Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(Если параметром перемещенияявляетсяповоротэлементавокругнекоторойточки,товместомассы следует брать момент инерции массы относительно этойточки.) Таким образом, роль внешних сил здесь будут играть величиныR1 =Р 1 - т;У 1(i= 1, 2, ... ,п).Их можно считать составляющими вектора(13.11)разложенногопо1/.1·направлени5;1;музд.~сьпредставл~етвекторускорений с составляющими у 1 , у 2 , ... , Yn· а вектор т- вектормасс с составляющими т 1 , т 2 , ...
, тп. Скобками обозначенопроизведение векторов.Связьмеждувнутреннимиивнешнимисиламивыражаетсяуравнениями равновесия(13.12)где А - матрица коэффициентов уравнений равновесия с n строками и т столбцами (т - число внутренних сил в элементах си-стемы); N- вектор внутренних сил с составляющими N 1 , N2 , ..
, Nm.В § 8 гл. 11 было показано, что между перемещениями у; (i == 1, 2, ... , n) и деформациями Л1 (/ = 1, 2, ... , т) в линейно деформируемой системе существует связь(13.13)где А т -транспонированная матрица А с т строками иnстолбцами; ~-вектор деформаций с составляющими Л1 (j = 1, 2, ... , т),а между векторами деформаций ~ и внутренних сил Jii- связьfJ = сХ,(13.14)где С- матрица жесткости для внутренних сил.Подставляя(13.14)и(13.13)в уравнение(13.12),получаемACATU= Rи на основании(13.11)275В развернутом виде эти уравнения будут:S11Y1 + ~12У2 + · · ·+ ~tпУп + m1~1 = Р1; JS2!Yl + S22Y2 + ...
+ ~2пУп + m2y2 = Р2;.... ... ..... . ... ... ..~п1У1 + ~п2У2 + · · · + ~ппУп + mпУп = Р n:.здесьStk =(13.15)~ki- коэффициенты матрицы АСАт.Уравнения(12.15)можно получить также при помощи методаперемещений, применеиного к чатической системе, нагруженнойсилами R1• При этом надо рассмотреть равновесие основной системы,получаемой из заданной системы введением жестких закрепленийпротив всех перемещенийYt·Коэффициенты ~lk получают здесьсмысл реакций связи, введенной по направлению перемещенияот единичного смещения§ 8.Yki,= 1.Решение уравнений движеВИJI упруrой системыс конечным числом степевей свобоДЬIПолное решение системы уравнений(13.15)представляет суммуобщего решения однородной системы уравнений с отсутствующими=внешними силами Р 1 и частного решения для заданных сил Р 1Р 1 (t).
Общее решение однородной системы дифференциальных=уравнений можно искать в виде:Yt =А; sin (wt+ IPt)(i = 1, 2, ... , п).Подставляя это решение в уравнениеполучим после сокращений на sin (wt(13.15)+ q>t}:без правых частей,~нА1 + ~12А2 + ... + S1пАп- m1w 1А1 =О;J6~~~~. ~ ~22.А~ ~:.: ~ ~2~А.п -:.~2~ 2 ~~ ~ ~;.~nlAl +(13.16)Sn2A2+· .. + SnnAn- mпw 11 An =о.Эrа система алгебраических линейных уравнений имеет отличныеот нуля решения А 1 при равенстве нулю определителя(13.17)=0,Snlчто будет только при определенных значениях частотw,являющихся корнями уравнения (13.17).В высшей алгебре доказывается, что уравнение (13.17) имеетn корней для w2 и что все эти корни действительные.276В статически устойчивых системах определите.'lь~11~12•••~111D = ~21 ~22•••62п~nlЕп2••• Snnи его главные миноры положительны.
При возрастании диагональных членов определитель D увеличивается. Поэтому, чтобы удовлетворить равенству (13.17), следует брать ro 2 >О. Следовательно,квадраты частот б у дут положительны, а сами частоты действительны. (По своему физическому смыслу частота является положительной величиной; отрицательная частота изменяет только фазуколебаний.)Наименьшая частота называется о с н о в н о й ч а с т о т о й,или о с н о в н ы м т о н о м, к о л е б а н и й, а другие частотыо б е р т о н а м и. Вся совокупность частот собственных колебаний системы называется с пек т ромее собственных частот.Для нахождения соотношений между амплитудами А~. соответствующих k-й частоте rok, следует в уравнения (13.16) подставить значение этой частоты.
Эrи соотношения определяют формысобственных колебаний системы.Формы собственных колебаний обладают свойством ортогональности11~ m 1 A~Ai=O.(13.18)i=lДля доказательства возьмем две формыro~c и rol. Они удовлетворяют уравнениямколебаний о'нА~+ ~12А: + ... + StпA~ = m1ro~A~;~~~~~ :-.s~~~~:.~.: ·:-. ~~~~~: . ~~ro:~::частотами1(13.19),,.tA~ + ~п2А: + ... + SnnA~ = mпro~A~и'нA~+Et2A~+ ... +s1nA~= m1ro~A~;'21А~ +~~~~А~+ ...
+ ~~~~~А~= m2ror А~;•••••1••••••••••••••1(13.20)•'ntA~ +~~~~А~+ ... + SnnA~ = mпro~A~.В системе уравнений (13.19) умножим первое уравнение на Af,второе на А~ и т. д. и результаты сложим. В системе (13.20) умножим первое уравнение на А~, второе на А~ и т. д. и результатытакже сложим. Учитывая симметрию коэффициентов 6111,= ';заметим, что для левых частей систем получим при этом одну иту же билинейную форму. Следовательно, и для правых частей277систем будет справедливо равенство:n~ffill2 ~i=lnn~m; AkA'; ; = ffi12 2.Jт; A'Ak·; ;,(ffiь2~ffir2) ~i=lОтсюда вытекает свойствот; А;rAil;= О.i=l(13.18),поскольку(J)k=1= ro 1.§ 9.
ВьmуждеИВЬiе колебанИJI системы с нескОJIЬкимистепеними свободыЕсли все возмущающие силы Р 1 изменяются по одному и томужезакону=Р;решение уравненийР~sin(13.15)ffit(i= 1, 2, ... ,n),можно получить в видеу;= В;sin '\j)t,где амплитуды В 1 найдутся из решения системы алгебраическихуравнений~нВt + ~12В2+· .. + ~tпВп- mt'I\J 2 Bt = Р~;2~~~~~-~ s.22~~:·: ·.~ ~2n.B~ ~ .m.2~ ~2..
~~:SnlBl + ~ .. 2в2 + ... + SnnBn- m"'\j) 2 Bn =1(13.21)р~по формулеB1 =D1!Dгде D- определительчается из определителя(i=l, 2, ... , n),системы уравнений (13.21), а D 1 полузаменой i-го столбца столбцом свободныхDчленов.Когда частота 'Ф совпадает с одной из собственных частотro;,определитель D обращается в нуль, а амплитуды В 1 - в бесконечно<:ть. График зависимости В 1 от частоты 'Ф поэтому будет иметьвид, показанный на рис.В·t295, из которого видно, чтосистемананс'Ф=UJzРис.Сдз29Sгрвro1 (l = 1, 2, ... ,Приопопадаетрезопри каждом значенииболеерассмотрениип).детальномвынужден-ных колебаний в резонансном режиме, подобно томукак это было сделано вышедлянайдем, что амплитудыколебаний на самом деле здесь неограниченно возрастают во времени, достигая бесконечных значений лишь nосле бесконечно большого nромежутка времени с начала колебаний.278системы с однойстепенью свободы,§ 10.Энерrия и вариационный приицип движения:упруrой системыСоставим уравнения динамическогостемы с n степенями свободы:X 1 -my;=0равновесия(i=1, 2, ...
,упругойп).си(13.22)Эти уравнения можно представить в виде:дL - _d_ дL - 0ду;гдеdt ду; -(.t•= 1, 2, . . . .)(13.23)f1 ,функция Лагранжа;L -nL=и- ~mtfJU2.(13.24).i~tUздесь означает потенциальную энергию системы,представляющую собой функцию параметров перемещений системы;и= и (Yto У2оДействительно, подставляядUау;и,учитывая,=(13.24)••••Уп).в уравненияполучаем+ dtd (m;2 2У;• ) = ду;дU + ..Оту;=что согласно определению силыдU !ду;-Х;,Уравнения(13.23),(см.§ 2,гл.II),приходим к уравнениям (13.22).(13.22) являются уравнениями Лагранжа-Эйлерадля вариационной задачи о минимуме функционалаt~Ldt =min.(13.25)оСледовательно, движение системы происходит таким образом, чтоинтеграл(13.25)от функции Лагранжа имеет минимальное значение.Заметим теперь, что величинаnК=~ m1yl/2,i=lвходящая в функцию Лагранжа(13.24),представляет собой суммуживых сил движущихся масс, т.
е. кинетическую энергию системы.Поэтому можно принять, чтоL=и-К.и условие(13.25)представить в виде:1~(и -К) dt=min.о. 279Рассмотрим теперь полную энергию системы,nредставляющуюсобой сумму потенциальной и кинетической энергии системы:Э=V+К.Полная энергияоднуитужев консервативной системе сохраняет все времявеличину,nосколькуонанеимеетпритокаизвнеи не поглощается, nереходя в другие виды энергии.
Можно показать, что это условие вытекает из уравнений (13.22) динамическогоравновесия. Для этого умножим каждое уравнение (13.22) на {/;и возьмем их сумму. Получимnn~ X1Bi- ~ тtiJ;{/; =-О,1=11=1илиn~ (дU dyt~ дуi dt+ т,.d!idt; dyt)_dt -О•l=1Проинтегрировав nоследнее выражениеn"\1no tи учтя, чтодU~ ду; dyt=dU1-1nредставляет собой полный дифференциал, а. dy;Y1 rrг=d(!i')ш 2 •nолучимnV+·•~Yt~ m;-2=const,1=1т. е.U +К =Э=const.Таким образом, во время движения системы nотенциальная энерr-ия может nереходить в кинетическую и обратно, но сумма этихэнергий остается постоянной.§ 11.КоJiебаНИJI упругих баJiо:кПереходя к системам с бесконечным числом степеней свободы,рассмотрим nоперечные колебания упругих стержней. Положивв основу обычную техническую теорию изгиба балок, приводящуюкуравнениюEJy!V =q,и добавив к поперечной нагрузкеqинерционную нагрузку -ту,nолучим уравнениеEJyiv +тii=q.280 .(13.26)Штрихами и римскими цифрами будем обозначать частные производные по х, а точками над буквами - частные производвые по вреt.мениПри отсутствии поперечной нагрузки балка будет совершатьсобственные колебания, описываемые однородным дифференциальным уравнением в частных производных:EJyiV+ mY =о.Большой класс решений этого дифференциального уравненияможно найти методом Фурье, в котором полагаюту=УТ,(13.27)где У - функция только х, а Т - функция толькостановки в уравнение (13.26) получаеми,разделяяt.После подEJYIVT +тУТ= Опеременные, ТEJ yiVтv=--т·t.В левой части здесь стоит функция х, а в правой- функцияТакое равенство возможно только при условии, что и левая и правая части равны постоянной величине, которую обозначим С.Тогда получим два обыкновенных дифференциальных уравненияиEJYIV =CmYТ=-СТ.(13.28)Второе уравнение имеет решениеТ= Агде ro=sin (rot + <р),(13.29)УС- частота колебаний; <р- фаза колебания;величину А без нарушения общности решения можно положить равной единице.
Первое уравнение (13.28) при этом принимает вид:(13.30)В балке постоянного сечения а равномерно распределенной массойрешениеэтогопоследнегоуравненияимеетвид:4У=~ Ctiix,(13.31)i=lгде Л 1 - корни характеристического уравнения ЕJЛ._- mro 2 =О,равные Л 1 , 2±а; Л 3 ,tia; а- арифметическое значение==±корня;а=/ Vmro1/(EJ) 1·При таких корнях характеристического уравнения решение(13.31)получает вид:У =С 1sh ах+С 2 ch ах+Са sinax+C~ cos ах.(13.32)281т"'Этоconstрешениеграничнымнадоподчинитьусловиям.Дляоднопролетной шарнирно опертой балки граничные условия будутУ (О)= Уиздесь(l) =У" (О)=можнорешение,У"сразу(l) =О,выделитьудовлетворяющееэтимусловиям:У= С 3n=2и, согласноу= С 3(13.27)и(13.29),sin (nnxfl) sin (rot + q>).Здесь формасинусоиды сPuc.298sin (nnxfl),колебаний имеет видnполуволнами(рис.296).Приравнява)~m= constl~nn/l= a=V mro 2/(EJ),найдем частоты, соответствующиеэтим формам колебаний:ro=(n 2 n 2 /l 2 )V EJjm(n= 1, 2, ... ).о):_;;;;;;- ~1 ==--=-:::::~~~Основной тон колебаний балки будет nри n1; частота его равна=ffit= (n 2/l 2 )V EJ;m.Кроме этого тона имеется еще бесконечное число обертонов, соответствующих любым целым значе8}~'ниямn,большим единицы.Для других граничных условий следует использовать общийметод оnределенияниятакн о г очастотназываемогоиз решеч а с т о ту р а в н е н и я, nредставляющего собой равенство нулюопределителя системы уравнений,Pvc.
297гденеизвестнымиявляютсяпо-стоянные общего решения.Наnример, для балки, жестко ЗЗ.!f.еланноll по концам, с граничными условиями (рис.297,а)у=(±1/2) =У' (± 1/2) =0можно искать раэ.11ельно симметричные и обратносимметричные формы колеба·ний.282Для симметричных форм получаем!С 1 =СаС1 ch (a.l/2) +С 4 сов (a.l/2) =0;С1 а. sh (a.l/2) -С 4 а. sin (a.l/2) =0.=0;(13.33)Частотным уравнением здесь бу.о.етch (a.l/2) sin (a.lj2) +сов (a.l/2) sh (a.l/2) =0,илиth (a.l/2) = - tg (a.l/2)скорнями:а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
