Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Продоль-239ТаблицаСхемам.10Rl.Но#rY~Р;;. ~-r~RRА...._Р i~пv (v-sinv) EJv• 11 - cos v)2 cosv- \OoSIП V т 2-2cosv-vslo1V 11 2-2cosv-v sinv'EJv• (1- cos v)EJ v• (1- cos v) EJv• sln vР 2-2cosv- \lsin v 11 2-2cosv-vslnv 11 2-2cosv-vsinvtnftR-EJ v (slnv-vcosv) EJТ2EJv• sln vv cos"оEJv• sin v•ln v -v co•vот sin vEJVO sln vslnv-vcosvрRt"--~-J~р л~о R--р?r.J ~Rу.-...EJу.-v 1 cos vsinv -v cos v1~EJооТ" tgvную р и моментную т нагрузки считаем отсутствующими. Тогдадифференциальное уравнение равновесия арки (5.12) будет(рМ")'+ (lfp) М'+ ~pq)' =О(11.32)(штрихами здесь будем обозначать дИфференцирование по длинедуги аркиs).Кривизна арки в деформированном состоянии равна1/р=1/R -х,R-гдепервоначальныА радиус круговой арки; хее оси, пропорционапьное изгибающему моменту'Х==240M/(EJ).(11.33)-искривление(11.34)В искривленной арке изгибающие моменты равны нулю, а в начале искривления они могут рассматриваться как бесконечно малыевеличины.Подставив( 11.33) и(11.32)а)в уравнение(11.34)и отбрасывая величины высшегопорядкамалости,получимEJRxи' +(EJ!R) х'++qp'=Oи,заметив,р =1(что1I!R-xх')'= (I/R-x)2 ~ хприведемегок='R2'видуEJRxи' +(EJtR++qR 2 )x' =0.Решение этогоуравнениябудетx=C1 +C 2 sinЛs+С3 cos Л5, (11.35)+гдеA=V E~R(4f-+qR2)=1 ~~qRэ=Rr 1 +ы·В двухшарнирной аркесцентральным=углом2а.при s±a.R кривизна хравна нулю.
Поэтому имеемС1+Puc.J58С2 sin Ла.R +СаС1- С2sin Ла.R +С3cos Лr:x.R =О;cos Ла.R =О.Вычитая второе уравнение из первого, получаемС2гдеn-sin ЛаR =О; f..a.R = nn,целое число. Оrсюда. А= (1/R >V 1+qR 3 /(EJ) = nnt(a.R); 1+qR 3 /(EJ) = n2 n 1/a.1 :q = Qкр =(Е J 1RЗ)(п2n2/а.2- 1).241Заменив а на LI2R, где L - длина арки, будем иметьQкр = [ 4п 2 n 2/(RL2)-1/R3 ] EJ.Критическая сжимающая сила в аркеNкp=-QкpR = - 4п 2 n 2 EJ!L 2 +EJ!Rz.Прип1=формавыпучиванияар·кибудетиметь вид двухполуволн синусоиды (рис.
257, б). Эrойформе соответствует наименьшая кри·тическаянагрузка= 4n 2EJ!(RL2)- EJtRЗ;Nкр = (- 4n 2 EJ!L2) (1- a 2 /n 2 }.QкрТаким образом, критическая сжимающая сила в круговой двухшарнирной арке равна критической силе вшарнирно опертомпрямолинейномстержнедлиной,равнойполовинедлины арки, умноженной на коэФФи·циент 1 При а =a 2 /n 2 •nкритическая нагрузкав двухшарнирнойчто(рис.означаетаркеравна нулю,изменяемость258).системы·§ 18.Устойчивостьсжато~ кОJIЬцаДля решения задачи об устойчивости кольца, сжатогопоперечной нагрузкойРис.можно259хх'равномернойq (рис.
259,воспользоватьсяа),решением(11.35)= - M!(EJ) =С1 +С2 sin Лs+Сз cos Лs;= - Q/ (Е J) = ЛС2 cos Лs- ЛС3 sin Лs,110 вместо граничных условий следует поставить условия замкнутости:х (О)= х(2nR);х' {О)= х'(2nR).Тогда получаем:С1 +Сз= С1 +С 2 sin 2nRЛ+C8 cos 2nRЛ;С2 = С 2cos 2nRЛ- С8 sin 2nRЛ,илиС2sin 2nRЛ- С3 ( 1 - cos 2nRЛ) =О; }С2 (1- cos 2nRЛ) + С 3 sin 2nRЛ =О ..242(11.36)Отличные от нуля решения этоА системы уравнений дают формыпотери устойчивости.
Они получаются при равенстве нулю детерминанта системы (11.36):sin 2 2лRЛ- ( 1 - cos 2лRЛ) 2 =О.Отсюда2- 2 cos 2лРЛ =О; cos 2лRЛ = l;и2лRЛ= 2плдалееЛ.R=n;V1 +qR /(EJ)3=n;Q=Qкp=(n2 -l)EJ/R 8 •Легко видеть, что наименьшая критическая нагрузка, соответствующая условиям поставленной задачи, будет при n2 и paвнa·-=min Qкр =3EJ!Rз.Соответствующая форма выпучивания показана на рис.259, 6.Устойчивость составвых стержней§ 19.Рассмотрим составной двухветвевой стержень, нагруженный наконцах продольной сжимающей силой, вызывающей только осевыенапряжения в каждой ветви (рис. 260). Такой составной стерженьназыватьц е н т р а л ь н ос ж а т ы м.
Продольная.. будемнагрузкавнемдолжнараспределятьсямеждуветвями про порцианальна площадям их поперечных сечений (рис. 261 ). При другом распределении продольной силы составной стержень с началанагружения буд~т иметь сдвиги по шву, а следовательно, и деформации изгиба, т. е. он должен считаться сжато-изогнутым составнымстержнем. Для решения задачи устойчивости составного стержняважна лишь та часть нагрузки, которая вызывает центральное сжатие и является параметрической нагрузкой.Воспользуемся уравнением изогнутой оси составного стержня(7.37), которое представим в виде( 11.37)(обозначения см.
в гл. VII).При изгибе центральна сжатого стержня в нем возникают моментыМ 0 =Ру.Подставив(11.38)в уравнениеyiv _ ').ty• = _(11.37),(11.38}получим_ Р_ у"+ л.s_.!:_ у~EJEJ,. 'илиyiV+ ~EJ_Р_ у"- ').1 (if +_.!:_у)= 0.Еlм(11.39}243В общем CJiyчae граничных условий решение этого уравнениябудет хотя и не сложным, но довольно громоздким. Ограничимсяслучаем,когдапри х =О и х=l( 11.40)у= у"= О.При этих граничных условиях обращаются в нуль моменты М 0= -~ EJy" и суммарные сдвигающие силыТ= (_L; EJy"!см. второе уравнениеранию концов(7.32)].+ M }fw0Это соответствует шарнирному опистержня со свободным1=сдвигомрторцов(рис.262).р~f1 rf2РFг[}[]Рис.Рис260Рис.25225!Pиc.ZOIIРис.2б3"'Такие же граничные условия выполняются в пролете достаточнодлинного многопролетного стержня,когда опорные сечения можносчитать плосt<остями симметрии всего стержня (рис.
263).Граничные условия (1 1.40) удовлетворяются, если положить(11.41)y=y0 sin(nxtl).Остается(11.39)..244лишьудовлетворитьПодставив(11.41)вдифференциальному(11.39)уравнениюи сократив на у 0sin(лх/l),получимотсюдаР=л.tjt•+Л2лlfl'EJ) + ')..2f(EI ..)n2f(t2 ~=Ркр(11.42).Эrо и будет критическим значением силы Р. При Лжень, лишенный связей сдвига, для которого=О имеем стерРкр= n2 ~ EJ/[2= PAIа при Л -+ оо монолитный стержень, для которогоРкр=n 2EJ ..tl 2 =Р ...По.1ьзуясь этим обозначением, формулуватьк(11.42) можно преобразовидугде а= Лlln.Впраiпике часто пользуются иной формулой для расчета составных стержней на устойчивость, основанной на предположении,что сдвигипо шву составного стержняпропорциональны поперечны~ силам.
В действительности это не так, что видно хотя бы изрис.178,нальныегде поперечные силы отсутствуют, а сдвиги, пропорцио-r,нулю не равны. Для того чтобы сдвиги были пропорциональны поперечным силам, надо в формулет= Т'=положить ~щимися=EJО, т. е. считать ветви стержня не сопротивляюизгибающиммоментам,в шарнирно стержневойТогдаПодставляя в формулуркак этоконструкции,-r =!:.EJEJy"'tw+ M 0 twМ 0 ' tw(11.42)имеет место,показаинойнапример,нарис.264.= QO;w.значения Л(7 .17)и устремляяк нулю, получимЛ4 /l 4 +; [ 1/(E1F J + I/(E 2F 2) +w1/~•кр= 1tmLEJ-oO n 2/(1 2 ~EJ] n2 /1 2-El)+; [ 1!(E1F 1)+ I/(E2Fa) +w2/~ EI]!EI~_~wtn2f/2- n 2 !1 2 +~w'!(EI 11 )'=илиn 2 EJ"/1 1р кр = ntEJ ,./(12;w') + 1ПосколькувформулеР ..(11.43)(11.43) собственная жесткость ветвейпринята равной нулю, здесь получилось несколько преуменьшенноезначение критической силы.245Вывод формулы(11.43)может быть произведен без привлечениятеории составных стержней, на основе уравнениябалки, учитывающего деформации сдвига:у"=-M!(EJ ,.)упругой+ M"!(GFa.).оси(11.44}Это уравнение приводится в курсе сопротивления материалов.Здесь G- модуль сдвига; F- площадь поперечного сечения балки;а.
коэффициент неравномерности распределения сдвигов по сечению.Положив М=Ру, получим для сжатого стержняy"[l-P!(GFa.)]+Py!(EJ,.)=O11 после подстановки(11.41)и сокращения на у 0sin nxllоткудаР=~:/(Е~,. + ~ G~a) ==n2EJ,./(t+ n2EJм)12/I(}Fa = р t(l +~)GFa .м(11.45}В составном двухветвевом стержне можно положитьБ= Gfw;т= Q0 /W,а в балкепоэтомуFa.=w;G=~w.и формула (11.45) приобретает вид (11.43).Приближенность этого вывода вытекаетуравнения (11.44).§ 20.изприближенностиУстойчивость п.лоской формы взrибадвутавровых балокВысокие тонкостенные балки при изгибе их в вертикальной плоскости могут потерять устойчивость вследствие того, что сжатыйпояс стремитсявыпучитьсяв горизонтальномнаправлениии принуждзет сечения балки смещаться по Горизонтали и поворачиваться.Такое явление может быть не только в двутавровых балках, но ив тонкостенных балках с любым поперечным сечением.
Нижедается вывод уравнения устойчивости плоской формы изгиба балокс сечением,имеющимвертикальную ось симметрии.Под влиянием изгиба в вертикальной плоскости в сечениях балкивозникают основныепродольныеа=Здесь М246-напряженияMy/J ж·изгибающий момент в сечении;J"' -момент инерциисечения, взятый относительно центральной горизонтальной оси;у- расстояние от этой оси до элемента площади сечения dF.Придадим сечениям балки доnолнительные бесконечно малыеперемещения: поворот в nлоскости сечениящение по горизонтали6,в и поступательное смеявляющиеся функциями длины балкиРассмотрим сначала доnолнительное смещениеS·z.Его влияниесказывается в том, что каждое продольное волокно балки искрив-у!fPuc.25o!/PllC.Puc.
257255"ляется в горизонтальной плоскости, и в результате этого искривленияпродольныенаnряженияа дадутгоризонтальнуюсоставляющую, отнесенную к единице длины балки и равную (рис.dqx =а dF ·Совокуnность265)s" = (MJJ х) у dF · ~".элементарныхусилийdqx,распределенныхпосечению, может быть сведена к одному горизонтальному усилиюи к одному моменту. Легко видеть, что суммарное горизонтальноеусилиеqx.вызываемое смещениемs (z),равно нулю:Qx= (M/Jx>S" ~ ydF =О,Fтак как у отсчитывается от оси, проходящей через центр тяжестисечения, и ~ ydF=О.FСуммарный момент, действующий на сечение и представляющийсобой погонную крутящую нагрузку, будетtn=- ~ d qx· ydF=(- M;J х)Fтакs" F~ у2 dF =-Ms",как~ y9 dF= Jx•FПри закручивании сечения плоскость действия внутреннегоизгибающего момента наклоняется на угол в (рис.
266). При этомвозникает проекция изгибающего внутреннего момента на горизонтальную плоскость,равнаяМ у= Мsin В~ МВ,247что соответствует горизонтальной нагрузкеq_~=-M~=-(MfJ)".Полученные значения дополнительных нагрузок: горизонтальной Qx и крутящей т - следует подставить в основные уравнениягоризонтального изгиба и кручения балки:EJy~IV=qx;гдеJ fJ)EJ[J)(JlV_GJ/!J"=m,момент инерции сечения относительно вертикальной оси~секториальный момент инерции сечения; GJ к крутильнаяJ 11-жесткость сечения при чистом кручении:Таким образом, получаем уравнения устойчивости плоской формыизгиба тонкостенной балки симметричного профиля:Е J ~~~IV +(МВ)"= О; Е J [J)(JIV:- GJ кв"+ М~"= о.(11.46)Для двутавровой балки можно принятьJK = Jyh 2/4,rдеh-расстояние между центрами тяжести поясов балки.§ 21.Устойчивость чистоrо изrиба двутавровой балкиПоложив в(11.46) М=coпst, получим систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:EJ11 ~ 1 v +мв"= О;}EJ[J)(JIV -GJKBW+M~" =0.(11.47)Граничные условия в данной задаче могут быть разными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
