Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Наиболее простой случай граничных условий:приz =Оиz=l ~=~"=в= fJ" =О.Эrот случай соответствует шарнирному закреплению концов балкив горизонтальной плоскости,отсутствию поворотов на опорахисвободной депланации торцов балки, т. е. невозможности появления на них дополнительных продольных напряжений (рис. 267).При этих граничных условиях решение уравнений (11.47) можноискать в форме:~= С 1 sin (лz/l);в= С 2sin(Лz/l).Подставив это решение в уравнения (11.47) и сократив на siп (лzil),ПОЛуЧИМ СИСТему двух ОбЫКНОВеННЫХ уравнеНИЙ ОТНОСИТе,'IЬНО Clи С2 ; детерминант этой системы равен:4 4EJ 11 л /l\ -Мл2 /l 2-Мл 2 /l 21EJ[J)л 4 /l 4 +GJкл 2 /l 2 == (л 4/l 4 ) (EJ11 EJ[J)л 4/L 4 +GJкEJ11 л 2fl 2 - М 2 ).248Приравняв ~го нулю, nолучим уравнение, из которого оnределяетсякритическое значение М:М кр =-+- V (Е J уЛ 2 /l 2 ) (Е J 00 n 2/l 2+ GJ к),или(11.48)гдеm 2 =GJкl 2/(EJoo)•)1ля двутаврового сеченияm 2 = 40Jкl 2/(E Jyh 2 ).Заменив в выражении(11.48) GJ кчательноМ кр =-+- л У л 2наm 2EJ uh 2 /(4/ 2 ),+m2получим окон-Е Jyh/(21 2 ).Если бы не было оснований опасаться потери устойчивостибалки, то nредельный по краевым напряжениям изгибающий момент был бы равен[М]=(2J xlh) [ <J],rде [а] -предельное напряжение прИ изгибе.
Огношение Mкpf[MJможно назвать коэффициентом снижения допускаемых наnряженийnри изгибе;·Мкрn«р= [М]= 4 Vл2+т2EJyh2(a]lx/2'При этом балку можно рассчитывать по формулеа=M/(W х'Р),где \\7х- момент сопротивления сечения балки.При очень жесткой на кручение балке, наnример, при наличииnланок, nревращающих сечение nочти в замкнутое, m 2 , а следовательно, и критический момент Мкр• стремятся к бесконечности,так что nотери устойчивости балки не nриходится оnасаться.ГЛАВА ХПОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ§ 1.ПоJJзучесть строитеJJЬвых матерИ8JiовМногие строительные материалы при постоянной нагрузке показывают постепенное нарастание деформаций во времени.
Эrоявление называется л о л з у ч е с т ь ю. Кривая, изображающая249изменение деформаций с течением времени под действием постояннойнагрузки, называется к р и в о й п о л з у ч е с т и. Эту кривуюлегко получить экспериментальным путем, соблюдая, однако, в течение эксперимента постоянство внешних условий: температуры,влажности, а также отсутствие толчков, вибраций и т. п.щt/d, па-'1001 11060 /11 1~бетон110201 11 1Оt, сgт.10 20 :!0 110 50. оО 70 80О6}"'""0)2~~~f61~i""'" 1,1Дре!есинu(изгио)11/00 200 JOO lffJU 500500 700 t1 ftШI(г)z~-O,f161rpyнm{суглинок)"11 1О 10 20 JO '10 5О 50 70 80 !JO fOO t,UнuРис.268На рис. 268, а-г показаны кривые ползучести различных материалов.
Как видим, характер всех этих кривых один и тот же.При небольших напряжениях деформации ползучести пропорци·ональны нагрузкам, т. е. ординаты кривых ползучести данного материалаприразличныхзначенияхнагрузки пропорциональны этим значениям. В этом случае имеет местол и н е й н а я п о л з у ч е с т ь.При более значительных нагрузкахпропорциональностьмеждунагрузкой и деформацией в данный моментвременинарушается1нагрузки изменяетсяtоРис.25!1безразличным (криваяиявлениеползучести становится н е л и н е й н ы м. При дальнейшем увеличении2)также характеркривых ползучести, которые все более и более устремляются вверх (рис.269), причем процесс ползучести из.устойчивого (кривая 1) становитсяи затем неустойчивым (кривая 3) в томсмысле, что деформации начинают катастрофически расти и приводят в250концеконцовк разрушению.§ 2. Линейная поJIЗучестьПри линейной ползучести переход от режима нагружения а ==f= af (t),(t) к режиму агде а-постоянный множитель, дастувеличение деформации в каждый момент времени в а раз.Зависимость деформаций 8 от постоянного напряжения а и отвременив стадии линейной ползучести может бытьвыраженаформулой(12.1)8аФ (t),t=где Ф (t)- кривая ползучести от постоянного напряжения а= 1,приложеннога в момент времениО.Сразу после приложения нагрузки деформация возрастает мгновенно (или почти мгновенно) до некоторой величины, а затем поt=степеннопродолжаетувеличиваться во времени.Условно считают, что мгновенная деформация8 11= atE,rде Е - мгновенный модуль упругости материала.По истечении очень длительного срока деформированияподдействием постоянной не слишком большой нагрузки деформацииасимптотическиприближаютсяк длительному своему значению8)(Б=а/Н,rде Н -длительный модуль упругостиматериала.Наличие конечных значенийе)( характеризуетограниченнуюползучесть, наблюдающуюся вобычных условиях в еетоне, древесине,гихполимерахиконструкционныхОРис.ряде дру270материа-лов.
Для всех этих материалов длительный модуль упругости больше нуля. Если нагрузка аconst приложена не в начальныймомент времениО, а в другой момент tт, то кривая ползучести в общем случае становится иной. Таким образом, функциюползучести Ф следует считать функцией двух аргументов: t - моt===мента наблюдения деформации и т- момента приложения постоянной нагрузки. Следовательно, вместо(12.1)получимв=аФ(t, т).Очевидно, что Ф (t,В материалах,-r) =О при(12.2)t < -r.свойства которых не изменяются во времени,изменение длительности приложения нагрузки а=constвызываетлишь сдвиг деформаций во времени на постоянную величину-r2--r1(рис. 270).Функция ползучести оказывается при этом функцией аргументаt - -r - промежутка времени между моментом наблюдения деформации и моментом приложеноя нагрузки.
Такой материал называют251и н в ар и а н т н ы м,инвариантного вот. е.временине изменяющимсяво времени.Дляматериала!!=аФ(t-т).(12.3)Примером неинвариантного материала с изменяющимиен механическими свойствами может служить бетон молодого возраста, длянего зависимость (12.3) не сnраведлива и следует пользоватьсяобщей формулойЗависимость(12.2).(12.3) находится из экспериментов путем замерадеформаций образцов, нагруженныхпостоянной нагрузкой вразличныемоментывремени т.Мгновенные деформации возникаютвмоментнагрузки при(12.2),t=приложения-с и, согласноравныf:.,= оФ (т. т).ОтсюдаФ('t, т)= 1/Е = 1/[Е (т)].(12.4)Мгновенный модуль упругостиЕ здесь получается переменнымизависитнияот временинагрузки§ 3.приложет.ПОJiзучестьпри переменвых нагрузкахВ дальнейшем нас будет интересоватьгрузках,t, r:оРис.273ползучестьприизменяющихсянаво времени по любому заранее заданному закону.
В случае линейной ползучести здесь можно использоватьпринцип наложения,заключающийся в том, что суммарная деформация от действия нескольких нагрузок принимаетсяравной сумме деформаций, возникающих от действия каждой нагрузкив отдельности.В общем случае произвольный закон изменения нагрузки аможно расчленить на бесчисленное количество элементарных('t)наrружений постоянными нагрузками ба, приложеиными в различныемоменты времени, как показано на рис.
271. Более строго каждоеэлементарное нагружение можно выразить формулойО=l ('t) · 6о,где 1 ('t) -разрывная функция, равная нуЛю приединице при t"t (рис. 272).>252t < 'tи равнаяЗаменяя приближенно непрерывный закон изменения нагрузкиступенчатой линией, равной сумме элементарных нагрузоко=~ 1 (т;) бо;,и безгранично уменьшая ступени нагрузки 6о, придем в пределекначально заданномуСоответСтвующиеможнонепрерывномудеформациизакону.отэлементарныхнагруженийвыразить формулойе;= бо;Ф(t,т;).Суммарная же деформация будет равнае (t) = ~ бо;Ф (t, т;),(12.5)t.причем надо учитывать лишь нагружения в момент времени т<В пределе надо перейти от суммирования к интегрированию.При этом следует учесть, что величина ступени элементарного нагружениястремитсявпределек значению6о = dт d~~,.l(рис.273).Подставляя это значение в формулу(12.5)и переходяк интегрированию вместо суммирования, будем иметье (t) =td~;,.> Ф (t, т) dт.J'Эту формулу можно проинтегрировать по частям, чтобы избавитьсяот производнойdo (t}/dt.Получиме (t) =о (t) Ф (t, t)- о (О) Ф (t, О}-tsо{'t} дФ ~ ,.) dт.оt=Можно считать, что в начальный момент времениО нагрузкао (О}О, т.
е. что образец не был нагружен до этого момента времени. Тогда, учитывая, что, согласно (12.4),== l[E (t)],Ф (t, t)получим(t) =аЕ (t)е(t)s ()t_а тдФ (t, 1") dд-rт.(12.6)оФормуле(12.6)можно придать вид:e(t)= El(t)[o(t)+f о(т)К(t, т}dт].(12. 7)253.1"деK(t. т)=-дФJ:; т) E(t)-так называемое ядро интегральной зависимости (12.7).Для материала, инвариантного во времени (12.3),К (t, т)= ЕФ' (t- т)= К (t- т); Е= Ф (t1-t) Ф ~О)= const,и формула(12.7)приобретает виде (t) = ~ [а (t) + Sа (т) К (t- т) dтJ.'roНачальный момент времени т 0 в самом общем случае можно отнести в минус бесконечность и тогда получимe(t)=f[o(t)+jоз o(т)K(t-т)d•J.(12.8)Отнесение начального момента времени в минус бесконечностьимеетрядпреимуществматематическогохарактераипозволяетучесть nредварительные напряжения в образце, которые могут рас-сматриваться как следствия нагружений, как бы происходившихдо изготовления образца.Заменой перемениого т по формулет=t-в;зависимости(12.8)б=t-тможно придать вид:е (t) """ ~ [а (t) +у а (t- в) К (б) dв1·(12.9)При постоянной нагрузке а = const, приложенной в момент времени=О, формулы (12.8) и (12.9) принимают вид:tе (t) = i [1+ J К (t- т) dт] = F[1+! К (б) {б)].dОтсюда длительный модуль упругости Н получает выражениеаЕН= е(оз) = ~-оз---1+ Jк (6) d6Для материала, неинвариантного во времени, длительный модульупругости является функцией времени приложении постоянной наrрузкит:Н (т) = --оз-=Е~(оо_..:...)- 1254+~К (t, т) dт§ 4.РмаксацияВ материале, обладающем свойством ползучести, постоянной деформациисоответствуетизменяющеесявокоторое постепенно уменьшается до нулявременинапряжение~или до пекотарого определенного значения, определяемого длительным модулем упругости:о (оо)= еН.Кривая изменения напряжений приносит название к р и в о й р е л а кс а ц и и (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
