Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Обратное движение происходит по томуже закону с заменой направления у. Последовательные значенияууРис.Puc. J12Рис. J!ЧJfJмаксимальных отклонений составляют геометрическую прогреесию(рис. 313). Движение продолжается до тех пор, пока амплитуда Ане станет меньше 2Q/c. Всего при начальном отклонении системы А 0произойдетменьшееnnолуколебаний, гдеn- максимальноецелое число,A 0c/2Q.Рассмотрим теперь систему, изображенную на рис. 314, с параллельным соединением элементов сухого и вязкого трения. Повторяяпредыдущий вывод, составим для данного случая уравнение динамического равновесия в первом полупериоде колебаний:- mij - k[J -су - Q =Отсюда имеему= е-«' (С1fJ = - a.,e-«t (С1 sin Pt +о.+sin Pt Cz cos pt)- Q/c;cos ~t) + pe-«t (С 1 cos Pt- С2 sin Pt).С2Коэффициенты а и р здесь определяются по формуламИз начальных условий у (О)=-А 0 ;fJ(О)=(13.48).О определяем:Cz-Q/c=-Ao; -аС2+РС1=О;С 2 = Q/c- А 0 ;С 1 =(а/~) (Q/c- А 0 ).Следовательно,у= е-«~ [(а/Р) sin Pt + cos Pt] (Qfc- Ао)- Qjc;fJ = (Q/c- А 0 ) {-ае-«' [(а/Р) sin Pt+ cos Pt]++ Pr'[(a/P) cos pt- sin Pt)} = - e-"1(Q/c- Ао) (а2/Р + Р) sin pt.Приt=Т/2=n/~sin2Б8(РТ/2)=siпn =О;{J =Ои достигаетсямаксимальное отклонение системы спротивоположной стороны, равноеу (Т/2) = А 1 = - e-aпJII (Qjc- А 0 )- Qjc.Таким образом, уменьшение размаха колебаний здесь происходитпо закону= A;e-anfll- Q ( 1 + e-anfll)jc.А;нГЛАВАXIVПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНОК§ 1.Несущая способность пластиНRи из упругого материалаЗная изгибающие и крутящие моменты в пластинке, легко определитьнормальныеикасательныенапряжениявкрайнем слое.По этим напряжениям можно оценить несущую способность пластинкии довольно условно-момент ее раз-рушения.Разрушаться пластинка начнет не раньшетого момента, когда хотя бы в одной ее точке будут нарушены условияпрочностимате-риала.
Обычно для хрупких упругих мате-ериалов с диаграммой работы, показаиной нарис. 315, принимается одно из следующихусловий прочности.1. Уеловне максимальных главных растягивающихнапряжений. Согласно этомуусловию разрушениеначинаетсятягивающими напряжениямивыражение для главных1 О'хприРис.достижениипределапрочности315главнымиО'пр·расИспользуянапряжений, получаем+О'у+ V (О'х- О' у) 2 + 4'ti.ч 1 ~ 20'прили+ V(Mx- Му) 2 +4М~у 1~f1пph2 /3.1Мх+Му2.Условие максимальных деформаций удлинения.
Это условие,мало отличающеесяот1 ех+предыдущего,выражаетсязависимостьюЕу + V(lx- еу) 2 +у~у 1 ~ 2епр•где епр- предел допустимых удлинений при растяжении. ПослеnодстановкиEex=<1x-fl<1y;Eey=<1y-fl<1x;Eyxy=2(1+fl)'t'xyполучаем формулу(1- fl) (Мх+ М у)+ (1+ fl) V(Mx- Му)2 + 4M~g ~ <1прh2/3,299где onp=предельное напряжение при однопсном растяPnpE -жении.3.Условиемаксимальныхкасательныхнапряжений.Здесьимеем формулуилиV (М ... -Му) 2 + 4Miu :s;;; опрh 2 /6.4.
Энергетическое условие прочности. Здесь учитывается работадеформацJ'й, вызывающих изменение формы элемента объема. Дляплоскогонапряженного состояния(oz=· 0),котороев основномимеет место в пластинках, это ус.повие прочности выражается фОрмулойоткуда получаемV Mi- М..-Мч +Mt + 3М~ 11 :s;;; h 2 опр/6.5. Условие прочности Кулона для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Для плоского напряженногосостояния оно может быть приведено к виду:V[(o_..- Oy)/2]2 +'t'i 11 - k (о..-+о 11 ) :s;;;'t'11 p= Onp (1/2- k).Здесьk - коэффициент сухого трения внутри материала; 't'np -предельное касательное напряжение при чистом сдвиге. Для пластинок это условие даетV[(M_..- М 11 )/2]2 + М~у- k (М..-+ М у) :s;;; h~пр/6,а также ввиду возможности разрушения по площадкам, наклоненным к поверхностипластинки,О,Бо_..- ko..- :s;;; 't'np;0,5оу-koy :s;;; 't'np•л ли(0,5- k)М_..:s;;; h~пр/6;(0,5- k) М у :s;;; h2't'np/6.Приняв условие прочности, наиболее подходящее к материалупластинки,можно определить начало ее разрушениявпаиболеенапряженной точке при равномерном увеличении нагрузки.
Однаконачало разрушения не всегда означает исчерпаниенесущей способности пластинки, так как последняя обычно не разрушается привыходе из строя векоторой ее части. Вместе с тем надо иметь в видуособенность разрушения хрупких материалов, состоящую в том,что после появления первых трещин в наиболее напряженных точках эти трещины быстро распространяются по случайным направлениям в недогруженные зоны и приводят образец или пластинкук полному разрушению. Поэтому целесообразно рассчитыватьхрупкие упругиепластинкихотя бы в одной точке.зоопо нарушениЮ условияпрочности§ 2.
Нетmейио упруrие пластивквРасчет неупругих пластинок в общем случае представляет собойнесложную задачу теориипластичности,строго доконцаещерешенную.Предположим, что нагружение пластинки осуществляется таким образом, что кривизны ее Хх и Ху и кручение Хху везде монотонно возрастают. По отношению к таким нагружениям пластинкуможно считать консервативной системой с потенциальной функцией U, зависящей только от деформаций.
Эта функция представляет собой работу, затраченную на деформирование пластинкии не зависящую от выбора пути нагружения при условии монотонности возрастания деформаций.В таких предположениях пластинку следует считать нелинейноупругой.Работу, затраченную на элемент пластинкиdxdy,представимв виде:dA =Ф (хх, Ху, Хху)dx dy.Сопряженные с кривизнами и кручением внутренние силы представляют собой изгибающие и крутящий моменты и определяютсяформулами:Мх = дФjдхх;Таким образом,Теперь§ 4Мху= дФ/дХху•имеют место нелинейные зависимости:пластинкаописанным вМ у= дФ/дху;гл.можетVIII.быть рассчитанашаговым методом,На каждом малом этапе нагруженияпринимается линейная зависимость приращений моментов от приращений кривизн и кручения:д2фд2фд2фdMx =д-----;;dxx +д-дdxy +дХх дхху dxxy;КхХх ХуКоэффициентыэтих уравнений зависят от достигнутыхний хх.
ху и Хху и обладают свойством симметрии.Если функuию Ф задать в видеФ=Fl (хх+ Ху)+ F2 (хх- х11 ) + F2 (Хху),значе(14.2)301тоnолучимзависимостимоментовоткривизникрученияМх=F1 (xx+xu)+F~ (хх-Ху);М у= F1 (хх+ Ху)- F~ (хх- Ху);Мху= F~ (хху)lи nриращений моментов от nриращений кривизн и крученияdMx=[Fi (xx+xu)+F; (xx-Xy)]dxx++[Fi (хх+ху)- F; (хх- Ху}] dxy;dMy=[Fi (xx+xy)-F; (xx-Xu)]dx.r+)+[Fi (хх+хи)+F; (xx-Xy)]dxy:dMxy = F; (Xxu) dxxy·Рассматривая уравнения (14.1) или (14.3) как(14.3)обобщенныйзакон Гука, nолучаем на каждом этапе нагружения линейно упругую nластинку, расчет которой производится известными методамитеории упругих nластинок. Следует заметить, что даже в пред(14.2)положенииnластинка на каждом шаге расчета не являетсяизотропной.Оnисанный метод расчета сравнительно просто реализуетсяна ЭВМ nосле составления соответствующих программ.§ 3.Предельное равновесие IШастииок из идеа.JJьноупруrо-IШастическоrо мaтepRaJiaИ д е а ль н о уnру г о-п л а с т и чес к и м называется такой материал, который nосле достижения условия его текучестиможет неограниченно деформироваться согласно закону ассоциативности текучести (см.
§ 10 и 11 гл. IX). При одноосном напряженном состоянии такой материал подчиняется диаграмме Прандтля(рис. 316).Для расчета пластинок из такого материала можно применитьметод предельного равновесия,гл.IXаналогичныйописанномув§ 14методу расчета упруго-пластических балок. В nластинкахболее целесообразно применять кинематический метод предельногоравновесия, в ко:гором форму прогиба находят из условия минимуманагрузки.Пусть условие текучести имеет вид:Ф (Мх.
Ми, Мхи)= С.Будем считать величину Ф=Ф (Мх, Ми, Мху} обобщенным усилием. Тогда можно определить сопряженное с этим усилием обобщенное перемещение "Ф так, что работа внутренних сил, приходящаяся на бесконечно малый элемент nластинки, выразится формулой:302Видеальноупруго-пластическойпластинкезависимостьмеждуобобщенным усилием Ф и обобщенной деформацией 'Ф можно представить диаграммой Прандтля (рис. 316).Далее, будем считать упругие деформации пластинки пренебрежимо малыми по сравнению с деформациями текучести, т.
е. примемсхему жестко-пластического материала (рис.полагаем,чтоперемещения,произошедшиев317).Вместе с темрезультатепластических деформаций, малы по сравнению с геометрическими размерами пластинки и не изменяют ее расчетную схему. Другими словами, пластинку считаем геометрически линейной системой.rf,IPCl-----0Puc.J/7Рис. JfбЗададимся формой прогиба пластинки и вычислим возникающуюпри этом обобщенную деформацию 'Ф во всех точках поверхностипластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
