Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При этом в выражении для потенциальной энергии можно ограничиться членами не выше второйстепени у 1 и у 2 , а в уравнениях равновесия членами первой степени.Минуя определение выражения для потенциальной энергии, составим сразууравнения равновесия, число которых, согласно числу степеней свободы системы,равно двум. В качестве первого уравнения равновесия возьмем условие равенстванулю сум~1ы проекций на ось У1 всех сил, сходящихся в узле В, а в качестве второго уравнения- условие равенства нулю суммы проекций всех сил на ось у 2 ,сходящи хся в узле С (рис.
231, б).-t\ytl -В узле В встречаются реакция опоры В, равнаякоэффициент1 , гдежесткости опоры, и две силы, действующие вдоль первого и второго стержней,рзвные Р cos ср 1 и Р cos q>2 и направленные под углами ср 1 и ср 2 к первоначальному11аправлению оси стержней. Считая с точностью до величин первого порядка мз-215ЛОС11! синусы углов QJ 1 и QJ2 равными их тангенсам:равными единице,представим- ~У1y 1/lи (у1 -первое уравнение равновесияy 1)/l,ва косинусы-виде+ Py1/l + Р (у~- Y2J!l =0.СОответственно второе уравнение получит вид- ~У2 + Py2/l + Р (у2 - y.J/l =О.После упрощении этим уравнениям можно придать форму(2Р- ~/) у 1 -Ру 2 =0;-Ру 1+ (2P-~l) у2 =0.}(10.24)Тривиальное решение этой системы уравнений у 1 = у2 =О означает, чтокедеформированное состояние системы будет равновесным при любых Р.
~ и l.Кроме трнвwального решения, могут быть еще неопределенные решения при равенстве нулю определителя, составленного из коэфJJициентов системы уравнений(\0.24):\ 2P-~l-Р-Р1-о.2P-~l(10.25)Отсюда можно определить критические состояния системы, при которых в пределах применимости условия малости перемещениli последние являются неопределенными. Решая уравнение (10.25), получаем:(2P-~l) 2 =P 2 ;РI=Щ3;P2=~l.= Р1 =~1 1 3 и при Р = Р2 = ~l. Практlj,.ческое значение имеет только перпая критическая сила Р 1 = ~l/3.Таким образом, критические состояния системы будут возникать при Р=Составим теперь выражение для потенциальной 3Нергии системы, котороепри малых у 1 и у2 будет предстамять собой квадратичную форму 3ТИ х переменных:и= 0,5~yj +О,5~у~- Pl{0,5 (y 1/l) 2 + 0,5[(у 2 - y1 )/l) 2 +0,5(y 2 /l) 2 }.(1 0.26)Первые два члена представляют здесь упругую 3нергию опор, а выражение,стоящее в фигурных скобках, дает укорочение проекцин ломаной оси стержняпосле деформации; это укорочение с точностью до величин второго порядка малости длякаждого стержня равноl - l cos ер= 2/ sin2(ср/2)=0,5/~р2,где с:р- угол наклона стержня после деформации.
После приведения подобныхчленов выражение (\0.26) nринимает види =0,5 (~- 2P!l)Yr +(P!l) У1У2 +0,5 (~- 2P!l) у~(10.27)Поверхность, изображаемая этой формулой в прямоугольных координатаху 1 , у2 , и. является поверхностью второго порядка. При Р =О она представляетсобой параболоид вращения с вершиной в начале координат (рис. 232. а). ПриО<Р<~l/3поверхность(\0.27)будетэллиптически\1параболоидом(рис. 232, б), который имеет одну экстремальную точку у 1 = О, у 2 = О, где и минимально. Следовательно, при у 1 =у2 =О будет иметь место в данном случаеустойчивое состояние равновесия.При Р = ~//3 функция(\0.27)получает види= (~/6) Yi + (~/3) У1У2+ (~/6) У~= (~/6) (у 1 + Yz) 2 .Поверхность, выражаемая 3ТОЙ функцией, является параболическим цилиндромс образующими, параллельными линии у 1у2О, лежащей в плоскости и = О(рис.
232, в). Здесь мы нмеем уже не одну минимальную точку, а целую лин11ю, накоторой функция и достигает минимального значения, равного нулю. Это соответствует безразличному состоянию равновесия, характерному для критическихсостояний системы в пределах малых ее деформаций.+ =216ПриPl/3<Р< Plповерхность(10.27) обращается в гиперболический параболоид, имеющий седловидную форму (рис. 232, г). В начале координат мы имеемздесь положение равновесия, но оно будет неустойчнво в направлении одной изглавных кривизн поверхности.При Р = Р1 =Plформула(10.26) обращается ви=-0,5Р (Yt-Yz)~.Поверхность и приобретает снова вид параболического цилиндра, но уже обращенного выпуклостью вверх (рис.
232, д). В данном случае имеется бесконечноеколичество положений равновесия, определяемых линий у 1g 2 , но все они будут=неустойчивыми.о)а)РАпг)~Я<:Ф:ро)2J{J}Pvc. 231j,{/~~~~~1~е)Puc. 232P=.ftlP=J.Pt/zP>PlНаконец, приповерхность и становится опять эллиптическим параболоидом, но с вершиной, обращенной вверх (рис. 232, е). В этом случае име~тсяодно положение равновесия, неустойчивое в любом направлении.
Система приэтом будет иметь две степени неустойчивости.Таким образом, первая критическая сила определяет границу области устойчивых состояний равновесия снетемы при малых деформациях, вторая же критическая силаимеет лишь теоретическое значение.Из формулы (10.27) легко получаются уравнения равновесия (10.24), какусловия равенства нулю производных д и ;ду 1 и д и /ду2 , которые должны соблюдатьсявэкстремальныхточкахповерхности.В критических состояниях Ртают=Р1 и Р=Р2 условия равновесия приобревид:У1+У2=О приYt-Y2=0НеопределенностьрешенияздесьприP=PI/3;P=Pl.выражаетсявнеопределенностичисленных значений прогибов у 1 и у2 • Соотношения же между ними в критических состояниях равновесия получаются вполне определенными и выражают формы потери217устойчивости, соответствующие той и другоil критической нагрузке.
Первой критической силе соответствует обратносимметричная форма nотери устойчивости,nоказанная на рис. 233, а, в которой у 1-у 2 • Второй криртической силе соответствует симметричнаяформа nотериустойчивости,nоказаннаяна рис. 233, 6. В этой формеу1у 2 • Действительной формой nотери устойчивости будетформа, соответствующая меньшей критической силе, т. е.обратносимметричная.2. Рассмотрим еще геометрически нелинейную системус двумя стеnенями свободы (рис. 234). На жесткий уnругозащем.1енный стержень надета nружина, к концу которойnриложена вертикальная сила Р. Жесткость nружины обозна==чим ~.
жесткостьциальнаяуnругого защемленияэнергиясистемывеестержня а. Потенотклоненномnоложенииравнаи =0,5а.б2+0,5~б2- Р [(1-б)(1 -cos б) +б],гдеб-укорочение nр ужины nод действнем силы Р; 6- уголнаклона стержня; (/- б)(! - cos б) + б- nолное верти·кальное смещение силы Р .Условия равновесия здесь будут:.Puc.2S'Iди;дв=а.в -Р (1-б) sin в=О;}диjдб=~б-РУравнения(10.28)cos в=О.(10.28) оnределяют в nространстве в, б, Р кривую состояний равновесия. Одним из состояний равновесия будет неотклоненное nоложение стержняв=О; б=Р/~.Рассмотрим условия устойчивости этого состояния равновесия.
Оnределимвторые частные nроизводные от и no в и а:а2и;ав2=а.-Р (1-б)cosв;д2иjдб2= ~;д2U !(дв дб) =Рsinв,Для неотклоненного состояния они nринимают значения:д2Ujдб2(0, P!~)=a.-Pl+P2j~;д2Ujдб2(0, Р!~)=~;д2иf(двдб)=О.Детерминант, составленный из этих nронзводных, равен~a.-Pl:P2j~ ~~=(a.-Pl+P2j~)~;он обращается в нуль nриР=0,5~1[1 ± YI-4a./(~12)].Следовательно, система будет устойчива в неотклоненном nоложениир< 0,5~1 [1-v1-4a./(~l·>] и р > 0,5~1 [1 + v1 -4а./(~12)],nриа область(10.29)является областью неустойчивости этого nоложения.При малыхзначениях4Щфt2),заменяяв(10.29)1- Yl-4a./(~L2)на 2a.;(~t2), nолучаем2а./(~12)<2Р/(~1)<2-2а./ф12), или а./1<Р<~1-a./l.Мы видим, что nри очень больших значениях силы Р устойчивость неотклоненного218состояниястержнявосстанавливается.ГЛАВАXlУСТОИЧИВОСГЬ СТЕРЖНЕИ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ§ 1.Уравнеиве устойчивости упруrого сжатого стержваУпругий стержень можно рассматривать как систему с бесконечным числом степеней свободы, поскольку его деформированноесостояниеопределяется неконечным числомпараметвольной функциейконтинуума1--т1аргументов х.Ра~смотримпоперечноеня.некотороеприложена235),I:!.УЮ Р ивышесеченияРис.горизонтальнуюсилау!/дает вертикаль·Q составляющие.перечнаярнагрузка, корассматриваемого(рис.Nсечение стержПустьтораяр111У=У (х),зависящей отхtxров перемещений, а произ233Рис.238Тогда по-в сечении стержня с точностью до величинпервогопорядка малости будетQ = Q+Ру'.(11.1)(Величинами первого порядка малости считаем прогибы у и ихлюбые производвые по длине стержня.)С другой стороны, в упругом стержнеQ=M' =(-EJy")'.После подстановки этого выражения в( 11.1)имеем-(EJy")' -Ру' =Q.Дифференцируя еще раз по х и учитывая, чтоQ'=-q,гдеq-поперечнаяравновесногонагрузка,состоянияполучаемупругого(EJy")"+(Py')'=q.§ 2.окончательноуравнениестержня:(11.2)Потенциальная энергия изогнутого сжатого стержняОпределим потенциальную энергию упругого стержня, получившего малые искривления, с точностью до величин второго порядка1\Уалости.
Эту энергию можно представить в виде суммы трех величин.2191. Потенциальная энергия внутренних сил. Считая ось стержнянерастяжимой, а деформации сдвига отсутствующими, представимэту энергию как энергию изгиба:11U 1 = 0,5~ ~;dx = 0,5оЗдесь2.~EJy" 2 dx.оl - длина стержня; у- его прогиб.Потенциальная энергия поперечной нагрузкиq (х).Эта энер-гия1U2=-0,5 ~ qydx.о3. Потенциальная энергия продольной нагрузки. Для вычисления этой энергии рассмотрим бесконечно малый элемент стержняdx, нагруженный на концах продольной сжимающей силой, сохраняющей свое наnравление (рис. 236).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
