Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 37
Текст из файла (страница 37)
д., приобретая при каждом переходе через новую критическую силу по одной степени неустойчивости.Очевидно,чтопрактическоезначениеимееттолькоперваякритическая сила, так как при переходе через нее состояние равновесия стержня уже будет неустойчивым, что должно привести к разрушению.§ 8.Не:ковсервативвые rраиичиьiе условияЕсли на конце стержня заданы граничные условия-М= а<р+уу;причем6 =1=Q=бср+ ~у,у, то это будет означать, что опорное устройство неконсервативно, т. е.при одних и тех же значениях у иq>его энергияможет иметь разную величину за счет притока ее извне (положительного или отрицательного).Примером неконсервативных граничных условий на концестержня может служить нагружение стержня «следящей» силой,направленной всегда по касательной к оси стержня (рис.
240).Здесь мы имеем граничные условия при х0:=М =О; Q =О, или и"=в·•0:и'"= О.227Легко видеть, что эти условия противоречат формулам (11.11 ).Действительно, из первого условия у" = О получаем с = а = О,а из второго с.= -k 2 =1= О.Следящая сила может быть реализована в виде пораховой ракеты, прикрепленной к концу стержня. При этом имеет место приток1энергииужезаnоэтомусчетсгорания пороха, исистеманеявляетсякон-сервативной.ДругойграничныхпримернеконсервативныхусловийДаетнагружениесвободного конца стержня силой, имеющей постоянную линию действия (рис.Граничные условия при этом бу241 ).дутпри х=ОQ=O;Мо=-РУо·Они находятся в противоречии с уравнениями (11.1 0), так как из первого условия следует i' =О, а из второго i' =- Р.Решая изложенным выше методом задачу устойчивости сжатогоРис.рис.240стержняс2'11неконсервативнымиграничнымиусловиями,можноприйти к неправильным выводам.
Так, в случае нагружения стержняследящей силой (см. рис. 240), подставляя в общее решение (11.5)граничныеусловиянаверхнем конце стержняу"ина(l)=у"'(l)=О,нижнем концеу (О) =у' (О) = О.получаем систему уравнений для определения постоянныхcl,с2.Са, С4:С2+С1=О;kC1 +Сз=О;- C1 k2 sin kt- C2 k2 cos kl =О;- C1 k 3 cos kl+C k2 3sin kl =О.Приравнивая нулю определитель этой системы, пр~Х:одим к уравнениюо11kо2- k2 sin kl - k cos kl оk 3 sin kl о- k3 cos klоои,о=0ораскрывая определитель, получаем- /t' sin 2 kl- k 5 cos 2 kl = - k" =О,что невозможно при любых отличных от нуля значениях силы Р.~28Отсюда следует, что данный стержень не может иметь иенулевых состояний равновесия, как бы велика ни была сила Р. Однакоэто не значит, что неискривленная форма стержня всегда устойчива, таккак возможна динамическаяпотеряустойчивости,прикоторой стержень, не находясь в равновесии, совершает нарастающие колебания вокруг своего начального положения.
Задача здесьрешается уже методами динамики сооружений.§ 9.ЗнергетичесRвй метод расчета на устойчивостьВвиду трудности интегрирования дифференциального уравнения (11.2) в общем случае переменной жесткости EJEJ (х) ипеременной продольной силы РР (х} часто применяют различные приближенные методы определения критической нагрузки.Одним из таких методов является э н е р г е т и ч е с к и й, которыйзаключается в том, что линия прогиба стержня при выпучивании==приближенно задается в видеу (х)-где Т) (х)= f · Т) (х),пекоторая функция, удовлетворяющая граничным усf-ловиям для прогиба стержня;неопределенный по величинепарам·етр.
Подставляя приближеннqе выражение для у в формулу(11.3) при qО, получим=1U ~ 0,5{2 ~ (ЕJч" 2 - P·rJ' 2 ) dx = 0,5{2 0,оlrде G = ~ (ЕJч" 2 - Рч' 2 ) dx-величина, которая может fiыть эаоранее вычислена,например,путемчисленногоинтегрирования.Теперь можно получить условие равновесия:dU!df=Gf=Of = Оd U/d{2 = G >и условие устойчивости при2О.Таким образом, получаем условие устойчивости в виде:l•l1~(EJч" 2 -PtJ' 2 )dx>O. или ~Рч' 2 dх< ~EJч" 2 dx.оооЕсли сжимающая сила переменпая по длине стержня, то следует=положить Рр~ (х), где р - параметр продольной нагрузки, для1<0торого требуется найти значения, соответствующие устойчивомусостоянию стержня. При этом получаем11р ~ 6rt' 2 dx < ~ ЕJч" 2 dx,оо223откуда1rр <~ EJr( 2 dx/~ ;1])11 dx.оnЕсли вместо функцииfJ(х) взять функцию1] 1 (х), также удовлетворяющую граничным условиям для прогиба стержня, то получимусловие устойчивостиllр <~Е Jt]i 2 dx/~ ~fJ~ 2 dx.о(11.15)оОчевидно, что стержень будет устойчив лишь в том случае, еслиусловие (11.15) удовлетворяется при всех возможных функциях ТJ·Критическое значение р, при котором условие (11.15) перестаетудовлетворяться, будет различным для разных функций fJ· Та функцияfJ,котораядаетминимальное значениеlрl= ~ Е J rJ" 2 dxt~ ~fJ' 1 dx = min,о(11.16)обудет соответствовать истинной форме потери устойчивости стержня.При всех других функциях fJ величина Ркр• определенная по формуле (11.16), будет больше истинного критического значения р.Однако если ffJ (х) мало отличается от истинной кривой выпучивания, то ошибка в определении Ркр по формуле (11.16) будет незначительной.Смысл данного приближенного определения Ркр заключаетсяв том, что система с бесконечным числом стеnеней свободы, каковойявляется упругий стержень, заменяется системой с одной степеньюсвободы с параметром перемещенияf.Стержню как бы искусственно предоставляется возможность изгибаться только по опред~ленной кривой Т) (х), что равносильно наложению на систему некоторых связей, nриводящих к повышению ее устойчивости.§ 10.Пример примевевu эверrетичесхоrо методаРассмотрим простейший случай выпучивания стержня постоянного сечения с постоянной сжимающей силой Р и с шарнирным опиранием концов (см.
рис. 239, а). Выше для такого стержня былаполученаперваякритическаяРкрсила= n 2E J/l 2 = 9,8696EJ/l2 •(11.17)В приближенном решении зададимся кривой прогиба в видеу= f (х'- 2/х~+ l 3x),удовлетворяющемграничнымусловиямстержняу (О)= у (l) =и" (0) =и" (l) =О.230(11.18)Согласно формуленаходим:(11.16),1J=x'-2LXЗ+l 3x; fJ'=4x 3 -6/x2 +L 3 ; fJ"= 12х2 -12/~;fj' 2= 16х6+ 36/ 2х'+ 16 - 48lx6+8ZЗx3 - 12l'x2 ;fj" 2 = 144.х' + 144/ 2 х2 - 288/х 3 ;l~ fJ' 2 dx = l' (16/7 + 36;5 + 1 - 48/6 + 8/4- 12/3) = 1717/35;(11 .19)о1~ fj" 2 dX = [Б ( 144/5 + 144/3- 288/4) = 24/Б j5;оs = 1,так как здесь(х)EJ 24 · 35Ркр~J2r;-:тг =то168 EJEJ--г7/Г=9,8824[2,что отличается от точного решенияна 0,13 %.(11.17)всегоПрибтlжеииое определение§ 11.устойчивостистержня:перемениого сечения:Хорошая точность,щемгибовчиоб(11.18)шарнирносечения,сеченияизменяющимсяспоJ = (J 0 jl 2 )гдев предыдудля приближенного решения задаустойчивостистержня перемениогоцииполученнаяпримере, позволяет применить кривую прозакрепленногомоментом инерPиc.zn.закону(/ 2+ alx- сц2),J 0 - момент инерции концевых сечений (рис.Найдем величину242).EJ1J" 2 = (EJ 0 Jl 2 ) (/ 2 + alx- ах2 ) (144.х' + 144l2x2 - 288l:c1 ) ==(144EJ 0 /l2 )[-a.~ +3alx5+(1-3a) / 2r+(-2+a) ZЗх 3 +l'x2 ].l,Интегрируя это выражение по х от нуля до1.~ EJ1J" 2 dx = (144EJ 0 lь)(--,aj7 + 3af6+получаем1/5- За;5- 2!4+а!4+ 1/3)=о= 144EJ 0 l 5 (1/ЗО+сt/140)и, подставляя в формулуь(lРкр= 144EJol30 +(11.16)с учетом(11.19)приct)351140s=12EJ017/f = J7--y2(14 +За).1,(11.20)Эту формулу можно представить в несколько ином виде, заметив,что момент инерции среднего сечения стержняJ ер= Jo (1 +ct/2 -Щ4) = J 0 (1+ aj4);231отсюдаCl=4J,p/Jп-4.Подставив это значение а в формулу12 Е J 0J •Р1получим(11.20),24 Е\Р кр = 17 /Г \ 14 + 12 7; - 12) - 17 [D ( J о + 6J ер) =EJoEJep=1,412[2+8,471[2·(11.21)Точность полученной формулы при а = О; J ер = J 0 , как мы видели ранее, составляет 0,13 %.
При J 0 =О имеющееся точное решение задачи[6)дает:Рв:.р = 8EJepfL 2 ,т. е. ошибка здесь составляет около 6 %.Формулу (11.21) можно применять и приJ ер не слишком сильно отличается от J 0 •§ 12.J ер< J 0 , ес.'!и величинаУточнение энерrетичесхоrо методаМожно повысить точность энергетического метода, если свестистержень к системе не с одной, а с несколькими степенями свободы,положивrtУ R:::: ~ ftТJi (х)./=1Здесь Т); (х) -заданныеусловиям для прогибов;функции, удов.11етворяющие граничнымпараметры деформированного состояния стержня. Приближенное выражение для потенциальной энергии здесь будети= 0,5 i[ EJ=~0,5 [ EJ{; -(t {;ТJ{1)Р~ (~1 {;ч?)] dx=2-itt~~ ~~ fJ;чiчi- р';, ~~ fJjчiчi] dx.Таким образом, получаем квадратичную формуnnи= 0,5 ~ ~ B;j{tfj,l=l j=lгдеlВ;;=~ (EJчiчi- Р~чlч/) dx.оДальнейшее решение сводится к задаче об устойчивости системыс конечным числом степеней свободы и ведется так, как описанов гл.
Х. Первое критическое значение параметра нагрузки рРкр=232оnределится nри этом, как и ранее, с небольшим nревышением, которое будет тем меньше, чем больше число n аnnроксимирующихфункций Т); (х) или чем ближе к истинной форме nотери устойчивости будет выбрана хотя бы одна из этих функций.§ 13.Сжато-изогнутые упругие стержниПри нагружении сжатого стержня nоnеречной нагрузкой nолучаем сжато-изогнутый стержень. Прогибы сжато-изогнутого стержняnостоянного сечения, нагруженного постоянной по длине сжимающей силой Р, nодчиняются дифференциальному уравнению (11.4),которое имеет решение (11.5). В ряде случаев, однако, можно исходить из более простого дифференциального уравнения второгопорядка относительно момента М = -EJy", если граничные условия можно выразить только через этот момент и его производнуюQ.Уравнение(11.4)с заменой у" =М"+ k 2 M +q= О;-M/(EJ)k=получает вид:V P!(EJ).(11.22)Заметим, что поперечная нагрузка q, являющаяся активнойнагрузкой, входит линейно в уравнение (11.4) и (11.22) и что поэтому к ней применим принцип независимости действия сил (чеrонельзя сказать о параметрической нагрузке Р).Рассмотрим некоторые частные случаи нагружения стержня,решаемые при помощи уравнения (11.22).А) Ннецентренно сжатый стержень.
Считаем стержень шарнирно опертым по концам и нагруженным продольной сжимающейсилой, приложенной внецентренпо к концам стержня с эксцентриситетом е (рис. 243, а), что равносильно приложению к торцам центральна сжатого стержня моментов М 0-Ре (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
