Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. равенства нулю nроизводнойdMjdx =Е Ьh 3;12- ЗНЬ1l5 х~р/80 =О,откудаXnp=(l,49ljh)VE;H; Мпр=0,0828 ЕЬ!z 2 VЩН.Зависимость(8.8)не является однородной функцией, nоэтомупри увеличении изгибающего моментавид эnюры наnряженийбудетизменяться.Для балок двутаврового сеченияNjможно дать nриближенные формулы,основанныенаnредnоложении,чтовлиянием напряжений в стенке двутавра можно пренебречь и что распределение напряжений и деформаций по толщине полок можно считать nостоянным. Эти предположениясоответствуютсхеметакPuc.19Jназы-ваемого идеального двутавра с нулевой толщиной стенки и малойтолщиной полок при конечных значениях площадей поперечногосечения последних (см.
рис. 81).Для идеального двутавра из(8.6) получаем формулуМ= 2Ь (h/2) f (xh/2) бп= Fnhf (xh/2),где бп и Fn- толщина и площадь поперечного сечения пояса;высота балки; Ь- ширина nояса балки.В случае степенной зависимости напряжений от деформаций (8. 7)h-имеемМ=Bxi!n;В=2Fn (h/2)!n+l)fnC.В случае этой зависимости в виде кубической параболыМ= hFп(8.8)(Exh/2- Hx 3h 3 /8) = EJx- (Н/8) Fпh 4 x 3 •Здесь Е J ~ Е F 0 h 2 /2-жесткость сечения балки в линейно упругойстадии работы.§ · 8.
Энергия внутреннихcRJI в не.ливейноупруrой системеЭнергия внутренней силы в нелинейно упругом элементе"'А 1 = ~ N;d/..1•оГрафически она может быть представлена, как площадь, ограниченная кривой зависимости N1 от /..1 , осью /..1 И вертикалью Л1const (рис. 193).-==175Для системы из т элементов энергия внутренних силт).;тА=~ А;=~ ~ N;d'A1.1-1/=1(8.9)оЧастные производные от энергии внутренних сил по деформациям Л 1 равны усилиям N1 :дА!д'А1 -:-§ 9.Nr.Дополнительвал эверги.я внутренних силв веливейво упругой системеНазовем дополнительной энергией внутренних сил величинутNjА'=~ ~Л1 dN 1 •/= 1(8.10)оКак видим, выражение дополнительной энергии отличается от выражения энергии внутренних сил (8.9) тем, что величины N 1 и Л 1лереставленыместами.Очевидно, что(8.11)т.
е., зю1я выражение А' через усилияформации Л1 по формуле(8.11),интеграл в правой части(8.1 0),N1,можно определить деаналогичной формуле Кастильянадля линейно упругих систем (2.29), где А' было равно А.Легко связать величины А' и А. Интегрируя по частям каждыйполучимА'= ~1 (л,N,-i1 N1 dЛ1)= ~1 Л1 N1 -А.Для одного элемента дополнительная энергия А; может бытьпредставлена площадью, ограниченной кривой зависимостиот Л 1 , осью Nr и горизонталью Nr = cbnst (см. рис.
193).§ 10.N1Предельвал несущая способность веливейвоупругой системыПосле того как в результате расчета нелинейно упругой системыбудут получены уравнения зависимости между перемещениями ивнешнимисиламиР1=Р1 (ul, U2, ... , Un):Р?.- Р2 (и1,U2, ... , Un),Pn=Pп(Ul,u2, ...•....... .......1(8.12)Uп).можно будет решить эти уравнения относительно перемещений.
Изфизического смысла задачи следует,176что каждому заданному век-тору нагрузки Р = (Р., Р 2 ,Р,.) соответствует один, вполне= (и 1 , и 2 , .•• , и,.), т. е. что••• ,uопределенный вектор перемещенийрешение уравненийединственное. Там же, где оно становится(8.12)не единственным-, нарушаются условия геометрической неизменяемости системы,что означает нарушение сопротивляемостипоследней внешним силам. В подавляющем большинстве случаев это означает исчерпание несущей способности нелинейно упругой системы.Аналитически условие нарушения сопротивляемости выражаетсякакусловиений(8.12)нарушенияединственностирешениясистемы уравнеи может быть представлено в виде:J=дР 1дР 1ди 1ди 2дР 2дР 2ди 1ди 2дР,.дР,.ди 1ди 2дР 1ди,.• • •дР 2ди,.•••=О,(8.13)дР,.•••ди,.где J - якобиан системы уравнений (8.12), т. е.
определитель, составленный из частных производных дР 1 /диk.Для системы, состоящей только из одного элемента, уравнение (8.13) получает видdP!dи=Oи выражает условие максимума нагрузки Р, т. е. предельную несущую способность элемента. Однако иногда это условие будетопределять не максимум, а минимум нагрузки, что требует специальной проверки.Точно так же условиестемы,вкоторыхминимума,атакжекоторых ·одни(8.13)параметрможет определять состояния синагрузкислучаитакдостщаетназываемыхсоставляющие векторамаксимумаилиминимаксов,принагрузки достигают максимума, а другие - минимума.
Подробнее об этом будет сказанов главе об устойчивости упругих систем.Для статически определимой системы условие исчерпания несущей способности может быть представлено в виде:дN 1дN 1ал.,д~••.дЛ.тдN2дN2д Л.\д~...дN2дЛ.тдNтдNmдNтд Л.~ • • • дЛ.тал.,гдеN 1 , N2 ,ции••• ,Nm-в элементахдN 1..=0,внутренние силы; Л 1 , Л2 , ••• , 'Лт- деформасистемы.Отметим, что нелинейно упругая система имеет конечный предел несущей способности лишь в том случае, если ее элементы177имеют этот предел.
Например, при степенной зависимости напряжений от деформаций пределы несущей способности как одного элемента, так и системы, составленной из таких элементов, отсутствуют, тогда как для системы, элементы которой имеют зависимостьнапряжений от деформаций в виде кубической параболы, показан·ной на рис. 192, этот предел ярко выражен.ГЛАВАIXМЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ§ 1.Под терминомОсновные прииципым е т о дп р е д е л ь н о г ор а в н о в е с и яукоренился расчет систем в предположении, что материал их имеетдиаграмму работыснеограниченной площадкой текучести (рис.
194).Такая диаграмма называется обычно д и а гр а м м о й р а б о тыи д е а л ь н оу п р у г о· п л а с т и ч е с к о г од и а г р а м м о йП р а н д т л я.т е л а,илиНачальный участок диаграммы-бРис. ШьРис.195соответствует упругой стадии работы материал-а с модулем упругости Е и с верхней границей, называемой п р е д е л о м т е к учес т и ато Диаграммой Прандтля приближенно заменяют действительные диаграммы работы таких материалов, как строительнаясталь (рис.195),бетон (рис.196)и др.
Однако при такой заменеследует помнить о степени неточности, которую она вносит в расчет.Поэтому при разработке практических методов расчета по предельному равновесию часто вводят дальнейшие упрощения, дающие тотже порядок погрешности, что и введение диаграммы работы материала. Следует сказать, что качественные результаты расчета пометоду предельного равновесия гораздо ближе к действительномуповедению строительных констру1щий, чем результаты расчета ихкакчистоупругихсистем.Статически неопределимые системы из идеально упруго-пластического материала в начале нагружения работают как упругие.После появления текучести в одном, наиболее напряженном элементе степень статической неопределимости системы уменьшается1i8на единицу. При дальнейшем пропорциональном увеличении нагрузки усилие в элементе, достигшем состояния текучести, остаетсяравным своему предельному значению, а усилия в других элементах продолжают увеличиваться.
При достижении состояния текучести вторым н последующими элементами степень статической определимости каждый раз уменьшается на единицу, пока система нестанет статически определимой, а затем обратится в механизм.В п-кратно статически неопределимой системе состояния текучестимогут быть достигнуты в n1-м элементе. Эrо будет означать+исчерпание ее несущей способности.называемомс и я,с о с т о я н и е мнагрузкаещенаходитсяВ этом состоянии системы,п р е д е л ь н о г овравновесииср а в н о в евнутреннимисилами, но дальнейшее увеличение нагрузки уже невозможно. Крометого,всостояниистановятся§ 2.предельногонеопределеннымиравновесияперемещениясистемыпо величине.Прямой метод расчета RЦeaJIЬRO упруrо-пластвческойеветемыОбщую картину поведения статически неопределимой упругопластической системы в течение всего процесса нагружения можетдать серия расчетов упругих систем, получающихся из заданнойпутем последовательного исключения связей, перешедших в состояния текучести.Вкачествепримерарассмотримсистему,изображеннуюнарис.
197, а. Эrа система, представляющая собой абсолютно жесткую и прочную балку на четырех одинаковых идеально упругопластическихподвесках,дважды статическинеопределима.В первой стадии система работает как полностью упругая, ирасчет ее дает следующие значения усилий в подвесках:N 1 =0,40P; N 2 =0,30P; N3 =0,20P; N,=O,lOP.При пекотором значении Р, а именно.р= A.Pl = NT /0,40 =2,5NТ,достигается предельное усилие Nт в первой подвеске. При этомв остальных подвесках усилия будут равны (рис. 197, б):N2=0,75Nт; Nз=0,50Nr; N,=0,25Nт.Далее нагрузка может быть увеличена на величину А.Р 2 , причемусилие в первой подвеске будет оставаться равным Nт. Такимобразом, на нагрузку А.Р 2 здесь будет работать система с тремяподвесками один раз статически неопределимая (рис.чет такой системы дает197,в).
РасN 2 =0,833A.P'J.; N3 =0,333A.P 2 ; N,=-0,167 А.Р 2 •Предельное усилие во второй подвеске будет приN 2 = 0,833A.P 2 +0,75N' = N',179т. е.а)приАР2 =/10,25NT /0,833 = 0,3NT.В третьей и четвертой подвесках при этом будут усилия(рис.г)197,N3 =0,5Nто)=+ 0,333 · 0,3Nт =О,бNТ;/.N4= 0,25NT- 0,167. 0,3NT == 0,20Nr.В следующей стадии системаработает уже как статически определимая (рис. 197, д). Дополнительная нагрузка 11Р 3 вызы6)/ваетусилия:Nз = 211Р 3 ;N4 =-11Рз.Предельное равновесие всейсистемынаступает тогда,когдаусилие Nт достигается в третьейподвеске. Это будет приNз= 0,6Nт + 2/1Р 3 = Nт;/1? 3 = 0,4Nт /2 = 0,2Nт.В этом состоянии усилия в первых трехи)подвескахравны своему предельному значению Nт, ав четвертой подвеске (рис.
197,е)N4= 0,20NT -0,2NT =о.Полнаявеличинапредельной нагрузки системы, т. е. нере)сущая способностьР пр= I1P1последней,+ I1P2 + 11Рз==2,5Nт +О,3Nт +О,2Nт=3Nт.fОпределим еще перемещениепод грузом Р в конце каждой стадии работы системы. Припоявлении текучести в первойPUC.197подвескеf = LN 2 /(EF) =где 1 -длина подвески; Е' .F гой стадии работы.lЬО0,5Nт l!(EF),ее жесткость на растяжение в упруПри появлении текучести во второй подвеске(N 2=Nт)f = NT l!(E F).Наконец,вначалеприпоявлении текучести в третьей подвеске,состояният. е.предельного равновесия системыN2Nт),(N 4=f= ((N2- О) l!(EF)] 2 ==О;= 2Nтl!(EF).fЗависимость от Р показанана рис. 198. Она изображаетсяломаной линией, которая последостижениявесияпредельногостановитсяоравно{flt20,5 1Рис.198горизонтальной.Как видим, проведенный расчет даже для такой простой системыоказываетсядовольногромоздким,нозатонаходить не только предельную нагрузку,дениеконструкциивондаетвозможностьно и описать все повепроцессе ее нагружения.Непосредствеииое нахождение состояния предельногоравновесия.
Кинематический и статический методы§ 3.Нахождение предельной нагрузки для статически неопределимойсистемы из материала с диаграммой работы, близкой к диаграммеПрандтля, часто представляет собой более простую задачу, чемрасчет этой же системы в предположении упругой ее работы. Упрощение расчета обусловливается тем,что в отдельных элементахсистемыразрушениявнутренниесилызадолго допринимаютпостоянные значения, не зависящие от последующих деформаций.Рассматриваемую задачу можно решать двумя способами. В первом способе, называемомк и н е м а т и ч е с к и м,необходимовыявить все возможные схемы разрушения системы. Для этогоследует предположить,что в состояние текучестиперешло столькоэлементов и связей системы, сколько необходимо для превращенияпоследней в механизм или кинематическую цепь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
