Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следовательно, с ростом перемещений по- тенциал внешних сил уменьшается. При заданных свойствах тела и внешних нагрузках полная потен- циальная энергия Э зависит от конкретного вида функций и, и, в и их производных. Величины, значения которых определяются выбором одной или нсскольких функций, носят название ф у н к ц и о н а л о в. Свойства функционалов изучаются в разделе математики, называе- мом вариационным исчислением (см.
Приложение 1). Покажем, что если упругое тело находится в равновесии, то его полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Для этого найдем первую вариацию полной потенциальной энергии ЬЭ = Ь (У + П) = ЬУ + ЬП. (1.58) Считая, что удельная потенциальная энергия У, выражена через ком- поненты деформаций, запишем ЬЦ= ~ — 'Ьа„+ — 'Ьз„.+...+ — ' Ьу„, <Л1, 1'(д0, д0, д0, ~ ~де, " дед " д7а» У или, учитывая зависимости (1.35), ЬУ = 1 (а~ Ье~ + о~ Ьз„+ ... + тр, Ьу„,) ЙУ, (1.59) Первая вариация потенциала внешних сил ЬП= — ~ (Хби+ Убо+ Лба).дУ вЂ” ~ (р„би+ р„бо+р, Ьш) Ю. 81 (1.60) Сравнивая выражения (1.59) и (1.60) с выражениями (1.25), (1.26) и (1.28) и учитывая уравнение (1.29), приходим к вариационному уравнению 83 =- 6 Я + 17) =- О.
Это уравнение, которое называют в а р и а ц и о н н ы м у р а вн е н и е м Л а г р а н ж а, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стаиионарное значение. Справедливо и обратное утверждение: если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. Можно доказать и более общую теорему [28], которую часто пазываютпринципом минимума полной потенциальн о й э н е р г и и: в положении равновесия полная потенцильная энергия консервативной системы -имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, когда это стационарное значение— минимум. На вопросах устойчивости равновесия подробнее остановимся в следующем параграфе, а сейчас только подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы, как линейные, так и нелинейные.
Нелинейности в консервативных системах могут быть геометрические и физические. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физические нелинейности проявляются в тех случаях, когда-материал не подчиняется закону Гука, а обладает более сложными упругими свойствами. В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи: материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17).
В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии.
Для доказательства достаточно непосредственно подсчитать вторую вариацию полной потенциальной энергии 3 (см. Приложение Ц. Если удельная потенциальная энергия определена выражением (1,36), то получаем 83 — 8'и = 1[а„(Ье„)'+ а„(бе„)'+ ...+ +2а„бт„,бу„,) Ю. (1.62) -"Другими словами, в задачах линейной теории а) „ ,.'-': упругости вторая вариация полной потен',: циальной энергии выражается той же положи,. тельно определенной квадратичной формой, г) и что и удельная потенциальная энергия. Сле.
довательно, б'Э ~ О и всякое положение рав- ~ Я .иовесия линейной упругой системы устойчиво. и Проиллюстрируем использование условия стационарности полной потенциальной энергии двумя простыми примерамй. На рис. 1.11, а Я+дМ изображен прямой стержень с площадью Я =, 5 (х) поперечного сечения, нагруженный распределенной по длине нагрузкой д =- д(х) сил тяжести н растягивающей силой г'; материал стержня подчиняется закону Гука. Считая напряженное состояние стержня одноосным и напряжения 'а„= Е вх равномерно распределенными по поперечным сечениям стержня, из условия 6Э = О получим дифференциальное уравнение и граничные условия, позволяющие найти осевое перемещение и = и (х) и осевую силу У = У (х). В соответствии с зависимостями (1.17) и (1.43) имеем Йи 1 ах= — 1(~о = — Еах Йх 2 Потенциал действующих на стержень внешних снл П= —.~ ди Йх — Ри (1).
о Таким образом, полная потенциальная энергия рассматриваемой системы 1 Э= — ~ Е$ (и')'дх — ди дх — Еи (1), 2 ) И где штрихом обозначена производная ло х. Варпациоиное уравнение Лагранжа (1.61) в данном случае имеет вид 1 1 63 = ~ ЕЯи' би' йх — ~ даби с[х — Р би (1) =О. о о Интегрируя по частям и группируя слагаемые, иолучасм 63=(ЕБи' — Е) би[„1 — (ЕБи') би[, Р— ~ [(ЕБи')'+д) би дх=О. о По длине стержня вариация би произвольна и необходимым условием обращения в нуль вариации 63 является равенство нулю выражения в квадратных скобках под знаком интеграла: (ЕБи')' + ~~ =- О. (1.64) (1.63) При х = 0 по условию задачи и = 0 и, следовательно, би (0) = О; при х = 1 величина 6 и(1) произвольна, и должно выполняться условие РЯи' — Р = О. Итак, в данной задаче граничные условия полученного дифференциального уравнения (1.Б4) следующие: 1) и (0) = 0; 2) Е5и' (1) — Р = О, т.е.
У(1) = Р. Дифференциальное уравнение (1.64) и его граничные условия мож« но получить, не используя принцип минимума полной потенциальной энергии, а непосредственно рассматривая условия равновесия стержня (рис. 1.11, б). Проецируя на а) г ось х все действующие на элемент силы, получаем л'+ ~= о. Учитывая, что осевая си- Ч ла Ф =о5, и используя за— — — — — э1 висимость з = — и' и закон Гука а = Ее, снова приход дим к уравнению (1.б4). Гра- ц ~~ Я+И ничные условия тоже можно и получить, минуя условие стал ~ ~ --- ~ и бМ ционарности полной энергии: первое из них очевидно, а Ч второе вытекает из условия равновесия элемента стержня, примыкающего к нагруженному торцу. В качестве второго.
примера выведем уравнение поперечного изгиба прямого стержня, нагруженного распределенной нагрузкой, д = д (х), как показано на рис. 1.12, а. В рассматриваемой задаче потенциал внешних сил П= — ~ дв йх, о где в = в (х) — поперечный прогиб стержня. Для подсчета потенциальной энергии деформации- стержня воспользуемся известными из сопротивления материалов гипотезами плоских сечений и ненадавливания слоев. По первой из этих гипотез поперечные сечения стержня, до изгиба нормальные к его оси, после изгиба остаются плоскими и нормальными к искривленной оси стержня. Поворот поперечных сечений на малый угол д приводит к продольным перемещениям и = =- — гб (рис.
1.12, б), где г — координата, отсчитываемая от нейтральной оси стержня. Тогда из общих зависимостей (1.17) находим ди з = — = — Н х . в где штрихом обозначено дифференцирование по х. Поскольку поперечные сечения остаются нормальными к искривленной оси стержня, то при малых прогибах д =- в', и окончательно можно записать ~6 ' н„= — аг", В силу второй гипотезы напряженное состояние стержня .
считается одноосным и потенциальная энергия деформации у= — ~ь'Иду= — ~ е(шт [1 лая~ дх. У о Здесь стоящий в квадратных скобках интеграл берется по площади попереченого сечения стержня и равен моменту инерции поперечного ' сечения 1; тогда У= — ~ Е,7(и")' с1х. 2 (1.65) 0 Полная потенциальная энергия изогнутого стержня Э.= ( 1 — Е1(и")' — ды дх.
(1.66) ~~2 0 Из вариациониого уравнения Лагранжа следует, что 69 = (ЕЗм" бщ" — уби) дх =О. Двукратным интегрированием по частям преобразуем определенный интеграл и получаем ЬЭ= (П~') 6п'~',— (ЕЛ~")' Ып ~ю, +~((ЕЛ')' — ц) бп )х=О. 0 В положении равновесия первая вариация полной потенциальной энергии должна обращаться в нуль при любых допустимых вариациях поперечного прогиба. Отсюда следует дифференциальное уравнение поперечного изгиба стержня (Е Ув")" — д = О, (1.67) а также граничные условия, которые могут быть заданы иа торцах стержня: 1) ЕЛг" = О либо бв' = О, т. е. и' =- м'; 2) (ЕУи")' =-- О либо бэ =- О, т. е. ы = ы, где ы~ и в' — заданные значения прогиба и угла поворота.
Поскольку ЕЛи" =- М и (ЕУв")' = Я, где М вЂ” изгибающий мо-- мент; Я вЂ” поперечная сила, граничные условия имеют следующий смысл: 1) М = О, либо и~' =- ю'; 2) Я = О, либо и = ы. Заметим еще, что если к торцу стержня приложена сосредоточенная поперечная сила Я или изгибающий момент М, то их следует включить в потенциал внешних сил, как это было сделано в предыдущем примере. Тогда Я и М автоматически войдут и в граничные условия. Как и в первом примере, уравнение поперечного изгиба стержня можно получить, рассмотрев условия равновесия отдельно взятого элемента стержня (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
