Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.4, в); при этом «т„= бс„у, «т„= О, т„„= О. Аналогично можно построить решения и для всех остальных членов поли- нома (2.16). Полученные решения можно объединять. Так, взяв функцию напряжений в виде двух слагаемых «р = соз у' + соз у', получим о„= = 2соз+ бсоз у, оо = О, т,,„= О, т. е. получим сочетание растяжения (сжатия) полосы с чистым изгибом (рис. 2А, г). Рассмотрим чуть более сложную задачу. Функцию напряжений возьмем в виде двух слагаемых «р = см ху+ с1з хуз и найдем такое соотношение между коэффициентами с„и с« „при котором продоль. ные стороны полосы (рис. 2.6, а) свободны от касательных напряжений. Из формул (2.17) имеем «г„= бс1з ху; о„= О, т „= — с„— Зс1з уз, откуда искомое соотношение см — — — Зс1з (6/2)з, где Ь вЂ” ширина полосы (см.
рис. 2.4, а). Окончательно получаем а = бс,з ху, оз — — О, т„д = Зс,з((Ы2)' — уЧ. (2.18) Это напряженное состояние соответствует поперечному изгибу полосы под действием касательных контурных нагрузок, изменяющихся на ее торцах по квадратичному закону и уравновешенных линейно изменяющейся нормальной нагрузкой на правом по рисунку торце. Бигармонические функции, т. е. функции, удовлетворяющие бигармоническому уравнению (2.8), можно построить и с помощью полиномов более высокой степени, чем полипом (2,16), но тогда их коэффициенты должны быть связаны определенными соотношениями.
Например, будем искать бигармоническую функцию в виде полинома четвертой степени 7 — С40 Х + С22 Х Я + С04 Д (2.19) Подставив эту функцию в бигармоническое уравнение (2.8), найдем соотношение, связывающее коэффициенты с; ~: 24с4, + 8 с„+ 24с„= О. При выполнении последнего соотношения функция (2.19) удовлетворяет бигармоническому уравнению (2.8). Рис. 2.5 Воспользуемся функцией (2.19) для решения еще одной обратной задачи. Положим с„= О; тогда функцию напряжений, удовлетворяющую уравнению (2.8), очевидно, можно записать в таком виде: ч) = с (хФ вЂ” у4). Из формул (2.Б) находим о„= — 12су', о' = 12сх', с„.„= О.
Такому напряженному состоянию соответствует нормальная контурная нагрузка, изменяющаяся вдоль сторон полосы по квадратичному закону (рис. 2.5, б). Наложив на полученное решение одноосное рас- тяжение по оси х и одноосное сжатие по оси у и изменив обозначения коэффициентов, можно получить следующее напряженное состояние: а„= ао (1 — (2у/Ь)Ч, оо = — оо 11 — (2 х/а)'1 (аЧЬо), т „= О, где а и Ь вЂ” соответственно длина и ширина полосы (см. рис. 2.4, а). Это состояние соответствует функции напряжений оо ~ о аа х4 у4 (р = — Зу' — 3 — хо+2 6 Ьо ь Нормальные контурные нагрузки, приводящие к такому напряженному состоянию, изменяются по квадратичному закону, повторяющему закон изменения нормальных напряжений а„и а„в сечениях х = =- сопз1 и у = сопз1 (рис. 2.5, в).
Важно обратить внимание на следующее обстоятельство. Как мы видели в предыдущих примерах, нормальные нагрузки, линейно изменяющиеся вдоль стороны полосы, приводят к одноосному напряженному состоянию с напряжениями о„, постоянными вдоль всей полосы (см. рис. 2.4, а, в, г). Другим словами, линейная нормальная контурная нагрузка передается без искажения по всей длине полосы и не вызывает никаких напряжений, кроме а„. Однако в общем случае это совсем не так: нормальная контурная нагрузка, изменяющаяся не по линейному закону, вызывает в полосе неоднородное двухосное напряженное состояние с напряжениями о„, изменяющимися как по ширине, так и по длине полосы.
Например, если у изображенной на рис. 2.5, в полосы снять нагрузку с продольных сторон, то на первый взгляд может показаться, что это приведет только к обращению в нуль напряжений а„и не отразится на значении напряжений о„. В действительности же, хотя напряженное состояние и„= оо 11 — (2у/Ь)Ч, оо — — О, т„о — — О является с т а т и ч е с к и в о з м о ж н ы м, т. е. уравнения равновесия и силовые граничные условия при таком напряженном состоянии удовлетворяются, но бигармоническое уравнение (2.8), как нетрудно проверить, удовлетворено не будет.
Следовательно, это напряженное состояние не явлется решением задачи. В данном случае получить точное решение оказывается совсем не просто; можно только заранее утверждать, что действительное напряженное состояние не будет одноосным (рис. 2.5, г).
В приведенных решениях обратных задач объемные нагрузки полагались равными нулю. Нетрудно дополнить эти решения и для того случая, когда имеются постоянные объемные нагрузки Х =- ро„и У = рдо. Для этого достаточно ввести в решение величины о, = хромо и о„= уров и учесть их в граничных условиях. Точное решение обратной задачи на основе принципа Сен-Венана может быть использовано для получения приближенных решений целой серии прямых задач, имеющих непосредственное практическое значение. В середине прошлого века Сен-Венаном было высказано предположение, что характер распределения нагрузки, прилсаюенной н малой части тела, существенно влияет на напряменное состояние лишь в непосредственной близости от места ее приложения, а в остальной части тела напряяенное состояние достаточно точно определяется только величинами равнодействующих силы и момента этой нагрузки и пРактически не зависит от закона распределения последней.
Это предположение, получившее позже название принципа Сен-Венана, было для многих частных задач подтверждено и теоретически, и экспериментальное. Пронллюстрируем использование этого важнейшего принципа несколькими примерами. Рассмотрим удлиненную полосу длиной а и шириной 6 (рис. 2.б, а), нагруженную по торцам нормальными силами р = р„(у), равноденствующая которых Р направлена по оси х.
Согласно принципу Сен-Венана в полосе, за исключением участков, непосредственно прилегающих к торцам, напряженное состояние достаточно точно определяется только значением этой равнодействующей и практически не зависит от конкретного закона распределения нагрузки Р~ (у). Другими словами, если Рис. 2.6 заданную нормальную нагрузку заменить любой другой нагрузкой, равнодействующая которой тоже равна Р, то это скажется на характере напряженного состояния лишь вблизи торцов. Поэтому при практическом решении прямой задачи можно заданный произвольный закон распределения контурной нагрузки заменить тем законом, который соответствует известному решению обратной задачи (сохранив значение равнодействующей, т.
е. взяв нагрузку, статически эквивалентную заданной). В рассматриваемом случае для этой цели проще всего взять постоянную нормальную нагрузку (см. рис. 2.4, а). Считая, как и раньше, толщину полосы равной единице, для напряженного состояния полосы вдали от торцов получим Р($; ои = О; ти=О, где 5=- 1 о — плошадь поперечного сечения полосы. Если приложенная к торцам удлиненной полосы контурная нагрузка дает кроме направленной по оси х равнодействующей Р еще и изгибающий момент М, то и в этом случае в соответствии с принципом Сен-Венана напряженное состояние вдали от торцов легко найти, заменив заданную нагрузку такой статически эквивалентной нагрузкой, которая вытекает из граничных условий обратной задачи с известным решением. Комбинируя решения обратных задач, изображенных на * Известны случаи, когда принцип Сен-Венапа не может быть применен (тонкостенные стержни, резко аиизотропные конструкции и т.
п.), но дли пло- ской задачи теории упругости применение этого принципа полностью оправдано. еб рис. 2.4, а, в, находим напряженное состояние полосы в сечениях, достаточно удаленных от торцов: ох = Р~~ + Му~7~ ссу = О~ тху = О~ где Х = 1 ° ЬЧ12 — момент инерции поперечного сечения полосы. Рассмотрим еще одну задачу: поперечный изгиб консоли (рис. 2.6, б). К левому торцу удлиненной полосы длиной а и шириной Ь приложена касательная контурная нагрузка с равнодействующей С1, направленной по оси у; правый по рисунку торец полосы неподвижно закреплен.
Для определения напряженного состояния такой полосы у нас уже есть решение обратной задачи (см. рис. 2.5, а). Воспользовавшись этим решением (2.18) и заменив произвольную контурную нагрузку статически эквивалентной касательной нагрузкой, изменяющейся по квадратичному закону р„= (3/2) Я 11 — (2у / Ь)Ч/Я, приходим к формулам ст,= — ~у, ау=О, т= — — 1— где 8 — площадь поперечного сечения полосы. Эти формулы описывают напряженное состояние во всех сечениях, достаточно удаленных от торппв Но нужно четко сознавать, что из полученного решения абсолютно ничего нельзя узнать о распределении напряжений непосредственно вблизи торцов полосы: для этого необходимо располагать дополнительной информацией о способах приложения нагрузки на левом торце и закрепления правого торца и, имея такую информацию, решать неизмеримо более сложную прямую задачу теории упругости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
