Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Стержни, соединяющие точки приложения сил,рассматриваются как связи,дающиепоперечныеизгибающиемоменты,ипродольныепересилы.В общем случае плоской системыкаждый такой стержень выполняетфункциючетырехэлементов,поtсколькуPuc.127онможетиметьчетыренезависимые ,цеформащш: два поворота сечений на концах, удлинение ипоперечный сдвиг. В обычных рамныхи балочных конструкциях деформациями сдвига и удлинения стержнейпренебрегают, так как эти деформации оказывают малое влияниена результаты расчета.
Тогда остаются на каждый стержень дведеформацииисоответственнодваусилия,вудобно взять изгибающие моменты на концах.108качествекоторыхМатрицу внутренней податливости выведем из выражения дляпотенциальной энергии внутренних сил (2.46). Ввиду пренебрежения влиянием продольных сил это выражение принимает вид:lА=м•{! S' ы:dx.(4.2)оВ прямолинейных стержнях на участках между точками прило·жения сосредоточенных сил эпюра изгибающих моментов прямоли·нейная и может быть выражена формулой (рис. 127)М,=Mat +(Мы- Mat) xJ[,,где Ма 1 и Мы- моменты в конечных точках стержня а и Ь. Подставляя это выражение в (4.2) и интегрируя, получаем по последней формуле табл.
4 для стержня постоянного сечения12s,,Mfll••цdх= бЕJ; (Маt+МаtМы+Мы)ои(4.3)Обобщенные деформации, сопряженные с моментамии Мы,MatравныТак как потенциальная энергия А представляет собой квадратичную форму переменных Ма 1 и Мы, то деформации Ла 1 и Лы линейно зависят от Mat и Мы. Коэффициенты этих линейных зависимостей, образующие матрицу внутренней податливостиВ, совпадают с удвоенными коэффициентами квадратичной формы А. Геометрический смысл обобщенных деформаций, сопряженных с моментами Ма 1 и Мы, будет выяснен ниже.§ 4.Обращение матрицы внутренней податJiввостиДля подстановки в формулу (4.1) матрицу внутренней податливости ВС- 1 следует обратить.
Покажем, что это обращение не=вызывает затрудненияв числовомрасчетеипроизводитсявесьмапросто. Для ферм, как мы видели, матрица внутренней податливости имеет диагональный вид и для ее обращения надо взять лишьобратные значения диагональных элементов. Для рамных системматрица В, представляющая собой матрицу квадратичной формы109(4.3),имеет блочную структуру видаьEJt_ь_Elt_11_EJt1.!.!..EJ•1.JJ=. 6212EJ212EJ212EJ2212EJ2Для обращения этой матрицы надо произвести обращение каждой блочной матрицы второго порядка.
Тогда получим2EJ1/1- Elt/1Elt-т.2EJI-,12EJ1/2_ EJ212EJ2-т;-(4.4)2EJ212Таким образом, матрицу внутренней жесткости С можно сразусоставлять по схеме формулыно(4.4).§ 5.Пример расчета рамы, вагруженвой сосредоточеRВЫмиСИJiами и моментамиВ качестве простого примера россмотрим раму, изображеннуюна рис. 128. Длины и сечения стоек и ригеля рамы примем одинаковыми.
Поскольку в данном примере заданы только две внешниесилы, то число обобщенных взаимных перемещений тоже может бытьзадано равным двум. Такими перемещениями будут горизонтальноесмещение точки 2 приложения силы Р 1, которое обозначим и 1 ,и вертикальное смещение точки 3 приложения силы Р 2 , котороеобозначим и 2 • Внутренними силами будем считать изгибающие моменты в сечениях рамы,ния внешних силмоменты,примыкающих к узлам и точкам приложем2. Мз. м4 и МБ. Положительными считаемрастягивающиеа/2внутренние.!!.~~JJJ!'1tн,2t::J()23Рис.t28рамы.н"9 +о} ;+JQs~5волокнаа)и}р2JMl,4Pvc.tJQРис.t2!1Легко составить статические уравнения, связывающие внутренние и внешние силы.
Разрезая стойки и уравновешивая верхнюючасть рамы, получаем (рис. 129, а)Pt=-Q12+QБ4•гдеQ12 и QБ 4 - поперечные силы в стойках;Q12 = (Mt- М2)/а;Qм =(МБ- М4)/а.Итак, первое уравнение равновесия будетР=(- М1 +М2-М4+МБ)fа.Второе уравнение составляем, вырезая узел 3 и уравновешиваясилу Р 2 поперечными силами в левой и правой частях ригеля(рис. 129, 6):P2=-Q2з+Q34.ЗдесьQ23 =(М 3 - M,.)l(a/2);Q34 =(М 4 - М 3 )/(а/2). Таким образом, второе уравнение равновесия будет иметь вид:Р,.= (-2М 2 + 4М 3 - 2M 4 )fa.Отсюда nолучаем матрицу уравнений равновесияА=_ _!_ jj-1а~О1О-1-2 4 -21~Ol111и транспонированную матрицуо-1А т=_-2О_!_а4 •-1 -21оДля того чтобы найти матрицу внутренней податливости В, определим энергию внутренних сил в раме по формуле(4.3):-А= б;J (М~+ М~·+ M1Mg +М%+ м:+ М 4 М 6 ) ++ 12 ~J(M;+2M:+Mi+MaM 8 -rM 3M 4).Матрица коэффициентов этой квадратичной формы, умноженныхна 2, имеет вид:4 2 о о о2 6аоB=C-t= 12EJоооо1 о о4о1 6 2о 2 4•По формуле (2.45), производя обращения и перемножения, находим матрицу внешней податливостиаз 110,0595ОL=(ACAт)-l= EJСледовательно,и1и2= 0,0595P 1a 3 /(EJ);Далее, по формуле(2.42),заменяяNна М, получаемО0,2143-0,2857-0,04170,0833-0,16670,0833-0,0417т.
е.М1= (-0,2857 Р 1 +О,О417Р 2 ) а;М2= (0,2143Р 1 - 0,0833Р 1) а;М 3 =О, 1667 Psa;М4= (-0,2143Р 1 - 0,0833Р 1 ) а;Мъ = (0,2857 Р 1 + 0,0417 Ра) а.11211·= 0,0104P 2a8t(EJ).0,2857-0,2143М=-САтLР=-а~.0104?,Эпюры моментов, соответствующие нагрузкам Р 1и Р 1 =О; Р 21, показаны на рис. 130, а, б.В данном примере мы не использовали способ=нагрузки на симметричнуюболее упростило бы расчет.и== 1; Р8 =Оразложенияобратносимметричную,Заметим еще, что моменты по обе стороны узла2чтоещеввиду их равенства мы объединили в одно усилие М 2 и точно так же было сделано в отношении узлов 3 и 4.
В результате этого матрица внутренней податливости получилась не восьмого порядка, а только пятого.Однако тем самым была нарушена ее блочная структура, посколькуотдельные блоки матрицы (4.4) оказались «сдвинутыми друг в друга».Это затруднило обращение матрицы В, но сделало расчет бо.11ее компактным. В следующем параграфе расчет той же рамы будет сделанбез объединения усилий в узлах, что позволит избежать обращенияматрицы В на машине.§ 6.Расчет рамы на внеуЗJiовую нагрузкуПо принципу независимости действия сил внеузловую нагрузкуможно заменить усилиями, передающимися на узлы с балки, заделанной концами и нагруженной заданной внеузловой нагрузкой иуравновешенной системой сил, включающей опорные реакции заделанной балки и заданную внеузловую нагрузку (рис.
131). Усилия,передающиеся на узлы, включаются в число внешних сил, действующих на раму,а уравновешенная нагрузка дает эпюру моментов,аDPUC./311Puc.tJJкоторую петрудно определить из расчета заделанной по концамбалки и потом сложить с эпюрой,полученной для узловойнагрузки.Так, в рассмотренном выше примере рамы, показаиной нарис. 128, силу Р 2 можно считать внеузловой нагрузкой.
Эпюрамоментов от этой нагрузки в ригеле, если последний заделан обоимиконцами, показана на рис. 132. За вычетом этой эпюры рама оказывается нагруженной силой Р 1 , моментом т 8Р 2 а/8 в узле В,моментом те-Р 2 а/8 в узле С, а также вертикальными силами==0,5Р2 , приложеиными в тех же узлах и не вызывающими деформа-113ций изгиба рамы,- а следовательно, и изгибающихмоментов(рис. 133).Из методических соображений мы здесь не вводим упрощений,вносимых симметрией системы.Всего здесь можно составить три уравнения равновесия: уело·вие равенства суммы поперечных сил в стойках силе Р 1 и два условия равенства нулю сумм моментов, приложеиных к узлам В и С:-М 1 +М 2 -М5+Мв=Рlа;М2-Мз=-mв=-Р 2 а/8;М,- М&=- те=1Pza/8.Таким образом, матрица уравнений равновесия будет иметь видо-1О1о1 -1ООоо1 -1-1А=о1О.оДалее составляем матрицу внутренней жесткости по схеме формулы (4.4):2 -1ооооС= 4EJа-12ооооОО4 -2ООо·оо-24ооооо2 -1ооо-12(2.42) и (2.45)Произведя вычисления по формуламN наоМ), т.
е. по формулеМ= СА т (АСАт)- 1 Р,получим-м=-0,2857 -0,09520,23810,21430,4048 -0,26190,2143 -0,5952 -0,26190,5952-0,21430,2619-0,21430,2619 -0,40480,2857 -0,23810,0952Здесь векторы М и р· имеют составляющие:М1м.М=Мам.м5м.114Р1аР_аР= ----gР 1а8Р.(с заменойЭпюра моментов от силы Р 1ранее; она показана на рис.=130,1получается такая же, как иа. Эпюра моментов от нагрузкиР1=О; тв=Р2а!В; тс=-Р 2 а/8изображена на рис.134.Добавив к ней эпюру моментов от внеузловой нагрузки (рис.
132), получим эпюру, nоказаннуюрис. 130, б и совпадающую с найденной ранее иным способом.§ 7.наРасчет при иа.пвчвв абсоmотио жесткихэлементов еветемыИзложенный метод расчета nолностью не применим, если в системе имеются абсолютно жесткие элементы, так как nри этомв матрице внутренней жесткости системы появятся бесконечнобольшие коэффициенты, а матрица внутренней nодатливости будетвырожденной. Наnример, в диагональной матрице nодатливостишарнирно-стержневой системы коэффициенты, соответствующие абсолютно жестким стержням, будут равны нулю и обратят в нульопределительматрицы.При наличии абсолютно жестких элементов каждый из нихотнимает у системы одну степень свободы.
Поэтому вектор nеремещений системы будет иметь меньшее число составляющих и направления этих составляющих, вообще говоря, будут иные. В ряде случаев это не вызывает особых затруднений. Наnример, при наличиинаклонного жесткого стержня в узле 1 (рис. 135) следует взятьв качестве составляющей вектора nеремещений в этом узле перемещениеUaпонаnравлению,nерnендикулярномуэтомустержню.Однако в общем случае эти составляющие сразу оnределить неудаетсяинадо решать задачу аналитически.Составим систему уравнений равновесия (2.7), выделив в нейусилия в жестких элементах Nf, которым nриnишем индексыi= k+ 1' k + 2,т:...
,aнNt +a12N2+· .. + a1kNk+a1. k+IN: + 1+al.k+2N: + 2+· ... . . +almN:;+ Р1 =О;a21N1 +cx22N2+· . . +a2kNk+a2. kнN: + 1+a2.k+2N:+ 2+ ...=О;. . . . . . . . . . . •.··+a2mN:;+P2. . . . . . . . . . . . . . ..... . . .CXnlNl +ап2N2+.. ·+ CXnkN k+an,k+lNi:+1 +an,k+2N:+2+·..•. . +аптN:;+Рп= О.Из этих уравнений можно исключить тв жестких элементахи- knолучить уравнения,неизвестных усилийне содержащие этих115усилий:aнNt +a12N2+ ...
+ a11,N k+ Pi =О;a21N1 +~2N2 + ... +a2kNk + N =О;.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(4.5)йп-m+k.lN 1+ йп-т+k. 2N 2+ · • •+ йп-т+k, kN k + Pj.- т+ k =О.ЗдесьPf (i = 1, 2, ... , n -т+ k) -составл~ющие вектора нагрузки, взя:_ые по направлениям новых составляющих вектора пе-ремещений и.Обозначив матрицу коэффициентов уравнений(4.5)А=, йп-m+k.lйп-т+k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
