Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому упругимиперемещениями и деформациями в этом состоянии можно пренебрегать по сравненюu с пластическими перемещениями и деформациями.При этом получаем схему работы жестко-пластического тела, изображенную на рис. 206. Здесь при усилиях,меньших предельного значения Nj. дефор!мация '). . 1 равна нулю, а при усилиях, равN·ных своему предельному значению, деформацияможет иметь любое значение. УсиNj,лия же, большиементовnоявитьсяРаботанени в одном изit----1оx-Jэле-могут.идеальноуnруго-nластическойсистемы в состояниипредельного равновеРис.2Обсия асимnтотически приближается к работе такой же жестко-nластической системы,имеющейте жеnредельные значения внутренних сил.
Поэтомуnредельную нагрузку и форму деформирования идеально уnругоnластической системы можно находить, считая систему жесткоnластической. При этом методы расчета существенно уnрощаютсяистановятсяnри данных уnрощенныхпредnосылках теоретическистрогими.§ 9.Возможная работа внутренних и внешних CИJIв жестхо-Wiаствчесхой системеРабота внутренних сил на воЗможных деформациях 6Л1 элементов системы равнатбА=-1: N1б'J...i,(9.5)i=lгдеN1 -усилия в j-м элементе; т- число элементов.В жестко-пластической системе усилия в одних элементах N1меньше своего nредельного значения Nj и тогда деформации этихэлементов б'J...1 равны нулю.
В других элементах системы усилияравны своему nредельному значению Nj и деформации их отличныот нуля. Для тех элементов, в которых деформации равны нулю,безразлично, какой nоставить множитель в выражении (9.5). Поэтому это выражение можноnредставить в видетбА=-1: N{бЛ1 .i=lРабота внешних сил в жестко-nластической системе начинаетсятолько nосле достижения последней состояния nредельного равно-191весия, так как до этого ведеформируемые элементы с усилиямиNj образуют жесткую систему, не допускающую перемеще-N1<-·.=Pnp возмож-еслисчитать всений. С момента достижения предельной нагрузки Р·ная работа ееnnt'>V = ~ P;n бut = Рпр ~ Р)бщ,рi=lгдеn-число степенейi=lподвижности системы,ее элементы деформируемыми; Р}торанагрузки; Pnp -нальностипри-составляющие единичного векпредельное значение множителяпропорциональном увеличениипропорционагрузки.Приращение потенциальной энерr:ии системы иnni=li= 1би =-бА- 6V = ~ N) 6"л1- Рпр ~ P)6ut.(9.6)При малых значениях параметра нагрузки р это приращениеположительно и, следовюельно, система не будет деформироваться.При векотором значении р приращение потенциальной энергиибудет равно нулю, что означает безразличное состояние равновесияпо отношению к заданным перемещениям.
Это значениеnтРпр= ~ Nj6'AJI ~ Р)бщi=l(9.7)i=lи при нем оказываются возможными деформации 6Л1 и перемещения би;, которыми мы задзлись в выражении (9.6). Кроме того,в системе окажутся возможными деформации и перемещения, которые дают при полученном значенииPnp отрицательные приращенияпотенциальной энергии би. Для того чтобы эти последние деформации и перемещения дали нулевые приращения и, надо уменьшитьпараметрРпр•определивегоужепоэтимзначениямвозможныхдеформаций и перемещений. Таким образом, надо так назначить величины 6Л1 и би; в (9.
7), чтобы параметр Pnp принял минимальноезначение, и тогда будут возможны только эти перемещения и деформации.Отсюда следует, что истинная форма деформирования жесткопластической или идеально упруго-пластической системы в состоянии предельного равновесия будет такая, которая уравновешиваетсяпринаименьшемзначениипараметранагрузки р.Этот принцип называется э к с т р е м а л ь н ы м п р и н ц ип о м кинематического метода расчета несущей способности системыпо заранее заданным деформациям и перемещениям. Он может бытьвыражен формулойтnРпр.:;;; ~ N 7б'Лi/ ~ Р)биt.i=lи192i=lВ геометрически линейных системах возможные деформации 6Л1перемещения би; можно заменить полными деформациями Л1u1и перемещениямии тогда будеттnРпр~ ~Nj 'А1! ~ Р}и 1 •1=1i=l§ 10. УСJiовия техучести статичесхи опреде.JПiмойжестхо-пластичесхой системыВ системе, составленной из т простых жестко-пластических илиупруго-пластических элементов,выражаются черезусловия текучести всей системыусловия текучести ее элементов(9.8)N;=N/ (j= 1, 2, ...
, m).В статически определимых системах текучесть одного элемен'Jасоздает текучесть всей системы, поэтому условияс тем и условиями текучести всей системы.(9.8)будут вместеУсил и я N 1 в статически определимой геометрически линейнойсистеме могут быть выражены через составляющие вектора нагрузкиР1 уравнениями (2.23):a;,Pl +a;:~Ps + .. .+a;nPn + N1 =О;а~1Р1+ а;~Р2 +... + a;nP n+ N2=О;=nт - число степеней подвижности системы в предположении податливости ее элементов; b1k . - коэффициенты влияния состагдевляющихнагрузкиПоэтомуможнонаусловияпредставитьвнутренние силы.текучестистатически определимойсистемыв виде:a;,Pl +a;~P2+ ... +a;nPп+Nr =0;a:tP 1 +~~P 2 + ... +a;nPп+N; =0;1(9.9)a~~~~-~a~i~~~-· ..·~~~~P·n~·;~ ·~о:Определим п-мерное пространство векторов нагрузки Р.
В этомпространстве условия(9.9)определяют ряд гиперплоскостей, каждая из которых разделяет это пространство на две части: возможныхи невозможных состояний данного элемента. В совокупности условия (9.9) выделяют в пространстве нагрузок область возможныхсостояний системы, где усилия во всех элементах меньше предельных. Очевидно, что эта область выпуклая. Граница области возможных состояний соответствует текучести, по крайней мере, одногоэле1ента системы.
Для системы из двух элементовзано на рис.7207,(n= 2) это покаа.А. Р. Ржашщr,ш193Рассмотрим теперь другое п-мерное пространство перемещений Ьщ, являющихся обобщенными перемещениями по отношениюк составляющим нагрузки Р,в нашей жестко-пластическойа)системе, и найдем в этом пространствеперемещения,возникающие при текучестиэлемента,j-roсоответствующиенекоторой точке границы области возможных состоянийР,системыляемомнаучастке,опредеуравнениемaj1P1 +а;2Р2 +· ..+a;nPn ++Ni=0.(9.10)На этом участке границы областивозможныхсистемыРис.состоянийперемещения последней возникают только за счетдеформаций j-ro элемента, адеформации остальных эле-207ментов равнынулю.Используя соотношения между перемещениями и деформациями(2.23)а~16Лt +а;16Л2 +· •.
+ а~1бЛ" +~и 1 =О;а~ .. бЛ1 + а;'jбЛ 2 + .•. + а~iбЛ" + би 2 = О;. . . . . •. . ••. . •. •. . . . . •о;"бЛ1 + а;"~л.~ + ... + а~"6Л" +б и" = Оних бЛk = О при k =f. j, получаем!аи полагая в6и1 = - a;lt~Л.1 ;6и 2= -aj'j6Л.1 ;. .. ... . .1•(9 .11)би" = -аj"6Л.1 •Перенесем этот вектор в пространство нагрузок, заменив Ьщна Р 1 • Тогда этот вектор будет перпендикулярен гиперплоскости (9.10).Действительно, умовие перпендикулярности двух векторов Р*и Р выражается формулойP:Pt +Р:Р2 + ... + Р~Р" =О.Подставив сюдаРТ = - аj16Л.1 ; Р; = - а;,.ьл.1 ; ••• ; Р~ = - а/пбЛ.,,получимтору194геометрическое(9.11):местовекторов,перпендикуJiярныхвек·Гиперплоскость, выражаемая этим уравнением, параллельна гиперплоскости (9.10) и проходит через начало координат, в то время какгиперплоскость (9.10) отстоит от начала координат на величину Nj.Отсюда следует, что векторсти(9.11)перпендикулярен гиперплоско(9.10).Мы получили важное свойство, которое называется з а к о н о ма с с о ц и а т и в н о с т ит е к у ч е с 1 ии формулируется еле·дующим образом: вектор пере.мещений жестко-плш:тическойсисте.м.ыв состоянии ее предельного ршзновесия, будучи перенесен в простран·ство нагрузок, польчает направление, перпендикулярное границеобласти воз.м.ожных состояний в точl\е, соответствующей заданно.м.усостоянию предельного ршзновесия.На рис.
207, б показан вектор бu для случая текучести элемента 2 при достижении в последнем усилия N~. Эrот вектор, перенесенный в пространство (Р 1 , Р 2 ), перпендикулярен линии а~ 1 Р 1а~~Р 2N~ = О, являющейся участком границы области воз+++тическиопределимых~южных состояний системы.Закон ассоциативности текучести доказан здесь пока для ста·§ 11.жестко-пластическихсистем.Общее доказательство захона ассоциативноститекучестиВ общем случае условие текучести системы имеет видF(Pt,Р2,... ,Рп)=О.(9.12)В п-мерном пространстве сил Р; условие (9.12) описывает некоторую гиперповерхность.
Возьмем на этой гиперповерхности точкус координатами Р~, Р~, ... , Р~ и в окрестностях ее разложим функцию (9.12) в ряд Тэйлора, ограничась линейными членами разложения:n~ F';, 1 (Р 1 - Pl) =О.(9.13)i=lЗдесьУ слови е(9 .13)можно представить в видеF'P 1Р1 + F'P 2Pz+ .. . + F'P n Рп == F'P 1 P~ + F'P 2 P~+ .. . + F'РпР~ =С.(9.14)Постоянная С представляет собой некоторую обобщенную силу,которой соответствует сопряженное с ней перемещение В. Очевидно, что работаСВ=P1U1 + Р2и2 + ...
+ PnUn,где и; (i = 1, 2, ... , п) -деформации, сопряженные с силами Р;.Представим уравнение (9.14) в виде таблицы (табл. 7).7*195Таблицав7св верхней строке таблицы стоят силы Р;, в нижней -соnряженныес ними nеремещения и;. Середину таблицы занимает матрица коэффUJJ.Иентов уравнения (9.14), имеющая только одну строку. Транспонируя эту матрицу, согласно nринципу двойственности (см.§В гл.получаем11),ВF~;+и;=О;Сопоставляяи1= -U;=-BF'Pi (i=l, 2, ... , n).(9.15) с (9.14), замечаем,BF'P 1 ; и 2 = - BF'}> 2 ; ... ;(9.15)что векторип= - BF'}>п•определенный в nространстве перемещений, будучи перенесен в пространство сил,становитсявекторомP1=-BF'P;1 P2--BF'J>;... ; Pп=--BF'J> п•180 рмальным к гиперплоскости (9.14), а следовательно, и11оверхности (9.12) в точке (Р~. Р&, ...
, Р~).§ 12.к гипер-Предельвое равновесие сечения батсиЭпюра напряжений в сечении балки из идеально упруго-пластического материала в соответствии с тем, что было сказано в § 6rл. IX, представляет собой линейное преобразование диаграммымМтPvc. 20tlIlрандтля. В упругой стадии работы сечения эта эпюра прямолинейная(рис.208,а),вупруго-пластической -трапецеидальнаяв сжатой и растянутой частях сечения (рис.208,б, в).
При увеличении деформаций внутреннее «упругое ядро» все более уменьшаетсяи в пределе получается эпюра напряжений в виде двух прямоугольников (рис. 208, г). Эrо последнее состояние сечения и будетсостояниемeroпредельного равновесия.Зависимость между кривизной оси балки и изгибающим моментом здесь имеет вид, изображенный на рис.j96209,где разграниченыуnругая и уnруго-nластическая стадии работы сечения. УчитьiВаявозможность внесения уnрощений в рас~ет за счет уже имеющейсянеточности, вызванной условностью диаграммы работы материала,заменяют зависимость. между кривизной и моментом, nредставляяее снова в виде диаграммы Прандтля, как показано на рис.
209'штриховой линией. Преде.'!ьное состояние сечения здесь уже считается достигнутым сразу после окончания упругой стадии работысечения,которая несколько продлевается за счет уnруго-nластической стадии. При этом предельный момент М, в сечении считаетсясоответствующим неопределенному значению кривизны, от M,I(EJ)до бесконечности. Эта условная стадия работы сечения называетсяш а р н и р о м§ 13.т е к у ч е с т и.П.пастичес:кий момент сопроТИВJiеввя сеченияПродолженная в область отрицательных наnряжений диаграммаПрандтля может иметь различные nределы текучести на растяжеoiниезону,в= 'ljJot.и на сжатие о~делитсянадвекоторойчасти:В предельном состояниирастянутуюсечениеr4+напряжение повею-ду равно oi, и сжатую с напряжением о~.
Из условия, что при изгибе равнодействующие растягивающихи сжимающихнапряжений равныдругдругу,nлощадейстипо.'!учаемрастянутойсоотношениеисжатой1::tча-сеченияF+fF_ =о:; ;oj= 'Ф·d;Рис.Отсюда следует, чтоF+=F'IjJ/(1+'Ф);2tQF_=F/(1+'1\J}.Предельный внутренний момент оnределится как произведениеMпp=o~F['IjJ/(1 +'Ф))d,гдеd-nлечопары внутренних сил,равноерасстоянию междуцентрами тяжести растянутой и сжатой частей сечений (рис.210).Величинаможет быть названат 11 в л е н и япротивленияформулойnла с т и ч е с к и м м о м е н т о м с ос е ч е н и яW,черезnр а-.по аналогии с обычным моментом· са-.которыйизгибающий момент выражаетсяM=oW.Предельный момент в сечении упруго--пластической балки можнотакже определить как сумму статических моментов растянутой 11сжатой частей сечения S+ ивзятых относительно нейтральнойs-,197оси и умноженных соответственно наMn~= S+ai +crt и cr-;::S-a;.Поэтому для пластического момента сопротивления получаем формулуW "·' = S++'\fS-.При одинаковых пределах текучести на растяжение и на сжатие 'ф = 1Wnл=0,5Fd=2S,гдестатическийS -моментполовинысечения,взятыйотносительно нейтральной оси.Таблица-т-I11.........ФормасеченияИдеальныйrol(Трубча·ПрокаттоедоутаврW 0 .,!W11,011,15-1,171,2718••1)Прямо·lКруглоеугольноеРомбнческое1,501, 702,00В табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
