Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 46
Текст из файла (страница 46)
304. Упругий элемент «У» создает восстанавливающую силу су, а вязкий элемент «В» - силу вязкого(13.46},ky.тренияОпределяякорни характеристического уравненияmЛ 2 + kЛ+с= 0,получаемЛ= (- k -t- У k2 - 4cm)/(2m).При k(13.47)< Vcm корни получаются комплексными и имеют вид:Л=-а.+i~,гдеа. =10kR_V4cm-k 2 _-./.:..__~_-./4ro 2 -k 2 , ( 13 .4В)2m : t' 2m- V т4m 2 - V4m 2 'А. Р. Ржаницын289w - частота собственных колебаний системы, определенная безучета внутреннего трения и равная Vc!m.Общее решение будетe-a.t (С 1 sin ~t + С2 cosи=~t).Таким образом, собственные движения системы здесь представляютсобой гаръюнические колебания с частотой ~. умноженные на за-Рис.306Puc.3Doтухающую экспоненциальную функцию e-a.t (рис.банияназываютсякону.При k> 2Vcmз а т у х а ю щ и м ипо305).Такие колепоказательномузакорни характеристического уравнения будутдействительные и движение системы описывается уравнениеми= С 1 ел,t +С 2 ел• 1 •Как видно ИЗ(13.47),обе величины лl и л2 отрицательные, поэтомуперемещения и с течением времени будут асимптотически приближаться к нулю (рис.В частном случае k306).= 2Vcmполучаются кратные корни характеристического уравнения и движение будет происходить по законугде а.=и=kl (2m).C1e-a.t + C2te-a.t,Эти два вида движения системы похожи друг на друга и являютсяапериодическими.Возвращаясь к затухающим колебаниям, найдем, что через каждыйпериод колебанийТ=2n/~перемещенияиуменьшаютсяв еа.т раз.
Натуральный логарифм этой величиныа.Т=2:rtk · 2m2m Y4cm-k 2=2nkY4cm-k2называется л о г а р и ф м и ч е с к и м д е к р е м е н т о мк ол е б а н и я. Его нетрудно определить экспериментальным путем.§ 16.Вывуждеввые :колебания при на.пичии виутреввеrотрения, пропорциона.пьноrо с:корости движеВИJJПусть сила р, входящая в уравнениеменипо синусоидальномузаконур290= Ро siп ..pt,(13.46),изменяется во вретогдаперемещение у можно искать в виде:у=cl sin 'Фt+ с2 cos '\j)t.После подстановки в уравнениесС1+(13.49)(13.46) получаем+sin '\j)t сС 2 cos '\j)t k'ljJC1 cos '\j)t- k'ljJC 2 sin '\j)t- m'ljJ2 C1 sin '\j)t- m'ljJ2C2 cos 1pt- Ро sin '\j)t =О.Приравняеми cos 'ljJt:нулюсуммы(с- m'ljJ2)Cl- k'ljJC2коэффициентов=Ро;приsinфункцияхwtk'ljJC1 +(с- m'ljJ2 ) С2 =О.Отсюда nолучаемС• С __Ро (c-m'l12)- Роkф1- (c-:-mф2)2+k2'1'2 •2- (с- m'l'2)2+k2фll •Выражение для у(13.50)можно представить в виде:(13.49)у= Аsin ('Фt+ <р),где(13.51)ЗдесьА-амплитудаколебаний,а<р -сдвигфазы,которыйнаблюдается при наличии внутреннего трения.Подставляя в формулузначения С 1 и С9(13.51)(13.50),находимА=РоJf(c-m'l'2)2+k2'1'11; q> =arctg - kф •(13.52)c-mфllТаким образом, вынужденные колебания здесь происходятс той же частотой 1р, что и у возмущающей силы, но со сдвигомфазы <р.Зависимость амплитуды А от частоты вынужденных колебаний 'Ф nоказана на рис.
307. При совпадении частоты 'Ф с часто-той собственных колебаний системы ro= Vclmамплитуда становится большой, но конечной по величине:А (ro)= Po/(/l'ljJ) = Pol(kro).Сдвиг фазы при этом равенсистемеимеет-n/2.место резонанс,аВ данном случае в упругойв системе свнутренним трениемэтот резонанс становится менее выраженным. Таким образом, трение здесь играет благоприятную роль, существенно снижая резонансныеамnлитуды.Следует заметить, что максимальная амnлитуда вынужденныхколебаний несколько сдвигается от линии резонанса 'Фro. Ее=можно определитьдизуравненияд(ф2) [(с- m~) 2+ k~ ] = -2 (с- m'ljJ2) т+ k112=О.Отсюда получаем частоту, соответствующую максимальной ампли·ту де,10*291имаксимальную амплитудуmaxA="1frРоk44mt+РоРоk4k2ro2- 2m2kroVk•'l-4c2График изменения угла сдвига фазы <р в зависимости от частоты 'Ф показан на рис.
308. Мы видим, что угол <р плавно изменяется от нуля до -n, причем особенно быстро это изменениепроисходит в зонерезонанса.k= О,5Vё/ПРис.307ЗавремяPuc.JOOодноговнутреннего трениявынужденногоколебаниянапреодолениерасходуется энергияАw= 22:rt/Ф~ р dy =-А~ p{J dt =О2n/Ф=Ро'фА ~siп'lj>tcos('Фt+<p)dt=-p0 Ansin<p.(13.53)о(13.52),Определив из.SlП <р=чтоtg т- k·l,A"'l'т='1'= - -~-'1'Yl+tg11 <pУ(с-m'ф11) 2 +k2 ф2Ро'получимW=nA 2 kф.Мы видим, что энергия, расходуемая на одно колебание при одинаковых амплитудах, пропорциональйа частоте возмущающей силы.Это легко можно понять, так как чем больше частота, тем большескоростидвиженияпредположениюомассы,аследовательно,пропорциональностисилысогласнопринятомусопротивленияскорости, и больше сопротивление, которое надо преодолеть за одноколебание.
В действительности, по данным опытов расход энергиина одно колебание мало зависит от частоты, что говорит не в пользупринятого предположения. Несмотря на это, гипотеза внутреннего292трения,пропорциональногоскоростидвижения,широкоиспользуется в расчетах благодаря относительной простоте получаемыхуравнений.§ 17.Дpyru схема вязкого треви.sРассмотрим теперь движение системы, схематически изображенной на рис. 309.
В отличие от схемы гипотезы Фойrта упругийи вязкий элементы здесь соединены не параллельно, а последовательно. Такая схема внутреннего сопротивления является схемойМаксвелла (см. § 7 гл. Х II).Обозначим перемещение массы т через у, а перемещение поршнявязкого элемента - через Ув· Тогда уравнения динамическогоравновесияможнопредставить в виде:- mY -с(у- у.)+ Р= О;Здесь с (уУв)-с (у- у.)=усилие в пружине,-k{j 8 •(13.54)которое равно силе вязкого трения.Исключая из уравнений(13.54) {j8 ,получаем:С (у- Ув) =Р-тУ; Ув- (ту- Р)!с =у; Р-ту= (kjc) (тij- р)илиi;ic+ y;k +у/т= pf(km) + рf(ст).+ kfJ,(13.55)Характеристическое уравнение"л3fс+ "л 2 /k+ "л; т= одает корни"л1, 2=При ст< 4k2-cf(2k)+ V c2 /(4k 2 ) - с;т;корни "л 1 и "л 2 -Лз =О.комплексные и уравнение(13.55)имеет вид:у= е-~ 1 (С 1 siп yt + С 2cos yt) + Сз,гдеРПри ст> 4k2Л1== c;(2k);-Л,; Л 2у= V ctm- с2 /( 4k 2 ).=-Лв действительны, а движениебудет апериодическиму= Cie-'A 1t + С2е-'А 111 +Сз.При стдает=4k2имеем случай кратных корней "л 1=Л 2 , что такжеапериодическое движениеу= С 1 Г"' 11 +С 2 tе-л 11 +С3 •Мы видим, что решения уравнения (13.55) отличаются от решений уравнения (13.46) тем, что величина klт заменяется на c!k,и,главное,тем,чтопоявляетсядополнительныйпостоянныйчлен С 3 .
Заметим еще, что апериодическое движение для моделиФойгта будет при малой массе, а для модели Максвелла- прибольшой.293Уравнениелучше взять в решенном относительно уси(13.60)лий р виде:lр (t) = Е у (t) -_i У. (т)R (t-т) dт].Здесь R ( t - т) - резольвента ядра К ( t - т) (см. § 4 гл. Х 11).В задаче динамики к внешней силе р (t) следует прибавитьинерционный член -ту {t). Тогда получим уравнение движения:Е[у {t)-_i у (т)R (t- т) dт]+ ту (t) =При отсутствии внешней силы р(t)=р (t).(13.61)О получаем уравнение собственных движений системы:tтy(t)+Ey(t)-E~ у(т)R(t-т)dт=О.-ооВ общем случае решение этого уравнения очень сложно и содержитконтинуум начальных условий.Установившиеся вынужденные колеб~ания прирможно,какираньше,уРо siп фt=искатьв(13.62)виде:(t) =с] siп фt + с2 cos фt.(13.63)Уравнение (13.61) при этом введением переменнойдует преобразовать к виду [см.
формулу (12.9)]:6= t- тсле00mij (t) +Еу (t)- Е~ у (t - 6) R (6) d6 = р (t).оПодставляя сюда выражения(Е-тф 2 )(13.63) и (13.62), получаем(С 1 siп фt + С 2cos фt)-""-Е~ (С 1 siп ф (t- 6) + С 2 cos ф (t- 6)] R (6) d6 = р (t),оили(Е -т~1) (С 1 siп фt + С 2 cosфt) -EC 1 siпфtD(Ф)+EC 1 cosфt · С(ф)--ЕС2cos фt · D (ф)- ЕС2 siп фt ·С (ф) =Ро siп 'Фt,(13.64)где""С (ф) = ~ siп ф6 · R (6) d6;""D ('Ф) = ~ cos ~,в· R (6) d6.оФункции С ('Ф) изованиями функцииоD(ф) называются синус- и косинус-преобраR ( 6).Приравнивая нулю сумму коэффициентов прив выражении (13.64), получаем уравненияsin[Е -тф2 -ЕD (ф)]С 1 -ЕС ('Ф) · С2= Ро:ЕС (ф) · С 1 +[Е- т\j; 2 -ED ('Ф)] С2 =О,~t иcos~tизкоторых находимРо(E-m\j; 2 -ED(\j;)J-р 0 ЕС (ф)С1 =[Е -m\j;2- ED (ф)J 2 + Е"С" ('i'); С 2 =[Е- mф2- ED ('\1)]2 + Е2С" ('i')'Далее определяем амплитуду колебанийАV С21 + С2-Роi!-V[E-mф"-ED('l')J2+E2C2(ф)'-сдвиг фазыС1ЕС (ф)<r· = arctg с1 = arctg Е_ m1j:" _ ED (ф)и, наконец, расход энергии на одно колебаниеСnр~ЕС(ф)А2ЕС( )- W -ЛРп 2-[Е-mф"-ЕD(ф)J"-Е2С2(ф)-:л'Ф ·Можнопоставитьзадачуотом,какова должна(13.65)быть функция R (в), чтобы расход энергии на одно колебание не зависелот частоты 'Ф· Из формулы (13.65) следует, что для этого синуслреобразование С ('ljJ) функции R (в) должно равняться константе.Этому соответствует R (в)= a/t.
Но такая функция не отвечаетдействительномужениях,такповедениюкакрования. Поэтому,лолучитьматериаловприводит кпринеустойчивымстатическихпроцессамнагрудеформиучитывая одно только вязкое трение, нельзярешениясчастотнонезависимымрасходомэнергиина одно колебание.Свободные колебания ори сухом трении§ 19.Кроме вязкого трения в материале или в системе может существоватьносухоетрение,направленноеневсегдавзависящеесторону,отскоростиперемещения,противоположную движению.Рассмотрим свободные колебания системы с одной стеnеньюсвободы при наличии сухого трения, создающего силу Q (рис. 312).Пусть в начальный момент времени система была отклонена на ве=личину у 0-А 0 и начальная скорость ее у 0 была равна нулю.В первом полупериоде колебаний у увеличивается и сила тренияотрицательна.
Уравнение динамического равновесия в первомполупериоде будет-nzij-cy-Q=Oиимеет решение:у= С 1у=sin rot + С 2 cos rot- Q;c;roC1 cos rot- roC 2 sin rot;(ro =с/т).Из начальных условий nолучим:С2- Q/c = - Ао;Таким образом,у=roC1=О;С1 =О;С2 = - Ао+ Qjc.(- An + QJc) cos rot- Q/c;(roA 0 - roQjc) sin rot.у=297t=Система останавливается приТ 12 (Т-период колебаний),когдаsin (roT/2) =О,отсюда Т=2n/ro.ние у достигаетВ этот моментcos (roT/2)=и перемеще-1величиныА 1 =у(Т/2)= -Qic+Ao -Q/c= А 0 - 2Q/c.Таким образом, после полупериода колебаний амплитуда уменьшается на величину 2Q/c.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
