Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. - Строительная механика ракет (1061784), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(2.9) Рассмотренное сейчас плоское напряженное состояние в телах конечной толщины может быть точна реализовано только в ряде частных случаев. Например, если пластина постоянной толщины (рис. 2.!, а) нагружена в своей плоскости постоянным гидростатическим давлением р, то независимо от толщины пластины в ней действительно реализуется плоское напряженное состояние: о„= — р; ау — — — р;ту — — О; «г = О; т„х = О; тух = О ех — — — (1 — !с) р!Е; еу — — — (! — !«) р«Е; уху — — О; ех —— 2РР«Е! тхх — О» туг = О.
В данном случае рещение, полученное по уравнениям теории плоского напряженного состояния, полностью совпадает с точным решением трехмерной задачи теории упругости. Однако в общем случае зто не так. Можно показать, что в пластине постоянной толщины, нагруженной произвольно изменяющимися по контуру нагрузками, напряженное состояние тем больше будет отличаться от плоского напряженного состояния, чем толще пластина и чем резче изменяется напряженное состояние в плоскости пластины 1251.
йсли толщина пластины перемеина, то, «ак легко видеть, напряженное состояние в ней.тоже не будет плоским; Но для тонких пластин, в том числе и для пластин с плавно изменяющейся толщиной, теория плоского напряженного состояния дает, как правило, достаточно точные для практики результаты. Рассмотрим теперь изотропное цилиндрическое тело произвольного поперечного сечения (рис. 2.3, а). Будем считать, что на торцах запрещены перемещения и, ио не стеснены перемещения и и о. Нагрузки на боковой поверхности удовлетворяют следующим требованиям: р, =- 0; р, и ря произвольны, но одинаковы в каждом поперечном се- Рис.
2,3 чеиии. Аналогичным требованиям удовлетворяют и объемные нагрузки: Я = О, Х = Х (х, у), У = 1' (х, у). Кроме того, внешние нагрузки предполагаются самоуравновешенными. Поскольку по условиям задачи торцовые поперечные сечения остаются плоскими и не смещаются в продольном направлении, то в силу симметрии среднее поперечное сечение тоже останется плоским и неподвижным. Из тех же соображений симметрии следует, что поперечные сечения, делящие пополам каждую из половин цилиндра, тоже остаются плоскими и не смещаются в продольном направлении, и т. д. Следовательно, все поперечные сечения оказываются в одинаковых условиях и в каждом из них перемещения в = О, и = и (х, у) и и = и (х, у). Поэтому во всем рассматриваемом теле выполняются условия, вытекающие из формул (1.17): 6 =8 (х, д); 8~ =аз (х, у); у я~у~я(х,у1; аь = 0» ухг 01 7уг — О.
(2.10) Деформированное состояние, подчиненное этим условиям, называют плоским деформированным состоянием. Для дальнейшего исследования плоского деформированного состояния достаточно рассмотреть один слой единичной толщины, выделенный из тела двумя поперечными сечениями (рис. 2.3, а). Из закона Гука и условий (2.10) следует о„= о„(х, у); и„=- а„(х, у); т„, =- т,„(х, у); и =р,(о„+оп); т„=О; ти =О.
Это напряженное состояние, соответствующее плоскому деформиро- ванному состоянию, показано на рис. 2.3, б. Общие уравнения равновесия (1.32) в случае плоского деформиро- ванного состояния тоже сводятся к двум уравнениям (1.33). Закон Гука в случае плоского деформированного состояния дает 1 ! рй/ а = — (а — ро — ра)= — ~а — — а 1 х Е х У е Е ~ 1 У ау = — (а„— ра,— ра,) = — ~ау — — а„; (2.11) 1 — р, 2 (1+р) 7ху ~ . тху и о,= (1 — р) Е ( р. Ъ+ ау (1+р) (1 — 2р) (, 1 — р (2.12) (1+р) (1 — 2р) ~ 1 — р, Е 2 (1+р) Необходимые для решения компоненты деформаций, как и в случае плоского напряженного состояния, выражаются через перемещения по зависимостям (2.3).
Итак, для решения задачи о плоском деформированномсостоянии мы получили. снова восемь уравнений (1.33), (2.3), (2.11) с восемью не- известными функциями. Граничные условия для этой системы уравне- ний формулируются аналогично тому', как это было сделано для плос- кого напряженного состояния. 'Покажем, что при постоянных объемных нагрузках Х = рд', и У = = руу решение задачи о плоском деформированном состоянии в на- пряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоя- нии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связываю- щие компоненты деформаций а„, еу, 'у„у 'с перемещениями и и а, в этих двух задачах полностью совпадают; различие между ними заклю- чается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений.
Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения: Е = Е / (1 — р'); р = р / (1 — р). (2.13) Тогда, как легко проверить, получим а,== (о,— рау)', Е 1 ау = = (ау рах) Е 2 (1+ р) уху тху Е (2.14) Сравнивая эти зависимости с зависимостями (2.1) и (2.2), видим, что задачу о плоском деформированном состоянии можно трактовать и как задачу о плоском напряженном состоянии, но для материала с другими упругими свойствами: модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона р. Так как в уравнение(2.8) упругие свойства материала не входят, то оно остается справедливым и для плоского деформированного состояния.
Если задачу о плоском деформированном состоянии решать в перемещениях, то мы снова придем к системе уравнений (2.5), ио только вместо величин Е и р, в ней будут фигурировать Е и р, Полная аналогия уравнений задач о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях позволяет при построении общих решений объединить их в одну плоскую задачу теории упругости. в 2.2. Обратная задача теории упругости. Принцип Сен-Венана В теории упругости различают прямую и обратную задачи. П р ям о й называется задача, в которой при известных форме, размерах и упругих свойствах тела требуется по заданным нагрузкам и условиям закрепления определить напряженно-деформированное состояние. В о б р а т н о й задаче, наоборот, при известных форме, размерах и упругих свойствах тела требуется найти нагрузки и условия закрепления, соответствующие заданному напряженно-деформирован-.
ному состоянию. Основное практическое значение имеет прямая задача: именно такие задачи обычно встречаются в инженерной практике. Но решение уравнений в частных производных (2.5) или (2.8), к которым сводится плоская задача, при произвольно заданных форме контура и нагрузках представляет собой чрезвычайно сложную математическую проблему. Точное решение этих уравнений удается получить лишь для. ряда частных задач.
В подавляющем большинстве случаев решение может быть|выполнено только с помощью того или иногда приближенного метода. Получить точное решение 'обратной задачи, как правило, неизмеримо проще. Действительно, если для области произвольной формы заданы какие-то функции перемещений и = и (х, д) и о = о (х, у), то по формулам (2.2) и (2.3) легко определить деформации и напряжения.
~р = с,о х' + с„ху + соз у' + сз, х'у + с|з ху'+ сзо хз + + соз у + сз1 х у + с1з хуз (2.16) тождественно удовлетворяет уравнению (2.8) при любых с~ „. Заметим, что вводить в решение слагаемые соо, с1о х, со1 у не имеет смысла, так как на значениях напряжений в соответствии с формулами (2.6) они никак не отражаются. По формулам (2.6), считая пока р д„= О и р д„= О, находим о,, = 2соз+ 2с1з х + 6соз у + 6с1з ху; а„= 2с„+ 2сз1 у + 6сзо х + 6сз1 ху~ т „„=- — с„— 2сз, х — 2с1з у — Зс„х' — Зс1, у'.
(2.17) При этом уравнения равновесия (1.33) будут, конечно, автоматически удовлетворены. Следует подчеркнуть, что на этом этапе решения обратной задачи еще не фигурируют ни форма интересующей нас области, ни ее положение относительно координатных осей х и у. Далее, конкретизировав геометрию той области, для которой находят решение обратной задачи, по зависимостям (2.4) определяют контурные нагрузки, которые необходимо приложить, чтобы создать поле напряжений (2.17). Эти контурные нагрузки автоматически должны получаться самоуравновешенными, поскольку и внутри области, и на ее границе условия равновесия каждого элемента удовлетворены.
В силу линейности задачи можно получать решения для отдельных членов полинома (2.16), а затем, используя принцип независимости действия сил, конструировать различные комбинации этих решений. Намеченная схема решения обратной задачи в прямоугольных координатах наиболее естественно выглядит для прямоугольной области (прямоугольной полосы) со сторонами, параллельными координат- Далее из условий равновесия (1.33) или (2.5) можно найти объемные нагрузки Х = Х (х, у) и 1' = У (х, у), а по значениям перемещений (или напряжений) на контуре определитЬ гсометрические (или силовые) граничные условия, соответствующие заданному напряженно-дефор* мированпому состоянию.
Точные решения обратных задач полезны по двум,"причинам. Вопервых, некоторые из решенных обратных частных задач имеют непосредственное практическое значение, и в этих случаяХ при прямой постановке задачи можно сразу воспользоваться готовым точным решением. Во-вторых, даже вычурное, заведомо не имеющее непосредственного практического применения, но точное решение обратной задачи может быть использовано как эталон при разработке приближенных методов решения прямой задачи. Рассмотрим примеры построения решений обратной плоской задачи теории упругости с помощью алгебраических полиномов. Как было показано в предыдущем параграфе, решение плоской задачи в напряжениях сводится к бигармоническому уравнению (2.8).
Очевидно, что полипом ным осям. Так, например, взяв ч~ =- сзз уз, получим о„= О, т„з — — О, «г = 2с„з, что соответсгвует одноосному равномерному растяяению (сжатию) полосы нормальными равномерно распределенными контурными нагрузками (рис. 2.4, а). Если с~ = с„ху, получим о = О, о„' = О, т„„= — с„: в этом случае полоса подвержена чистому сдвигу под действйем равномерно распределенных по контуру касательных сил (рис. 2А, б). При «р = с„у' получим чистьш изгиб полосы нормальными контурными нагрузками, линейно изменяющимися по коа) Ю Рис. 2.4 ординате у (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
