Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1 1/2 =2,365;откудаполучаемчастотуa.,.l/2 =5,498 + (n-2) л::основного(n=2, 3, ...),(13.34)тонаro 1 = (4 · 2,3651/l) У Е/ /т= (22,20/11) У EJ /ти частоту обертонов (приближенно считаяthх=1ro,.= {4 [5,498+(n-2) л:J'JI'} У ЕJ/тпри х>(13.35)4)(n=2, 3, ...).(13.3GjФормы колебаний выражаются уравнениемУ =С 1и поскольку, согласноch ах+С4 cos ах(13.33),с4•... -сch (a.l/2)cos (a.l/2) •тоch (a.l/2) cos ах ] = С0 ( cos a.l ch ax-ch aJ cos ах] ,22у=С1 [ ch ах- cos (a.l/ 2)С0 - неопределенный множитель.
РаЭJJнчные формы колебаний получаютсяnри подстаковке в 9ТО уравнение значений а. (13.34), соответствующих раЭJJИЧ·ным собственным частотам (13.35) и (13.36) (рис. 297, б).Для обратносимметричных колебаний имеемrJJ.eC1 sh (a.I/2)+Ca sin (a.l/2)=0:С 1 а.иch (a.l/2) +С 3 а.cos (a.l/2) =0частотное уравнениеsh (a.l/2) cos (a.l/2)- sln (a.l/2) ch (a.l/2) =0илиth (a.l/2) = tg (a.l/2)скорнямиa.l/2 "'= 3,927 + (n-1) л:что JJ.aeт(n = 1, 2, 3, ...),(13.37)частотыro={4[3,927+(n-1)л]2f[l} УЕJ/т(n= 1, 2, 3, ...).Сами эти формы nолучаем из уравненияУ =С 1 sh ах+Сз sin ахnослеПО.!I.СТаИОВКНВнегоС 3 /С 1 = - shnричем значения а. берутся изна рис. 297, в.(13.37).(a.//2)/sin (a.l/2),Формы nолученных колебаню:f nоказаны28312.§Фундаментальвые фушщив уравнения колебаний баJIКиФункции, которыми выражаются формы собственных колебанийупругой балки постоянного сечения с равномерно распределенноймассой при различных граничных условиях, называются ф у н д ам е н т а л ь н ы м и.
Общее выражение этих функций дает решение (13.32) Фундаментальные функции обладают двумя важнымисвойствами, благодаря которым они находят применение и в решениях ряда задач, не связанных с колебаниями балок.Первое свойство фундаментальных функций У (х) заключаетсяв том, что их четвертая производная отличается от самой функциилишьпостоянныммножителемY 1 V=~Y.Эrо вытекает из дифференциального уравненияудовлетворяют фундаментальные функции,(13.30),которомупричем легко видеть,что~= mro2/(EJ).Второе свойство называется ортогональностью и имеет вид:1S У,У" dx= О,(13.38)огдеУ1иУk -различныефундаментальные· функции,соответствующие одним и тем же граничным условиям. Для доказательствасвойства ортогональности подставим функции У 1 и У" в уравнение (13.30):EJY}v -mro~Y 1 =0iEJY1v -mro~Y"=O.Умножим первое уравнение на У k• а второе на У 1 и проинтегрируем полученные произведения по х от нуля до 1:EJ~yfvY"dx.
mro~f Y,Y"dx;ооl11(13.39)EJ ~ Y1vY,dx=mroЧ Y"Y,dx.Двукратным интегрированием по частям получаем!ll1~ y~vy" dx =[УГУ"]~-~ Yi'Yk dx=[Y/'Y"- YiYk]~+ ~ YiYk dx;оо1~ YlvY, dx = [Yk'Y 1 - Yi;Y{]~оо1+ ~ YkYi dx.оЗаметим теперь, что выражениеYj"Y,.- YiYk = [- 1/(EJ)] (Q;Y,.- M;Yk)284на любом конце стержня при любых способах его опирания на основании теоремы о взаимности работ равно[-1/(EJ)] (Q"Y;- М"У() =- YJ;Y 1 - У;У€.Следовательно, левые части уравнений (13.39) равны друг .в.ругу,а поэтому будут равны и правые части.
Тогда получим:lllmro' ~ YtY" dx = mro!~ У "У 1 dx; т (roi- Фk) ~ У 1 У" dx =О,ооот. е. условие(13.38), так как ro 1 =1= rok для различных фундаментальных функций.Часто фундаментальные функции нормируют, выбирая коэффициентпропорциональностииз условияl~ У2 dx = 1.оПродОJIЬвые JIOJieбaiDI8 упруrих стержней§ 13.Здесь мы рассмотрим динамическую задачу о продольных перестержней или массивов, точки которых двимещениях упругихжутся в одном направлении. Эrи перемещения обозначим и. Тогда про-дольные деформациие=dU/dx =При этом возникаюти'.. 1 pdxFd(13.40)' ifiidxldxнапряжения.(13.41)а=Ее=Еиr,{(tf tdd)1/1Pvc.298где Е - коэффициент пропорциональности между напряжениямии деформациями (в стержне - модуль упругости).Далее можно составить уравнение динамического равновесияэлемента dx (рис.
298) в виде:F da+(P -рFй) dx=Oили с учетом(13.40)и(13.41):ЕFи" -рFй+р=О,гдеF-площадьматериала; р-поперечного сечениястержня;р- плотностьпродольная погонная нагрузка.При отсутствии продольной нагрузки имеем однородное уравнение:Еи"-рй=О.(13.42)Это уравнение можно решать методом Фурье, и тогда получИм решение в виде так называемых стоячих волн. Однако больший интерес представляют волны, распространяющиеся вдоль стержня илипо какому-нибудь одному направлению- в массиве.
При этом285следуетискатьрешениеввиде:и=Ф(х+vt),(13.43)где v - скорость движения волны; Ф - векторная функция аргумента, стоящего в скобках.Подставляя (13.43) в уравнение (13.42), nолучаемЕФ"- рФ"v 2 =О,или(Е-pv2 ) Ф" =О.Огсюда следует, что приV=VE/v(13.44)функция Ф", а следовательно, и Ф может быть произвольной.Скорость v представляет собой скорость распространения начального возмущения Ф (х), равную скорости звука в материале стержня.Значение корня в (13.44) может быть положительным и отрицательным. Эго означает, что возмущение Ф (х) может распространяться со скоростью v в обе стороны.
Таким образом, получаемрешение уравнения (13.42):и= Ф 1 (х-vt) +Ф 2 (х+vt),(13.45)где Ф 1 и Ф 2 - произвольные функции своих аргументов.§ 14.Оrражевие продольвых ВOJIR от конца стерz101Зададимся функциями Ф 1 и Ф 11 в решении (13.45) следующимобразом. Возьмем стержень длиной 21 (рис. 299, а) и вблизи леа)вого конца,и=ОflJJJ.,__.....~..._СР"..____-+---------< х < а,научасткепридадимему начальное возмущение и= Ф 1 , которое бу-детраспространяться,согласно (13.43), вправоJ-----=t:........___-+___:.._____--,1'- со скоростью v.Вблизиправого конца стержня,на участке 21-а<6)2l,дадим<х<начальноевозмущениеи= -Ф1 ,имеющее обратносимметричный вид по отношению к возмущению Ф 1 .Возмущение -Ф 1 б у детраспространяться соско.Рис.299ростью-vвлевопостержню.
Встретившисьна середине длиныстержня (рис. 299, 6), оба возмущения наложатся друг на друга, причем в каждый момент времени t их значения в этой точке будутравны и nротивоnоложны по знаку. Эго nриводит к тому, что nеремещение и в середине длины стержня при любом t равно нулю.286Таким образом, получаем решение для стержня половинной длины l с заделанным правым концом (рис.
299, в). Внешне дело об·стоит так, как будто волна возмущения Ф1 дошла до заделанногоконца и пошла обратно, отразившись и переместив знак перемеще·нвй и (рис.300).-и;ul~-и~-иРис.30DВ другом случае примем возмущение и = Ф2 , симметричнымпо отношению к возмущению и = Ф 1 (рис. 301). Тогда в серединедлины стержня перемещения и будут удваиваться. Но в этом случае производные Ф; и Ф~ будут представлять собой обратносимметричные функции, и они, взаимно налагаясь, в середине длиныстержня уничтожатся.
Следовательно, в середине длины производная от перемещений и' будет всегда равна нулю, а также равнонулю напряжение а-= Еи'. Такое решение пригодно для стержнядлинойlсо свободным правым концом (рис.302).Здесь получается, что возмущение Ф 1 , дойдя до свободного конца, отразится287ttд)6)Рис. JOf.и пойдет обратно, не изменив знака перемещений. Знак же напряжений а, пропорциональных углу наклона эпюры и, при этомизменится на обратный.Иллюстрацией сказанного может служить явление откола в бетонной стене при ударе с противоположной стороны стены, например артиллерийским снарядом (рис.
303}. Отразившись от свободной поверхности стены, волна сжатия пойдетобратно, превратившись в волну растяжения.И так как бетон плохо сопротивляется растяжению, то и произойдет откол со стороны,противоположной удару./§ 15.Влияние иеупруrихсвойств матервалаПосколькуидеальноупругие1\системы вприроде не встречаются, необходимо считаться с логлощением энергии колебаний за счетнеупругих свойств материала. Система приPиc.JOIэтом уже не может считаться консервативной.Поглощение энергиипроисходит главнымобразом за счет внутреннего трения в материале.
Закономерностивнутреннего тренияпокаещенемогут считатьсявполнеизученными. Простейшей гипотезой является гипотеза Фойгта о пропорциональности сил внутреннего трения скорости деформаций {J.Для системы с одной степенью свободЫ уравнение динамическогоравновесия (13.1) с добавлением сил трения по гипотезе Фойгтаполучает вид:cy+тy+k{J= р,гдеk-(13.46)коэффициент внутреннего трения.преимуществапереддругими,Это уравнение имеетполучаемымидляиныхгипотез,своей простотой и тем, что для него легко может быть полученорешение.Схемасистемы,движениекоторойописываетсяуравнениемпоказава на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
