Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для(5.11)N = -pdQ;ds -pqи подставим в первое уравнениеНаконец, заменив~ (РdsQ наdQ)- _g - dds(pq) + р =О.dsрМ, согласно третьей формуледем к одному разрешающему~ ( d2M )ds Р ds»(5.11)(5.11),при-уравнению:+ _!_р d~_+ d (pq)+ ds~ (Р ~~)_ !!!_р =dsРdsdsДля стержня кругового очертания рприобретает более nростой вид= R=0·(5.12)coпst, и уравнение(5.12)R dЗМds3+ _!__R dM_+ R _!}д_+ R d2m_dsРdsds2'!': = ОR•ds = RdqJ, и умножая на R 2 , nолучаемd 3 M/dq> 3 + dM;dq> = R2 (р- dq/dq>) + R (т- d2m/dq> 2).или, замечая, чтоПользуясь принциriом двойственности, получим из уравненийсоотношения между nеремещениями и деформациями криволинейного стержня.
Для этого nостроим матрицу операторов этихуравнений (табл. 6).(5.11)ТаблицаN1иQ"'1/р1о111роqdjdsху1138djds-1ео11t'м1-1/рd/ds61'тВ левом столбце табл.6поставим перемещения, соответствующие нагрузочным членам, а именно: продольной нагрузке рсательные перемещений и, поперечной нагрузкепонормалиvираспределенноймоментнойq--каперемещениянагрузкет-угол'\J.В нижней строке табл. 6 поставим: продольную деформацию 8,соответствующую продольной силе N, сдвиг по сечению у, соответствующий поперечной силе Q, и искривление оси стержня х,поворотасечениястержнявозникающее в дополнение к ее начальной кривизне и соответствующее изгибающему моменту М.Согласно правилам транспонирования матрицы операторов, находим соотношения· между перемещениями и деформациями:-dU/ds+vfp+ в= О;-и;р-dv;ds -'IJ+v= О; - d'IJ/ds+x= О,откуда8=dиjdS-Vjp; y=иfp+dvjds+'IJ;(5.
J3)X=d'\J/dS.Обычно деформации сдвига у, на которых производит работупоперечная сила,очень малы;тогда можно считать'\'=-~-~.d2 v.рds ' х=-_!(~)ds рds28(5.14)Часто можно пренебрегать и работой продольных сил, положивО, т. е. считая ось стержня нерастяжимой. Тогда=V=p~~; X=-:5 (~)-dds:(p~~)·=Для прямого стержня рдятоо,s=(5.15)х и уравнения(5.13)перехов8=dи;dx;y=dv;dx+'IJ;x=d'\J/dx;отсюда следует'\J =у- dv;dx;х=dy;dx- d 2 v;dx2 •(5.16)В упругом стержнех= M;(EJ);у=Q;(aGF),и уравнение (5.16) приводит к изве~тной зависимости прогибов отнагрузки, где учитывается влияние деформаций сдвига:М1 dQd2 vЕ/ = a.GP dX - d~2ds'илиd2odx2Для стержня, искривленног~ пои вместо уравнений (5.13),= Rd<p,М1dQ= - -EJ + a.GF dX.окружности р = R =(5.14)и(5.15)coпst,получаем соот-ветственно:du - v ) ; i' = R.1 ( ив= R1 ( dq>dv) + '\';+ dq)139ГЛАВАVIБАЛКА НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ§ 1.Гидростатическое (ВИВIСJiеровсхое) упруrое основаивеРассмотрим балку прямоугольного сечения, плавающую на спокойной воде.
Под влиянием нагрузки балка прогибается и опускается в воду ниже начального уровня на величину прогиба у.СогласновверхзаконупогоннаяАрхимеда,приэтомсоздаетсянаправленнаясилар=-уЬу.Здесьу-удельный вес жидкости; Ь- ширина балки. Таким образом, балка оказывается нагруженной кроме внешних сил такжереакцией со стороны жидкости, причем эта реакция пропорциональна прогибу балки.С некоторым приближением схему гидростатического основанияможно использовать для расчета балок, лежащих на грунте, например, ленточных фундаментов. Вместо значения у при этом вводитсякоэффициент с, называемый к о э ф ф и ц и е н т о м п о с т е л и.Единица измерения его Н/см 3 •Положив в дифференциальном уравнении обычной упругой балкиEJylV=qq = q0 - р = q0 -полную нагрузку q равнойсЬу, где q0 внешняянагрузка; рсЬу- реакция основания, получим дифференциальноеуравнение балки на гидростатическом основании:=(6.1)В случае балки постоянного сечения интегрирование этого уравнения не представляет особых затруднений.
Общий интеграл уравнения (6.1) без правой части можно искать в виде:у= е-лх (С1sin Ах+С 2 cos АХ) +елх (С 3 sin Лх+ С4 cos Ах).(6.2)Произведя операции дифференцирования(- sin АХ+ cos Лх) + с2 (- cos АХ- sin Лх)] ++ Ае'·Х [Сз (sin АХ+ cos Лх) + с4 (cos АХ- sin АХ)];yn = 2A2e-l..x ( - cl cos АХ+ с2 sin АХ)+ 2Л2е'·х (Сз cos АХ- с4 sin Лх);у'"= 2A 3e-l.x [Cl (cos АХ+ sin АХ)+ с2 (- sin Ах+ cos Лх)]++ 2Л3ел.~ [Сз (cos Ах- sin Лх) + с4 (- siп АХ- cos Ах)];yiV = 4/}е-'Лх (-с! sin АХ- с2 cos Лх) ++ 4А4е ·х ( - С3 sin Лх- С4 cos Ах)=- 4Л уу'= Ле-'Лх [CI14и подставив в уравнениеEJyiv +сЬу= О,140получим-4'А:'БJу+сЬу= О,откуда'A.'=cbt(4EJ); 'A.=Vcb/(4EJ).JЮс8 f6 f-~~---\(e~'AJICOSl~ '.!.~~~h 111-Ji./2;. -2,5-2-1,11е SLn:tк1i- -м о u,5 ' t,~V ~5 • !.5 4 .tx~5 f--10 f-...
-t~ 1-·-!Н-\\-251-s~ 1-\-15 f-IIO LРис.Рис.t6'1Решению(6.2)155можно придать виду= А 1е-Лх sin(i...x+ q>1) +А 2еЛх sin (Лх+ q>з),гдеА1 = V С~+ С;; Аз= V С~+ CI; ч>1 =arctg (Сз/Сl); ч>з = arctg (C 4.fC3).Действительно, nоложивCt!YCr+ С;= cos <r1; Сз!V Cf+ с;= sin ч>t; Сз/С1 = tgq>1 ,получимС 1 sin Лх+Сз cos 'А.х= V Ci +С~ (cos q> 1 sin Л.х+ sin <р 1 cos'A.x) == А 1 sin (Лх+ q>t);аналогичноС3 sin Л.х+ С, cos 'А.х = А 2 siп ('А.х+ q> 2).141Мы видим, что общее решение включает выражения для затухающей и возрастающих синусоид (рис.164и165)или, другимисловами, для двух затухающих синусоид, одна из которых затухаетпо направлению кправомуконцу балки,а другаяк левому.-Затухание здесь довольно быстрое.
Чтобы установить его степень,увеличим х на n/'A. Тогда вместоу1= Ae-u sin (Лх+ ЧJt)(6.3)nолучимУ1=Aie-(:l.xнtJsin (Лх+ qJ + n) = - Ate-~e~..... sin ('Ах+ qJ11).=Мы видим, что значение у 1 получило множитель -е-л-1/23,14.Таким образом, при nереходе к следующей nолуволне значенияфункции (6.3) уменьшаются в 23,14 раза.К общему решению (6.2) надо добавить частное решение у*,зависящее от нагрузки q0 . Если нагрузка q0 nредставлена алгебраическим полиномом от х, то частное решение можно найти в видеполинома той же стеnени методом неоnределенных коэффициентов.Произвольные постоянныеCl,С2, Са и с4 илинаходятся из граничных условий точно так же,обычных балок.§ 2.Al,А2,IPIи ЧJsкак при расчетеБаmса, паrружеввu в середине пролетасосредоточеввой сВJiойВ качестве nримера рассмотрим свободно лежащую на гидростатическом основании балку длиной l, нагруженную в серединепролета сосредоточенной силой Р (рис.
166, а). На конце балкиизгибающий момент М = -EJy'' и nоnеречная сила Q = -EJy'"равны нулю; следовательно, для левой nоловины балкиу"(0) =2Л2 (-с. +Са)= О; у"' (О)= 2Л3 (С1 +С~+С3 -С 4 ) =О;отсюдаC3 =Ct; C4 =2Ct+C2.По середине балки угол nоворота ее оси у'(l/2)равен нулю, nоэтому, обозначая'Al/2= v,получаем условие для оnределения постоянных С1 и С2 :Л.е+хv [С 1 ( - sin v+ cos v) +С 2 ( - cos v- siл v)J+(sin v + cos v) + (2С 1 + С 2 ) (cos v- sin v)] =О.Леv [С 1Вторым условием б у дет равенство nоперечной112 половине внешней силы Р (рис.
166, г):=силы- 2Ед8 {e-v [С 1 (cos v + sin v) + С 2 ( - sin v + cos v)j ++ ev [С1 (cos v- sin v) + (2С1 +С~) (- sin v- cos v)]} = Р;2.142(6.4)Qпри(б .5)Уравнениям(6.4)С1 [е-"(-и(6.5)можно придать вид:sin v+ cos v)+ е"(- siп v + 3 cos v)] +sin v- cos v) +е"(- sin v+ cos v)] =О;С 2 [е_,.(-+cl [е-" (sin v+ cos v) +е''(- 3 sin v- cos v)] ++С 2 [е-"(-sin v+ cos v) +е"(- sin v- cos v)] = - Р/(4ЕJЛ3).Найдем определительD =еDэтой системы уравнений:f(cos v- sin v) 2 + (cos v+ sin v) 2 ) ++sin v+ 3 cos 2 v- 4 sin v cos v- cos 2 v+ sin 2 v -3 sin 2 v- cos 2 v- 4 sin v cos v -cos 2 v+ siп 2 v++ е2 " (sin 2 v- 3 cos 2 v + 2 siп v cos v- 3 siп 2 v+ cos 2 v+ 2 sin vcos v)== 2e- 2 v - 8 sin v cos v- 2e2 v = - 4 (sh 2v+ sin 2v).2v2Далее получим значения произвольных постоянных:cl =Сз=r- P/(4EJЛ D)l[e-" (sin v+ cos v) +е" (sin v- cos v)J;3С 2 = [- P!(4EJЛ3 D)J [е-"(-С~= 2С 1+sin v+ cos v) +е"(- sin v+3 cos v)];С 2 = [-P/(4Eд 3 D)l[e:-"(sinv+3cosv)+ e"(sinv +cosv)JПодставив эти величины в общее решение (6.2), получим выражения для прогибов и его nроизводных'или для у, М и Q.
Вид эпюрэтих последних величин показан на рис. 166, б, в, г.Выведем формулу для изгибающего момента в среднем сечении,Т. е. ПОД СИЛОЙМ(l/2) = - EJyn (/!2} == - 2ЕJЛ 2 {е-" (- С 1 cos v +С2sin v) +е" (С3 cos v- С 4 sin v).Подставляя сюда значения С 1 , С2 , С 3 и С 4 , получаем:А =-С1 cos v + с2 sin v = e-V (- sin v cos v- cos 2 v- sin 2 v++ sin v cos v) +е"(- sin v cos v +cos 2 v- sin 2 v +3 sin v cos v) ==-е·''+ е" (cos 2v + sin 2v);В=C3 cosv- C4 sinv = e-"(sinvcosv + cos 2 v- sin 2 v- 3sinvcosv) ++е" (sin v cosv- cos 2 v-sin 2 v- sinvcosv) = e·"(cos2v- sin2v)- е'';М ( ~) = 2 ~0 (е-"А+е"В)= 2 :0 {e-"[-e-"+e"(cos2v+sin2vJ++е' Lе " (cos 2v - si n 2v)-e"]} = 2 0 (-е- 2 " + 2cos 2v - е2 '') =i2 (ch 2v- cos 2v)= - 2Л- -4 (sh 2v sin 2v)Р+143и окончательнорм(/)- р ch2v-cos2vа)2 -4Лsh 2v + sin 2v •(6.6)При очень большой длинебалкитригонометрическимифункциями можно пренебречьпо сравнению с гиперболическими,chЛ.vатакже= sh Л.v.М (lf2)ПриположитьТогда= Р!(4Л.).малой длине балки,разлагаячислительи знаменатель выражения (6.6) в степенные ряды и отбрасываячленылости,высокогопорядкамаполучаемм(~)=р=1 +(2v) 2/2-l +(2v)2f24Л2v+2v=Рис.!55Последнее значение соответствуетр==PvPl4л =в·равномерномураспределению давления основания на балку (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
