19 (i1, 2, ...
, k) - перемещение в основной системе по направлениюотброшенной i-й связи, произошедшее от действия нагрузки.Кроме того, составляют условия равенства нулю реакций во=введенныхсвязях:s1, 1Х1 +s1. 2Xz+ ... +si, kXk+r1, 1Z1 +r1, нZz+ ......+ ruZz + Г1q =О;sн, 1Х1 +sн,2Xz+ ... +sн, kXk+rн,1Z1 +rн, нZz+ ...... + rшZz + rнq =О;. . . . .
. . . . . . . . . . . . .. ..... .. . .. . .(3.23)s11X1 +szzXz+ .. . +szkXk+rнZ1 +rmZz+···.. . +rzzZz+ Гz9 =О.Здесь sif(i=1, 11, ... , l; j=1, 2, ... , k)-реакция в i-й введен·ной связи от действия единичного усилия в j-й отброшенной связи;r1j (i, j1, 11, ... , l) - реакция в i-й введенной связи основнойсистемы от действия единичного nеремещения по направлениюj-й введенной связи; r19 (i1, 11, ...
, /) - реакция в i-й введенной связи основной системы от действия нагрузки.При выполнении условий (3.22) и (3.23) основная система будетво всем эквивалентна заданной.==Определение коэффициентов бц(i, j = 1, 2, ... , k) nроизводитсятак же, как при расчете рам методом сил, т. е. с применением формулы Максвелла- Мора.Коэффициенты rц (i, j=1, 11, ...
, l)оnределяются согласноправилам и таблицам для расчета рам методом перемещений.==Коэффициенты у 11 (i1, 2, ... , k; j1, 11, ... ,из геометрических соображений, а коэффициенты s11j=1, 2, ... , k) -из статических.l)определяются(il, Il, ... , l;=Например, в основной системе рамы, показаиной на рис. 124, а,единичное перемещение по направлению j-й введенной связи вызо-104вет nеремещение по наnравлению i-й отброшенной связи, равное у 11(рис.
124, 6), а единичная сила, nриложеиная по направлению отброшенной i-й связи (обратная направлению nеремещения У;;),о)8}Рис.12'1создаст реакцию в j-й введенной связи,Согласно nравилу рычага должно бытьравнуюs;1(рис.124,в).-1·yif=S;i·l.Отсюда следует:У;;= -Sп.Таким образом,(3.23)вся матрица коэффициентов уравненийдиагональные квадранты с коэффициентами б 1;и(3.22)ине является симметричной. Симметричными будут лишь ееr1; (i, j = 1, 11, ...
,/),тогда(i, j= 1, 2, ... , k)как остальные коэффициенты матрицыобратносимметричны.ГЛАВАIVМАТРИЧНЬIИ МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГИХСТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ§ 1.Общие замечанияВ nоследнее время nолучают все большее развитие матричныеметоды расчета конструкций, наиболее удобные для машинногосчета. Своего наивысшего уровня они достигают в методе конечных элементов,исnользуемомдлярасчетаконтинуальных систем:nластинок и оболочек. Для стержневых систем роль конечных элементов играют отдельные стержни, которые сами по себе достаточно nросты. Поэтому здесь можно не вводить nонятия конечногоэлемента (это будет сделано в гл.выразить сущность расчета,XVII),·что nозволит отчетливеекоторую можно nроследить и в методекон~чного элемента.
Основой здесь является nонятие матриц внутренней и внешней жесткости системы или обратных им матрицвнешней и внутренней податливости.В § 22 гл. 11 была установлена связь между матрицей внешнейжесткости R и матрицей внутренней жесткости С через вспомога-105тельные матрицы равновесияв виде (2 .44)Аи совместности деформаций Ат(4.1)Обычно определение матрицы внутренней жесткости, равно как иматрицы равновесия, не вызывает больших затруднений. Знаниеже матрицы внешней жесткости позволяет определить по любымвнешнимсиламвсеперемещениясистемы,а затем и все остальные данные о напряженно деформированном состоянии путем простых процессов перемножения и обращения матриц. Заметим еще,что в общем методе расчета не требуется вводить понятие основнойсистемы и выбирать ее.§ 2.Матричвый расчет фермВ плоской шарнирно-стержневой системе (ферме) параметрамиперемещений и; могут служить перемещения ее узлов по вертикалии по горизонтали, внутренними силами N 1-усилия в стержнях,соединяющихлы,амеждусобой уздеформациями лj-абсолютные удлинения этих стержней.
Матрицы жесткости и податливостидлявнутреннихсил и деформаций составляютсябез труда, поскольку они имеютдиагональную форму,отвечающую зависимостиN1 = (Л1 ti1 ) EF1(j=1,2, ... ,m).Рис.125Здесь11-длина j-го стержня;площадь его поперечногосечения; Е- модуль упругостиматериала, который будем счиF1 -татьодинаковымдлявсехстержней (в случае разных модулей Е1 отношенuе Е1 1Е можно ввестищадьт-вприве~ннуюсечениячислоFjP=стержнейфермы.Таким образом, матрица внутренней жесткости имееr видС=о106ооEF,JlsооплоF1E1/E);Обратная матрица внутренней податливости будет также диагональная:ооВ=С- 1 =ооУравнения равновесия в фермах проще всего составлять способом вырезания узлов. Составление этих уравнений и весь расчетпокажем на простом примере фермы (рис. 125).Уравновешивая силы, сходящиеся в каждом узле (рис. 126),приходим к системе уравнений:N 1 +0,7071N4 +Р 1 =О;Nз+0,7071N4 +P 2 =0;N 2 +0,7071NБ+Рз= О;0,7071NБ+Р 4 = О.- N3 Отсюда получаем матрицу(2.9):-1оооо-1о-1оооА=-итранспонированиемАТ=--о-0,7071-0,7071оо-0,70710,7071оматрицу-1ооооо-1оо1ооо-0,7071-1-0,7071оо--0,70710,7071Матрица внутренней жесткости здесь имеет вид1ооC=EFаоооооооо1ооооо0,7071ооооо0,7071Перемножая матрицы, получаем матрицу внешней жесткости1,3535R=ACAт=EF 0,3535а0,3535о1,3535ОООо-1(2.44):о-11,3535 -0,3535-0,35351,3535107и, обращая ее, -матрицу внешней податливости0,8845= R-1 = ..!!_ -0,5578LEF -0,11551-0,4422(2.45):-0,5578 -0,1155 -0,442212,13560,44221,69330,44220,88450,55781,69330,55782,1356j'Таким образом, находим зависимости перемещений от сил Р; в развернутомвиде:и1= (0,8845? 1 - 0,5578? 2 -и2= (-0,5578? 1 +0,1155Рз- 0,4422Ро~)at(EF);2, 1356?2 + 0,4422?3 + 1,6933Ро~) at(EF);u3 = (-0,1155? 1 + 0,4422? 2 + 0,8845? 3 -т- 0,5578? 4 ) aj(EF);и4 = (-0,4422? 1 + 1,6933? 2 + 0,5578Рз+ 2,1356?4) at(EF)и, используя формулу(2.42),после соответствующих перемножений матриц, -зависимости:N 1 = (-0,8845? 1 + 0,5578?2+ 0,1155Рз+О,4422Р4);N 2 = (0,1155? 1 - 0,4422? 2 - 0,8845? 3 - 0,5578? 4 );N3 = (0,1156? 1 - 0,4423? 2 +О, 1156?3 + 0,4423?4);N 4 = (-0,1633? 1 - 0,7887? 2- О, l633P 3 - 0,6253? 4);Nъ = (-0, 1633? 1 + 0,6253? 2 - О, 1633?3 + 0,7887 Р4 ).§ 3.Батек и рамы, нагруженные сосредоточевиымисИJiами и моментамиВ таких системах за параметры перемещений можно взять перемещения точек приложения сосредоточенных сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
