Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 21
Текст из файла (страница 21)
159) является системой трижды статически неопределимой. Наиболее простая основная система получается разрезанием арки в каком-либо сечении, а в качестве лишнихнеизвестных метода сил целесообразно брать изгибающий моментХ 1 , продольную Х 11 и поперечную Ха силы в месте разреза (рис. 160).При этом изгибающий момент в любом сечении А выразится формулойМ=Хt+Х2!1+Хзх+М 9 ,где х и у-координаты сечения в прямоугольных осях, совпадающих с направлениями сил Х 2 и Ха; М 9 -резанной арке от нагоузки.132изгибающий момент в разКанонические уравнения метода сил имеют вид:+ б12Х2 + б1 3 Х 3 + б,q =О;б21Х1 + б22Х2 + б2,1хэ + б2q =о;бз1Х1 + б 3 2Х2 + б 33 Х 3 + б3 q =О.бнХ1)(5.4)При единичных значениях сил Х 1 , Х 2 , Х 3 моменты соответственнобудут равны М 1 = 1; М 2 = у; М 3 = х; коэффициенты канонических уравнений, определенные по формулам(3.6):и свободные члены:б1q=SMqEJ ds;sВозьмем контур того же очертания, что и арка, но с толщинойлинии 1I(EJ).
Тогда коэффициент 611 можно представить как пло-[luc.t51Рис.оТk1:~'!/150QPvc. !5fDРис.!52щадь этого контура, коэффициенты <'1 22 и <'1 33 как моменты инерции контура относительно осей х и у, коэффициент 623 как центробежный момент инерции и коэффициенты 612 и3 -как стати<'\ческие моменты инерции контура относительно тех же осей.Если оси х и у представляют собой главные центральные осиконтура, то статические моменты и центробежный момент инерцииобращаются в нуль и тогда коэффициенты 612 , 611 и 623 в системе уравнений (5.4) исчезают, а вся система распадается на три независимыхуравнения:6нХ1+ 61q =О;622Х2+ 62q =О;6ззХз+ baq =О.(5.5)133При этом лишние неизвестные Х 2 и У 2 должны быть направленывдоль главных центральных о~.:ей контура и приложены в центреего тяжести.
Это можно сделать путем проведения из точки разреза арки в центр тяжести контура абсG>лютно жестких консолей,как показано на рис. 161. Поскольку изгибная жесткость этихконсолей равна бесконечности, то в соответствующем контуретолщину их 1I(EJ) следует полагать равной нулю и интегралыпо ним не будут входить в выражения для статических моментовимоментовинерцииконтура.Центр тяжести контура арки с толщиной линии, равной 1 /(EJ),называется у п р у г и м цен т р о м а р к и.
Использовать упругий центр для приведения канонических уравнений (5.4) к виду (5.5)целесообразно, если этот центр можно найти без особого труда(например, при наличии осей симметрии арки).Методы расчета бесшарнирных арок полностью применямы ик замкнутым контурам любого очертания (рис. 162).§ 4. Двойственность статических и геометрическихуравнений ДJUI контииуальвых системВ § 8 гл. 11 было установлено, что уравнения равновесия, связывающие внутренние силы N1 (j1, 2, ... , т) с внешними силамиР 1 (i1, 2, ...
, n), и геометрические уравнения, связывающие малые приращения перемещений 6u 1 (i1, 2, ... , n) с малыми приращениями деформаций 6Лi (j1, 2, ... , т), обладают взаимно====транспонированными матрицами коэффициентов.В континуальных системах n и т равны бесконечности и системауравнений равновесия переходит обычно в дифференциальныеуравнения.Рассмотрим линейный дифференuиальный оператор, связывакrщий нагрузку р (х) с внутренними силами N (х), видар (х) = L (N (х)] =a< 0 >N +а< 1 > d (~~N) ++аrде а< 0 1, а< 1 1, а< 11 >,(ll) d2 (b~N)dxs... , a<k>+ ... + аи ь<•>, Ь< 11 >,!k) dk (bkN)dxk•... , bk-(5.6)коэффициенты, которые могут быть функuиями независимого перемениого х.Заменим дифференциальное уравнение (5.6) конечно-разностными уравнениями,что соответствует возвращению к дискретнойсистеме, полученной разбиением заданной континуальной системынаодинаковые малыеучастки(5.7)li=l, 2, 3, ._ ..).134Найдем трансnонированную матрицу ко~ициентов уравненийпринципом суnерпозиции, представим зависим~суммы более nростых зависимостей, учитывая,(5.7).
Пользуясьсти (5. 7) в видечто трансnонированнаясуммарная матрицанированныхматриц.слагаемыхПервый член в зависимостиравна сумме трансп~(5.7)Pi"'= ai"N,дает диагональную матрицуоа\"ооd,"'оооаа"'А\О)=... ,...которая является симметричной и трансnонируется сама в себя.Второй член,,,a•t•рi={даетЬ'''i+ 1 N i+l -Ь''i 'N ttJ.xматрицу-а·1 1 'Ь\ 1 'a~t)b91'{).х~-оA<t>=ооаз"Ь~'а~' Ь3 1 ·-6.---х--~о--/).х-оо-а'·ь•а·•.аТрансnонированная матрица имеет вид:- a\I'b\I·о{).х,А<I)т=а1 1 'Ь~ 11~о-оа2нЬ~"о{).ха~• ~ь~·t;X-а}b'i'--/).--;--Это соответствует уравнениювj"Здесьu1 -= (а[ 1.!..1Ьi''ин- а/'Ь/'щ)/~.малые nеремещения по наnравлению нагрузки р 1 ; е 1 -малые деформации, соответствующие внутренним силам N 1•В nределе при 11х -+ О получаем дифференциальную зависимостьв<IJ = - b< 1 >d(a< 1 >u)/dx.(5.8)Таким образом, зависимостиp< 1 J = a< 1 1d(Ь< 1 > N)tdxсоответствует трансrюнирuьанная зависимость(5.8).135Следующий член выражения(5.7)содержит вторую разностьМатрица этих уравнений имеет видА21= ~х2at2Jb~2~2а.• ь.··-а~· ·ь.··2а~··ь~··агь~··оа транспонированная матрицаА\2)т____!__-~2-ооа;,.• ь~·о2а32аз•·ь-.··ь~·-а~· ь.·-2а 1 "'Ь{а? ь~21-о2аГЬ'{а}.• Ь'{ооа~"'Ь9."'о-2а3" ь~·а""."'Ьаз·что соответствует уравнениюе?'= (Ь?'/-1х2 ) (12/:.:..tин- 2а/'и; +а?+ tИi+I)(i = 1' 2, 3, ...),а в пределе при .1х _.Оe< 2 J =Ь< 2 >d 2 (а< 2 >и)/dх 2 •(5.9)Таким же образом получим взаимно транспонированные соотношения:р< 3 > = a< 3 >d 3 (Ь< 3 > N)Jdx3 и е<з> = - b< 3 >d 3 (а< 3 >и);dх3 ;р< 4 > = a< 4 >d 4 (b< 4 >N);d.t4 и ещ = b< 4 >d 4 (а(4)и);dх4 ;)..........
... ..... .. .. .. ... .•(5.10)Итак, при транспонировании дифференциальной зависимостимножители перед производной и под знаком производной меняютсяместами, а нечетные производньrе изменяют знак.Суммируя равенства (5.8), (5.9), (5.10) и добавляя выражениедля алгебраического члена e<oJа< 0 >и, получим транспонированный оператор (5.6):=е=~ e<iJ = а< 0 >и- Ь< 1 >d (a< 1>u);dx++ b< 2 >d 2 (a< 2 >u)Jdx2 -••• -(-l)k+ 1b<kJdk (a<k>u)fdxk,илие=U[и (х)], если р= L [N (х)].Оператор L т( ) по отношению к оператору L[ ] является транспонированным (сопряженным) и получается по сформулированномувышеправилу.Полученный результат легко обобщается на дифференциальныеуравнения в частных производных.
Произведя транспонирование136последовательно по каждой переменной в отдельности, прир!!!="...a(k,l,т,akataт... ( ь(k, 1• т, ... >N)... J :.__::......:.._~+·..----=---...::.......:дхk дуl дzт ...тlполучимЕ=!!!k••• (-1)k+l+т... b(k.l.т, ... Jakatam(a(k, 1. т,д ~·а lдтхутl... >и)z ...•Без труАа можно получить также очевидное правило транспонирования систем дифференциальных уравнений.§ 5. Дифференциальное уравнение изгиба ПJiocxoroхриволввейноrо стержняВозьмем бесконечно малый элемент плоского криволинейногостержня(рис.dsнагрузка:погоннаякасательнаяqнормальнаянаяна который по концам действуют внутрен163),ние силы, такжеир,моментт.Проектируя все усилияна направление силы N,приложенной к левому концуэлемента,что уголd<pиучитывая,между направлениями касательных к осистержнякахвконцевыхэлементаточбесконечномал и, следовательно, можно считатьsin (d<p)=d<p,получимPuc.tбJ ·N +dN- N- (Q+dQ) d<p+ р ds =0.Величиной dQ, как бесконечно малой, можно пренебречь по сравнению со слагаемым Q, тогдаdN !ds = Qd<p/ds- р.Величинаd<p/dsпредставляет собой кривизну оси стержня11р,обратную радиусу кривизны оси стержня р.
Поэтому окончательнобудетdN/ds-Qfp+ р=О.Спроектировав все усилия, действующие на элемент, на направQ, найдем, полагая cos (d<p) = 1:Q+dQ-Q+(N +dN) d<p+qds=O,отбресив dN, получим:dQ/ds + N d<pfds + q =О, или dQ/ds + N IP + q =О.ление поперечной силыоткуда,137Третье уравнение равновесияполучаем,как равенство нулю0:суммы моментов всех сил относительно точкиМ+где еdM- \1- (Q+ dQ) ds-·~ ds;+тds=O,q нарасстояние от равнодействующей нагрузки-до точки О, являющееся, так же как иds,участкеdsбесконечно малой величиной.Разделив наи отбросив бесконечно малые величины, nолучимdsdM;ds=Q-m.Это уравнение представляет собой обобщение известной зависимости между изгибающими моментами и nоnеречными силами в nрямолинейном стержне.Итак, мы получили три уравнения равновесия:dN;ds-Qfp+p=O; dQ;ds+Ntp+q=O; dM/ds-Q+m=O. (5.11)Из этих уравнений можно исключить величиныэтого определим из второго уравненияN и Q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
