Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Расчет за пределомупругой работы конструкции имеет целью, насколько это возможно,гарантированноуменьшитьсказывает теория,§ 2.этотперерасход,получив,какпредсущественную экономию.Особениости нелинейной работы материалаОсновное, что отличает неупругую работу материала от упругой, - это отсутствие потенциала внутренних сил, обусловленноечастичным рассеиванием механической энергии, которая переходитв другие виды энергии, главным образом в теплоту, и полностьюне возвращается обратно при разгрузке элементов конструкции.Эrо наглядно видно на обычной диаграмме работы образца приодноосном растяжении или сжатии (рис. 186), т.
е. зависимостимежду деформациями и напряжениями. Форма кривой этой зависимости отвечает определенному режиму нагружения,принятому прииспытаниях. При иных скоростях нагружения, остановках на определенных этапах и т. п. вид диаграммы работы несколько меняется.При переходе же от нагружения к разгрузке зависимость междудеформациями и напряжениями приобретает совершенно иной вид,показанный на рис. 187 штриховой линией.Легко видеть, что при одной и той же величине деформациимогут быть различные напряжения в образце. Следовательно, междунапряжениями и деформациями за пределом упругости нет функциональной связи.Еще в большей степени это присуще двух- и трехосному деформированию,вчастности,когдакомпонентысложногонапряжен-165ногодругусостояния-такменяютсяназываемоевовременинес л о ж н о епропорциональнодругн а г р у ж е н и е.Таким образом, нельзя говорить о потенциальной энергиивнутренних сил, как функции ко~шонентов деформаций за пределом упругости. Точно так же для системы, составленной из неупругих элементов, нельзя говорить о потенциальной энергии./.r.........l!/1• 1•/'1•161Рис.-165Рис.187dАо{Рис.Рис./68189внутренних усилий, как функции компонентов вектора перемещенийэтой системы.
Это обстоятельство, как мы увидим ниже, обходитсяврасчетахзапределомупругостиприопределенныхограничениях в режиме работы конструкции.Определим работу, совершаемую продольной силой в стержнепри деформировании за пределом упругости с определенным режимом нагружения, который принят для получения стандартнойдиаграммы работы материала. При бесконечно малой деформацииэта работаdA = - NdЛ. =-Fla dв,где N - продольная сила; Л. - абсолютная деформация растяжения; F - площадь сечения стержня; l - его длина; а - продольное напряжение; в166-относительная деформация растяжения.При монотонном увеличении деформации от нуля до некоторогозначения е работаеА =-Fl~ о de.оПоскольку диаграмма работы материала при заданном монотонномувеличении нагрузки определяет напряжение как функцию деформацийо= о (е),то работа А в данном случае тоже б у дет представлять собой однозначную функцию деформацииА= А (е).Геометрически эта работа может быть выражена умноженной на-Fl площадью ОАВ, ограниченной осью абсцисс и кривой диаграммы работы материала (рис.
188).При разгрузке продольная сила выполняет работу на отрицательных приращениях деформаций уже согласно кривой разгрузкиматериала. Эга работа может быть выражена площадью АВС, ограниченной осью абсцисс и кривой разгрузки. Как видим, возвращенная при разгрузке работа меньше, чем работа, произведеннаяво время нагружения. Разность затраченной и возвращенной работы соответствует площади ОАС (рис. 188). Она представляет собой поглощенную механическую энергию, перешедшую в теплотуили затраченную на структурные преобразования материала.При повторных Нагружениях кривые нагружений и разгрузокприближаются все ближе друг к другу, однако полного совпадения не достигают, образуя так называемые п е т л и г и с т е р ез и "С а, выражающие потери механической энергии при каждомцикле нагружения и разгрузки (рис.
189).§ 3.Нелииейио упруrие системыГипотетически можно представить себе материал с нелинейнойзависимостью напряжений от деформаций, который при разгрузкеполностью возвращает накопленную механическую энергию. Диаграмма разгрузки для такого материала совпадает с диаграммойнагружения, и поглощения механической энергии не происходит.Если известно, что напряжения в конструкции в процессе ее нагружения нигде не будут уменьшаться, то можно условно считать,что конструкция выполнена из нелинейно упругого материала с функциональной зависимостью о(в), совпадающей с диаграммойработы материала при нагружении. При этом становится возмож=fным использование понятия потенциальной энергии системы.Понятия нелинейно упругого материала и нелинейно упругойсистемы очень удобны для расчета неупругих систем при первичном их нагружении.
Необходимо только следить, чтобы нигде невозникало уменьшения напряжений (об этом можно судить на осно-167вании расчета). При появлении уменьшения напряжений схема нелинейно упругой системы будет уже неприменима.=В нелинейно упругих системах внутренние силы N 1(j1, 2, ... ,т), где т- число элементов системы, выражаются через деформации Л1 в общем случае системой нелинейных уравнений:... ,N1 = N1 ('А1, Л2, ... , Лт);~2 • • ~2~'А:·.~2·.-:·: .Л~):Nm=Nт('Al, Л2,1(8.1)•.. , Лm)·Уже составление этой системы уравнений, а тем более решениеее совместно сусловиямиравновесияиусловияминеразрывностидеформаций является делом довольно сложным, однако при наличии современной электронно-вычислительной техники вполне разрешимым.Во многих случаях, например при расчете ферм, система уравнений(8.1)распадается на отдельные уравнения. Это бывает тогда,когда усилие в одном элементе зависит от деформации толькоэтого элемента и не зависит от деформаций других элементов.Так, для ферм мы получаемN 1 =N 1 (Ч=F1 f('A1 tl 1 )гдеF1и11 -(j=l, 2, ...
,т),площади и длины стержней фермы;f-(8.2)функция,выражающая зависимость напряжений о от деформаций е материалафермы;o=f(e)(е= Лil).Зависимости (8.2) легко обращаются при помощи обратной функции g, выражающей деформации через напряженияе=g (о),и имеют вид'А1= l 1g (о1 ) = l1g (N;!F 1).При помощи этих зависимостей легко решается задача расчетастатически определимых ферм из нелинейно упругого материала,но при расчете статически неопределимых ферм здесь остаютсяещезначительныетрудности.§ 4.Шаговый методОдним из эффективных методов расчета нелинейно упругихсистем являетсяш а г о в ы йм е т о д, который заключаетсявследующем.Будем нагружать нелинейно упругую систему постепенно, ма-лыми порциями нагрузок М. При этом каждый раз будут получаться малые приращения деформаций, внутренних сил и перемещений.
На этих малых перемещениях с достаточной точностью можно168считать, что система ведет себя, как линейно упругая с коэффициентами упругости, зависящими от достигнутого уровня напряженийвэлементахсистемы.На первом этапе нагружения расчет на нагрузку ХР( 1 ! ведется,как для обычной линейно упругой системы.вэлементах,достигнутымвконцепервогоЗатем по усилиямэтапа,определяютсязависимости между дальнейшими приращениями деформаций и усилий. Эти зависимости находятся путем дифференцирования соотношений (8.1):dN т =~~~ dЛ1 + ~~: dЛ2 + ... + ~~= dЛт.Поскольку функцииN1дN·(Л 1 , Л 2 ,•..
,Лт) заданы, то производныеал: (~. Л2, ... , Лт) также можно считать известными. Подставляяв эти производвые значения деформаций в конце первого этапанагружения, получаем коэффициенты линейных зависимостей усилий от деформаций на втором этапе нагружения:дN1 (Лfl' Л' 1 'с'•'-i/ = ал1 ,i ,1.•• ,Лfl')т(i, j= 1, 2, ... ,т).(8.3)Верхний индекс в скобках указывает на то, что данная величинаотноситсяк концупервого этапанагружения./':!Pt 2! теперь можетпроизводиться как для линейно упругой системы с зависимостямиусилий от деформаций:Расчет на второй этап нагружения силамиI':!N 1 = с~~'/':!Л 1 +с;~ /':!Л 2I':!N 2= с~~'/':!Л 1 с~~'/':!Л 2+, ..+с;:,;~Лт;+ ... + с~~!':!Лт;+I':!Nт= c;Aii':!Л 1 + c',h~I':!A 2 + ...
+ с;А:n!':!Лт.Дифференциалы здесь приближенно заменяются конечными разностямиI':!N1и /':!Л1 .Деформации, полученные от второго этапа нагружения, суммируются с деформациями, вызванными первым его этапом. Суммарные деформации в конце второго этапа нагружения обозначаем А?''.Коэффициенты упругости для третьего этапа нагружения определяем по формулам:дNIс}}'= дЛJ Щ2 ', Л',Г,... ,Л~')(i,i= 1,2, ... , m)lбЭи расчетом как линейно упругой снетемы с этими коэффициентамиупругости получаем добавку к деформациям за счет третьего этапанагружения.Таким же способом nоступаем н дальше, оnределяя каждый разновые коэффициенты упругости c((J.
где k - число предшествующихэтапов нагружен и я.Приходится следить, чтобы все деформации и усилия с каждымэтапом получали положительные приращения (или оставались безизменения), т. е. чтобы в системе нигде не возникала разгрузка.В противном случае схема нелинейно упругой системы будет неприменима*.После ряда нагружений может оказаться, что определительматрицы коэффициентов с(1~> ~окажется равным нулю или, перейдячерез нуль, станет отрицательным.
Эrо будет означать, что несущаясnособность системы превышена. Таким образом, критерием разрушения системы будет служить равенство нулю этого определителя.Точность расчета шаговым методом зависит от размеров шаговнагружения. При очень малых шагах увеличивается количествоэтапов, что ведет к уменьшению точности вычислений, точно также,как и при чрезмерном уменьшении числа этапов,когда заменабесконечно малых приращений конечньiми может оказаться слишком грубой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
