Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Легко видеть,что даже при малых отклонениях стержня от вертикали возникаетвнешний момент относительно точки заделки стержня, стремящийсяувеличить эти отклонения. Если сила Р будет достаточно велика,то при любом отличном от нуля в система не сможет сохранятьравновесиеиначальноенеотклоненноесостояниесистемыоказы·вается неустойчивым.Введем в рассмотрение потенциальную энергию системы в любом_отклоненном ее положении. В качестве условного нуля примем по­тенциальную энергиюсистемывнеотклоненномположении,т.

е.=при вО. При отклонении стержня сила Р совершает работу,равную произведению силы Р на величину вертикального смещенияточки ее приложения .1l (1 - cos е). На эту работу потенциаль­ная энергия системы уменьшается. С другой стороны, в упругой=заделке происходит накопление потенциальной энергии внутреннихсил, равное а.е 2 • Поэтому общая потенциальная энергия системыравнаИ= 0,5а.6 2 -Pl (1- cos О).Графическое изображение функции и(10.4)дано на рис.(10.4)222.2051rсловие равновесия здесь имеет видctи;de= ае- Pl sin е= О.(10.5)Из этого уравнения можно найти все nоложения равновесия си­стемы. Проще всего это сделать графическим nутем, как nоказанона рис. 223, где корни уравнения (10.5) соответствуют абсциссамточек пересечения прямой А' =а е и синусоиды V' = Pl siп е.Число положений равновесия зависит от величины Р, так как приизменении амплитуды Pl синусоиды будет изменяться количествоточек пересечения последней с прямой а е.[/Рис.22!На рис.Рис.222222корням уравненияPuc.223(10.5)отвечает соответствующеечисло экстремальных точек кривой и (е).Заметим, что условие равновесия(10.5)можно получить непо­средственно и более просто, как условие равенства нулю суммы мо­ментов всехсил относительно точкизаделки стержня.Построив кривую зависимости и от е, получим систему, экви­валентную заданной системе в виде шарика единичного веса, пере­мещающегося по этой кривой.

Из этой аналогии становится ясно,что не все состояния равновесия будут устойчивыми. В точках мини­мума и кривая обращена выпуклостью вниз, и шарик, перемещаю·щийся по ней, при отклонении от положения минимума и на вели­чину е, не превышающую некоторого достаточно малого значения,возвращается обратно в устойчивое положение равновесия. Точнотак же ведет себя и рассматриваемая нами система. В неустойчивыхсостояниях равновесия, соответствующих максимумам и, системапри отклонении на как угодно малый угол е не возвращается об­ратно, а переходит в другое, устойчивое положение равнонесия.§ 3.Критичес:кие состояния равновесияПри увеличении силы Р кривая и меняется, и точки, отвечаю­щие положениям равновесия, в общем случае смещаются. Длятех же, которые остаются на месте (в нашем случае точка е0),состояние равновесия может переходить из устойчивого 1 в неустой­чивое 2 (рис.

224). Очевидно, что при некотором значении силы Р=должно существовать промежуточное состояние равновесия206-кри-тическоенаяпри котором не только равна нулю первая производ­3,dU /d е,но переходит через нуль и вторая производнаяТаким образом,системыопределяетсядвумя урав-нениями:dU;de[!=О иДляd V;de2=О.2( 10.6)рассматриваемойуравненияэти2( 1о. 7)Если речь идет о начальномравновесияусловие(10.5)вравенствадаютложенииf3системы(10.5) иd2V;de 2 = et- Pl cos е= О.Pиc.22lfпо-е =О, когдавыполняетсялюбом Р, то уравнениечаетd2 U /d е 2 •аналитически критическое состояние равновесияtpприполу-(10.7)видet-Pl=O.Отсюда находим критическоечение силы Р для положениязнарав-~~~!)е= о:иовесияР§ 4.=Ркр(10.8)= etf[.1о.'li.27r.8Кривые состоянийравновесияВ рассмотренномтенциальнаяпримереэнергияUпо­являетсяфункцией деформации е и внеш­ней силы Р.

Поэтому условие рав­новесия (10.2) правильнее пред­ставитьвТ\видедU (Р, е);де= Ue (Р,11е)= О.Зависимость между Р и е, задан­наяэтимвиде,уравнениемопределяетввнеявномкоординатахе, Р некоторую кривую, называе­мую кривой состояний равновесия.Рис.225"В нашем случае это будеткриваяполучаемая изсияР = ete;(l sin е),(10.5) и изображенная на рис. 225.( 1О .9)Покажем, что экстремальные точки кривой состояний равнове­(10.9), для которых выполняется равенствоdPtde=O,(10.!0)соответствуют критическим состояниям равновесия.

Раскрывая зна­чение производной по правилу дифференцирования неявной функ-207ции,получаемdPdб=дИв (Р, б)/дбОтсюда следует, что равенствоМыполучилид2U fдО2-дИв (Р, б)/дР =второе(10.10)условие(10.11)д 2 U 1(дб дР).выполняется при д 2 U lд6 2 =О.критическогосостоянияравнове­сия (10.6), в котором обыкновенная производная заменена ~стной,так как здесь Р уже не .считается постоянной величиной. Так как,кроме того, на всей кривой состояний равновесия соблюдается пер­вое условие равновесия (10.6), то уравнение (10.10) может заменитьоба условия критического состояния системы (10.6).Там, где производная д 2 U !де 2 меняет знак, происход1rт переходот устойчивых состояний системы к неустойчивым или наоборот.Из выражения (1 0.11) видно, что перемене знака д 2 U /д 6 2 сопутсr­вует изменение знака у производной dP/d6, т.

е. изменение напра­вления наклона кривой состояний равновесия. Отсюда следует, чтоесли подъем кривой состояний равновесия соответствует устойчи­вымположениямсистемы,участке падения кривойто(10.9)послепереходачерезмаксимумнамы имеем неустойчивые положения.В особых случаях может оказаться, чтод 2 U/(д6 дР)= О.Тогда кривая состояний равновесия должна уходить в бесконеч­ность или (при д 2 U /д6 2 = О) иметь особые точки.Для системы, изображенной на рис.

221, смешанная производнаяд2Uj(д6 дР)=обращается в нуль при взначенияхриС'.225,6кривая= mn,l sin 6 ·где тсостояний-целое число. Поэтому приравновесия,изображеннаянауходит в бесконечность. При переходе через бесконечность,так же как и при переходе через экстремальные точки кривой со­стояний равновесия, участки устойчивых состояний равновесия,как правило, сменяются участками неустойчивых состояний.Кривая состояний равновесия (см. рис. 225) имеет также вер­тикальную ветвь, совпадающую с осьюнеотклоненномусилы Р. В точкеположению6=О, Р =системыa/lи6=О и соответствующуюпроизвольнемузначениюимеет место разветвление состоянийравновесия, выражающееся в появлении близких в этой точкеотклоненных устойчивых состояний и смене на вертикальной ветвиустойчивых состояний (при РР> Ркр).< a/l=Ркр) на неустойчивые (приТакая точка называется т очко й б и фур к а ц и и.В ней обращаются в нуль обе вторые производвые д 2 U/f:)B 2 ид 2 U !(де дР), что означает особую точиу кривой состояний равно­весия, а именно, узел пересечения двух ее ветвей.На рис.225участки устойчивых состояний равновесия обозна­чены сплошными линиями, а неустойчивых- штриховыми.Ординатами кривой состояний равновесия может служить нетолько значение силы Р, но и любой другой параметр системы(например, длина l или коэффициент жесткости а), если он может208принимать различныечений остальныхзначенияпараметров,присохранениикромепараметрапостоянныхзна­перемещенийв.Все особенности кривой состояний равновесия при этом сохраняютсвою силу.§ 5.

Эверrетическве барьерыЧасть кривой потенциальной энергии, лежащей между дву~я ееминимумами (см. рис. 220), называется э н ер г е т и чес к и мб а р ь ер о м. Вершиной энергетического барьера является не­устойчивое состо·яние равновесия, в котором потенциальная энергияимеет максимум. Преодоление энергетического барьера возможнопутем искусственного возмущения системы, т. е. придания ей дефор­мации,выводящей систему за вершину энергетического барьера.При этом до перехода через вершину должна затрачиваться энергия,равная высоте барьера, возвращающаяся обратно после преодоле­нияпоследнего.В ряде случаев энергетиче~:кий барьер оказывается незначитель­ным, и тогда устойчивое состояние равновесия практически равносильнонеустойчивому,вследствиебольшойвоз·а)рможности возмущений, переводящихшинусистемуза вер-энергетическогоl~t1о}иба­рьера.В качестве примера рассмотрим абсолютно жесткий высокий параллелепипед, опертый на жесткуюгоризонтальную..:::плоскостьои нагруженный в верхнемРис.22оосновании осевойверти­кальнойсилой Р(рис ..226, а).

Такой параллелепипед является теоретически устойчивымпри любом значении Р. Однако достаточно очень малого наклонаоси параллелепипеда, чтобь1 сила Р перешла за ребро нижнего осно­ванияипроизошлоопрокидывание.Потенциальная энергия системы здесьи= Ргде(h cos q>+ 0,5Ь) siп q>,(10.12)угол наклона оси параллелепипеда к вертикали;q> -сота и Ь -ширина параллелепипеда. График кривойзан на рис. 226, б. Приtg <t' = 0,5b/hll -(10.12)вы­пока­имеет место максимум и, т. е.

вершина энергетического барьера,что соответствуетна уголarctg (0,5отклонению осипараллелепипедаЧтобы определить степень опасностискогобарьера,отвертикалиЬlh).следует сравнитьпреодоления энергетиче­возмущение,необходимое для209этого,с темиподвергаться,возмущениями,икоторым система может практическиоценить вероятность появлениякритического воз·мущения. Это относится уже к вероятностным методам расчета соору·жений, о которых говорится в гл.§ 6.XVII.Решение в линейном приближенииВ большинстве случаев конструкции могут иметь только оченьмалые перемещения.

Тогда выражение для потенциальной энергиисистемы можно разложить в степенной ряд по перемещениям и пре·небречь в этом разложении членами с высшими степенями аргумента.Разложение следует вести в окрестности нулевого значения переме­щения у= 0:и (у)= и (О)+ а 1 у+ (а 2 /2!) у 2 + (а3 /3!) у 3 +...Здесьа1 ,d 3 и /dx3 ,...а2 ,а3 ,при у... -значения=производныхdи ldx,(10.13)d 2 и ldx 2 ,О.Поскольку мы уеловились принимать за нулевой уровень потен­циальной энергии начальное состояние системы, когда уО, то=и (О)= О,а пос1юльку это состояние являетсяа1состояниемравновесия,то= (dU/dy)y-o =О.Таким образом, приближенное выражение потенциальной энергииследует принятьввидеквадратичного члена(10.14)отбросив в разложении (10.13) члены более высокой степени.Например, для системы, изображенной на рис.

221, разлагаяточное выражение (10.4) в степенной ряд по б, получаеми=(r:x./2)б2 -+Pl (1- 1 б 2 /21- б~/41(r:x./2) б 2 - (Pl/2) 02.+ ...)~~(10.15)Эта приближенная зависимость и от перемещения б имеет видпараболы (см. рис. 224), которую можно трактовать как несколькоискаженное изображение окрестностей точки бО на точнойкривой (см. рис. 222).В отличие от точного выражения для и зависимость (10.14) дает=только одно положение равновесия, которое может быть устойчи­вым,неустойчивымикритическимвзависимостиотвеличинысилы Р. Устойчивое равновесие будет, когда вершина параболы(10.14) обращена вниз, т.

е. когда при б =О имеетместоминимум и.Неустойчивому равновесию соответствует парабола, обращеннаявершиной вверх (см. рис. 224). Наконец, промежуточное, критиче­скоесостояниеравновесияимеетместопривырождениипара­болы (10.14) в прямую, совпадающую с осью абсцисс. Последнеепроисходит при Р = Ркр = r:x./l, что полностью совпадает с крити210ческимзначением Рнайденным из точного выражения функ­(10.7),ции и (10.4).Таким образом, в отношении величины критической силы длянулевого положения равновесия приближенная теория малых дефор­маций не делает никакой ошибки.

Характеристики

Список файлов книги