Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако самоtpпонятие критического состояния системы здесьнескольконо видетьиноеизисоответствует,какнетруд11111аналогии с движущимся по кривой и весомым шариком, безразличному состоянию равновесия, в котором деформация8 может принимать любые значения от -оодо +оо, тогда как на самом деле критическоесостояние равновесия системы будет только вее положении 8О.=Приближенноепредставлениедляи(10.15) позволяет значительно упростить решениезадачинейномутельно,взявфункцииустойчивости,уравнению8,сведяравновесия.воее к лиДействиPIIC.227производную от квадратичнойполучаем уравнение равновесия в видеdи/d8= а.е- Р/е.Представив это уравнение в видее (а.-Pl)=о,найдем, что величина е равна нулю при любом Р, за исключением РРкра//, когда е становится неопределенным и может==принимать любые значения, причем условие равновесия остаетсявыполненным.Итак, в линейном приближении критическая нагрузка вызываетравновесия системы, при котором перебезразличное состояниемещение может иметь любую величину.
Заметим, что условие обращения в нуль второй производной от потенциальной функцииd 2 и/de 2 =а-Pl =О.соблюдается здесь независимо от величины перемещения еКривая состояний равновесия здесь обращается в две пересекающиеся прямые е =сматриватькаксильноО и Р= a./l(рис.увеличеннуюв227),которые можно расгоризонтальномнии часть точной кривой состояния равновесия (рис.женную вблизи оси е = О.§ 7.располоНеоднородные задачи устойчивостиН~однородныминазываются такие,стояние системынаправле225),незадачамив которых начальное,являетсяположениемустойчивостинедеформированное соравновесия.Так, стойка, изображенная на рис.
221, может быть нагружена,кроме продольной силы Р, также боковой силой Q, как показано211на рис. 228. Будем считать, что в nроцесседеформирования системысилы Р и Q не меняются ни по величине, ни по направлению. Уравнение равновесия данной системы будетаб-PL siпб=QL cosб,(10.16)а если считать перемещение б (угол поворота стойки) малым, тоaб-Plб=QL.Уравнения(10.16)и(10.17)вое значение переменнойб(10.17)неоднородны в том смысле, что нулене является корнем этих уравнений.Решеине неоднородной нелинейной задачи с учетом конечных перемещений принципиально не отличается от решения однороднойзадачи, рассмотренной выше. Если же ограничиться рассмотрениеммалых перемещений, то в неоднородной задаче по~вляются некоторые качественные особенности.ррr:tjlра= constrt/t9-о-8т:'\Puc 228Puc.229fJUC.
23flСоставим приближенное выражение потенциальной энергиистойки, изображенной на рис. 228, в положении, отклоненном намалый уголбот начального положения:И= (а/2) б 2 -(Pl/2) е 2 - QLe.В этом выражении имеются члены, зависящие от нагрузки и содержащие переменную е в первой и во второй степени.Та часть нагрузки, которая производит работу наниях, пропорциональных квадрату еперемещеи входящих в выражение дляпотенциальной энергии системы во второй степени (в нашем случаесила Р), называется п а р а м е т р и ч е с к о й н а г р у з к о й.Другая часть нагрузки, производящая работу на перемещениях,пропорциональных первой степени параметра перемещений (в нашем случае сила Q), представляет собойа к т и в н у юн агр уз к у.В уравнение равновесия(10.17)активная нагрузка входит в свободный член, не зависящий от перемещений, а параметрическая-в член, содержащий величину перемещения в первой степени.Решив уравнение (1 0.17) относительно б, найдем перемещение,соответствующее заданной нагрузке:б=212QL/(et- PL).Перемещение в пропорционально активной нагрузке и нелинейнозависит от параметрической.
При некотором значении параметрической нагрузки перемещение обращается в бесконечность при любой конечной активной силе. ~о значениер= a.jlсовпадает в данном случае с критическим значением нагрузки (1 О. 7)в однородной задаче, т. е. в стойке без активной силы Q.Зависимость Р от в при постоянной силе Q имеет вид гиперболыP=(-Ql+a.в)!(Lв),асимптотнчески стремящейся к горизонтали РЗаметим, что при( 10.16) вместо (1 0.1 8)учетеконечныхР = ( - Ql(10.18)=a.ll (рис.
229).перемещенийполучаемизcos в+ a.в)J(l sin в).Это уравнение определяет обычную кривую состояний равновесияс рядом максимумов, минимумов и переходов через бесконечность,разграничивающих устойчивые и неустойчивые положения системы(рис. 230). Гипербола, изображенная на рис. 229, соответствуетмалому участку этой кривой, расположенному вблизи оси в§ 8.=О.У стойчииость систем с иеСRоJiысимистепенями свободыЕсли деформированное состояние системы описывается нескольКIIМIIпараметрами:у1 ,у2 ,••• ,у,.,топотенциальнаяэнергияеебудет функцией всех этих параметрови= и (у\, У2•.•.
'у,.).(10.19)В равновесных состояниях должны выполняться равенства:ди;ду 1 =О; аи;ду 2 =О;... ;дИ;ду,. =О.Однако не все состояния, определяемые формулами(10.20)(10.20),являются состояниями устойчивого равновесия.Для выяснения характера состояний равновесия рассмотримизменения функции и при малых отклонениях от этого состояния. Примем начало отсчета координат у 1 , у2 , ••• ,у,. и И в точке равновесия системы. Разлагая функцию (10.19) в степенной ряд в окрестностяхначалакоординат,получим+ А2У2 + ... + А,.у,.
++ 0,5 (ВнУi+ В12У1У2+• •·+ В1пУ1Уп ++ В21У2У1 + В22У~ +... + В2пУ2Уп ++ В,.1у,.у1 + В,.2УпУ2+· . .+ В,.,.у~) + R.и= А1У1Здесь•. .у,. =О;(10.21)- значения производных дU lдyt при у1 = у1 = ...8 1j = В ji - значения производных д 2 И /(ду 1ду1 ) nриА;213Yt =у2= .. ·Уп =О;R-остаточный член,включающнйведения третьей и более высоких степеней.Из условий равновесия (10.20) следует,... An=О, а считая перемещенияостаточным членомкотороепредставимR.вYiчтоА1=произА2= ...малыми, мы можем пренебречьПолучим приближенное выражение дляU,видеnnV = 0,5 ~ ~ 8iJY;Y;·i=l i=lВ правой части здесь стоит квадратичная форма переменных Yi·Уравнения равновесия (10.20) при этом приобретают вид:дЩду1 = ВнУ1 + 812У2 + ..
-+ 81пУп =О;дV;ду2 = 82tY1 + 822У2+· .. + 82пУп =О;дU/дУп = 8п1У11(10.22)+ 8п2У2+• • •+ 8ппУп =О.Очевидно, что они удовлетворяются значениями у 1 = у 2 = ... == Уп = О. Эти значения называются тривиальным решением системы уравнений (10.22). В особых случаях равенства нулю определителя811 812 . · · 81nDвозникают иные,В21 822 ...
82п =Оотличные откоторые соответствуют§ 9.=нулякритическимрешения( 1о. 23)уравнений(10.22),состояниям системы.Спектр :критических cИJI и формы потериустойчивости системыВвыражение (10.21) дляпотенциальной энергиивходитнагрузка:в коэффициентыAi (i1, 2, ... , n)- активная,а в коэффициенты 8;1 (i, j1, 2, ...
, n)- параметрическая. Здесь==нас будет интересовать параметрическаянагрузка,которую сч11·таем изменяющейся пропорционально одному параметру Р. Этотпараметр входит линейно в каждый член определителя (10.23),следовательно, определитель D представляет собой целую алгебраическую функцию Р п-й степени, а уравнение (10.23) - алгебраическое уравнение п-й степени относительно Р.
Как известно, такоеуравнение имеет n корней: действительных, мнимых или комплексных. Свойства уравнения, а именно симметрия коэффициентовв,.1В; 1 и линейность этих коэффициентов относительно неизвестного Р, приводят к тому, что все корни уравнения являются действительными. (Доказательство этого положения выходит за рамки=настоящего курса.)214Каждый из корней Р 1 , Р2 , ... ,Pnуравнения(10.23)соответствует какому-либо критическому состоянию системы, а сами этикорни представляют собой критические значениянагрузки. Таким образом, число критических значений нагрузки равно числустепеней свободы упругой системы.Совокупность всех критических значений Р, являющихся корнями детерминантнаго уравнения (10.23), расположенных в порядке возрастания, называетсяс п е к т р о мз н а ч е н и йилис к и хн а г р у з к ик р и т и ч е с к и хс п е к т р о мкrи т и ч ес и л.Как только нагрузка достигнет наименьшего критического значения Р 1 , определитель D (10.23) обратится в нуль, а система уравнений равновесия (10.22) получит неиулевое решение, что означает потерю устойчивости упругой системы.
Дальнейшее увеличение нагрузки имеет уже только теоретическое значение,посколькуупругая система не сможет ее воспринять. Однако представляетинтерес формальный анализ задачи, который показывает, что припереходенагрузкичерезкаждоепоследующее критическое значение упругая система приобретает одну степень неустойчивости, т. е.изменяемости. Всего система может иметь, таким образом, n степеней неустойчивости при нагрузке, превышающей наивысшее критическоезначение.Каждому критическому значению.Р соответствует свое решениеоднородной системы уравнений (10.22), определяемое с точностьюдо произвольнаго множителя и описывающее свою форму потериустойчивости. Наименьшей критической нагрузке соответствуетпервая форма потери устойчивости, которая и реализуется в действительности.
Высшим критическим нагрузкам отвечают другиеформы потери устойчивости, которые могли бы проявить себя лишьпослепереходапараметра нагрузкичерез соответствующее критическое значение, образуя дополнительные степени неустойчивостиупругой системы.Пр и меры. 1. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, состоящуюиз трех жестких брусьев, шарнирноскрепленных друг с другом и опертых в местах скрепления на упругие опоры, как показано на рнс. 231, а. К свободнымконцам стержней приложена сжимающая сила Р. Длины стержней и коэффициентыжесткости упругих опор будем считать одинаковыми. В качестве независимыхпараметров, определяющих деформированное состояние системы, примем осадкиопор У1 и У2·Решим задачу об устойчивости такой системы в предположении, что перемещения у 1 и у 2 очень малы по сравнению с длинами стержней l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
